高中数学：求函数值域的方法十三种

第 1 页 共 23 页 高中数学 求函数值域的十三种方法高中数学 求函数值域的十三种方法 1 观察法 观察法 2 配方法 配方法 3 分离常数法 分离常数法 4 反函数法 反函数法 5 判别式法 判别式法 6 换元法 换元法 7 函数有界性函数有界性 8 函数单调性法 函数单调性法 9 图像法 数型结合法 图像法 数型结合法 10 基本不等式法基本不等式法 11 利用向量不等式利用向量不等式 12 一一映射法一一映射法 13 多种方法综合运用多种方法综合运用 一 观察法一 观察法 从自变量从自变量的范围出发 推出的范围出发 推出的取值范围 的取值范围 x yf x 例例 1 求函数的值域 1yx 解析 函数的值域为 0 x 1 1x 1yx 1 例例 2 求函数x 1 y 的值域 解析 0 x 0 x 1 显然函数的值域是 0 0 例例 3 已知函数 求函数的值域 11 2 xy 2 1 0 1 x 解析 因为 而 所以 2 1 0 1 x 331 ff 020 ff 11 f 3 0 1 y 注意 求函数的值域时 不能忽视定义域 如果该题的定义域为 则函数的值域为 Rx 1 yy 二 二 配方法 配方法式求配方法 配方法式求 二次函数类二次函数类 值域的基本方法 形如值域的基本方法 形如的函数的函数 2 F xafxbf xc 的值域问题 均可使用配方法 的值域问题 均可使用配方法 例例 1 求函数的值域 2 25 1 2 yxxx 解析 将函数配方得 由二次函数的性质可知 当 x 1 1 2 时 当时 故函数的值域是 4 8 变式变式 已知 求函数的最值 第 2 页 共 23 页 解析 由已知 可得 即函数是定义在区间上的二次函数 将二次函数配 方得 其对称轴方程 顶点坐标 且图象开口向上 显然其顶点横坐 标不在区间内 如图 2 所示 函数的最小值为 最大值为 图 2 例例 2 若函数时的最小值为 1 求函数 2 22 1 f xxxxt t 当 g t g t 2 当 3 2 时 求 g t 的最值 说明 二次函数在闭区间上的值域二点二分法 三点三分法 t 解析 1 函数 其对称轴方程为 顶点坐标为 1 1 图象开口向上 图 1 图 2 图 3 如图 1 所示 若顶点横坐标在区间左侧时 有 此时 当时 函数取得最小值 如图 2 所示 若顶点横坐标在区间上时 有 即 当时 函数取得最小 值 如图 3 所示 若顶点横坐标在区间右侧时 有 即 当时 函数取得最小值 综上讨论 g t 01 10 1 1 1 1 2 2 min tt t tt xf 2 时 为减函数 2 2 1 0 1 01 22 1 tt g tt ttt 0 t 2 1g tt 在上 也为减函数 3 2 2 1g tt 第 3 页 共 23 页 min 2 5g tg max 3 10g tg 例例 3 已知 当时 求的最大值 2 22f xxx 1 xttt R f x 解析 由已知可求对称轴为 1x 1 当时 1t 22 minmax 23 1 2f xf tttf xf tt 2 当 即时 11tt 01t 根据对称性 若即时 2 1 2 1 tt 1 0 2 t 2 max 23f xf ttt 若即时 2 1 2 1 tt1 1 2 t 2 max 1 2f xf tt 3 当即时 1 1t 0t 2 max 23f xf ttt 综上 2 1 32 2 1 2 2 2 max ttt tt xf 观察前两题的解法 为什么最值有时候分两种情况讨论 而有时候又分三种情况讨论呢 这 些问题其实仔细思考就很容易解决 不难观察 二次函数在闭区间上的的最值总是在闭区间的端 点或二次函数的顶点取到 第一个例题中 这个二次函数是开口向上的 在闭区间上 它的最小 值在区间的两个端点或二次函数的顶点都有可能取到 有三种可能 所以分三种情况讨论 而它 的最大值不可能是二次函数的顶点 只可能是闭区间的两个端点 哪个端点距离对称轴远就在哪 个端点取到 当然也就根据区间中点与左右端点的远近分两种情况讨论 根据这个理解 不难解 释第二个例题为什么这样讨论 对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下 对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下 当当时时 2 1 2 2 1 2 2 1 max 如图 如图 nm a b nf nm a b mf xf 2 2 2 2 5 4 3 min 如图 如图 如图 m a b mf n a b m a b f n a b nf xf 第 4 页 共 23 页 当当时时 2 2 2 2 8 7 6 max 如图 如图 如图 m a b mf n a b m a b f n a b nf xf f x f m b a mn f n b a mn min 如图 如图 2 1 2 2 1 2 9 10 例例 4 1 求在区间 1 2 上的最大值 2 f x x2ax1 2 求函数在上的最大值 axxy 1 1 x 解析 1 二次函数的对称轴方程为 xa 当即时 1 a 2 1 a 2 max f x f 2 4a5 当即时 综上所述 1 a 2 1 a 2 max f x f 1 2a2 max 1 2a2 a 2 f x 1 4a5 a 2 2 函数图象的对称轴方程为 应分 即 4 2 2 2 aa xy 2 a x 1 2 1 a 1 2 a 1 2 a 22 a 和这三种情形讨论 下列三图分别为2 a2 a 1 由图可知2 a max 1 f xf 2 由图可知a 22 max 2 a f xf 3 时 由图可知2 a max 1 f xf 第 5 页 共 23 页 即 2 1 22 2 2 1 af a a f af y最大 2 1 22 4 2 1 2 aa a a aa y最大 例例 5 已知二次函数在区间上的最大值为 3 求实数 a 的值 2 f x ax 2a1 x1 3 2 2 分析 这是一个逆向最值问题 若从求最值入手 需分与两大类五种情形讨论 过程繁琐不堪 a0 a0 若注意到最大值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到 因此先计算这些点的函数值 再检验其真假 过 程就简明多了 具体解法为 1 令 得 2a1 f 3 2a 1 a 2 此时抛物线开口向下 对称轴方程为 且 故不合题意 x2 3 2 2 2 1 2 2 令 得f 2 3 1 a 2 此时抛物线开口向上 闭区间的右端点距离对称轴较远 故符合题意 1 a 2 3 若 得 3 f 3 2 2 a 3 此时抛物线开口向下 闭区间的右端点距离对称轴较远 故符合题意 2 a 3 综上 或 1 a 2 2 a 3 解后反思 若函数图象的开口方向 对称轴均不确定 且动区间所含参数与确定函数的参数一致 可采用解后反思 若函数图象的开口方向 对称轴均不确定 且动区间所含参数与确定函数的参数一致 可采用 先斩后奏的方法 利用二次函数在闭区间上的最值只可能在区间端点 顶点处取得 不妨令之为最值 验证参先斩后奏的方法 利用二次函数在闭区间上的最值只可能在区间端点 顶点处取得 不妨令之为最值 验证参 数的资格 进行取舍 从而避开繁难的分类讨论 使解题过程简洁 明了 数的资格 进行取舍 从而避开繁难的分类讨论 使解题过程简洁 明了 变式变式 已知函数在区间上的最大值为 4 求实数 a 的值 2 21f xaxax 3 2 解析 2 1 1 3 2 f xa xa x 1 若 不符合题意 0 1 af x 2 若则0 a max 2 81f xfa 由 得814a 3 8 a 3 若时 则0a max 1 1f xfa 由 得14a 3a 综上知或 3 8 a 3a 例例 6 已知函数在区间上的最小值是 3最大值是 3 求 的值 2 2 x f xx m nmnmn 解法 1 讨论对称轴中 1 与的位置关系 2 mn mn 第 6 页 共 23 页 若 则 max min 3 3 f xf nn f xf mm 解得 若 则 无解1 2 mn n max min 1 3 3 f xfn f xf mm 若 则 无解1 2 mn m max min 1 3 3 f xfn f xf nm 若 则 无解 max min 3 3 f xf mn f xf nm 综上 4 0mn 解法 2 由 知 则 2 11 1 22 f xx 11 3 26 nn 1 m n 又 在上当增大时也增大所以 解得 m nx xf max min 3 3 f xf nn f xf mm 4 0mn 评注 解法评注 解法 2 2 利用闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值 缩小了利用闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值 缩小了 的取值范围 避开了繁难的分类的取值范围 避开了繁难的分类mn 讨论 解题过程简洁 明了 讨论 解题过程简洁 明了 例例 7 7 求函数的值域 35yxx 解法 1 22 4 122 5 3 253 xxxxxy 显然 4 2 4 122 22 xy 故函数的值域是 2 2 y 解法 2 显然 3 x 5 22 32sin 0 52cos 2 xx 352 sincos 2sin 2 2 4 yxx 三 分离常数法 分子 分母是一次函数得有理函数 可用分离常数法 分母少 分子多 通三 分离常数法 分子 分母是一次函数得有理函数 可用分离常数法 分母少 分子多 通 过该方法可将原函数转化为为过该方法可将原函数转化为为 常数常数 的形式此类问题一般也可以利用反函数法 的形式此类问题一般也可以利用反函数法 xfky 为k 例例 1 求函数的值域 1 2 x x y 解析 利用恒等变形 得到 容易观察知 x 1 y 1 得函数的值域为y 1 1 1 1 1 x y 注意到分数的分子 分母的结构特点 分离出一个常数后 再通过观察或配方等其他方法易得函数值域 例例 2 求函数的值域 1 2 2 xx xx y 第 7 页 共 23 页 解析 观察分子 分母中均含有项 可利用部分分式法 则有xx 2 不妨令 从 4 3 2 1 1 1 1 11 12 2 2 2 2 x xx xx xx xx y 0 1 4 3 2 1 2 xf xf xgxxf 而 注意 在本题中应排除 因为作为分母 所以故 4 3 xf0 xf xf 4 3 0 xg 1 3 1 y 变式变式 求下列函数的值域 1 2 23 1 x x y 1 1 2 2 x x y 答案 值域 值域y 1 1 3 1 3 1 y 四 反函数法 利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系 通过求反函数的定义域 得四 反函数法 利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系 通过求反函数的定义域 得 到原函数的值域 到原函数的值域 例例 1 求函数的值域 1 2 12 x x y 解析 由解得 1 2 12 x x y 1 2 1 x y y 20 x 1 0 1 y y 函数的值域为 11y 1 2 12 x x y 1 1 y 例例 2 求函数值域 34 56 x y x 解析 由原函数式可得 则其反函数为 其定义域为 故所求函数的值域为 33 55 例例 3 求函数的值域 1 1 x x e e y 解答 先证明有反函数 为此 设且 1 1 x x e e y 21 xx Rxx 21 第 8 页 共 23 页 0 1 1 2 1 1 1 1 21 21 2 2 1 1 21 xx xx x x x x ee ee e e e e yy 所以为减函数 存在反函数 可以求得其反函数为 此函数的定义域为 故原函数 y x x y 1 1 1 ln 1 1 x 的值域为 1 1 y 例例 4 求函数的值域 1 1 0 0 xbaba bxa bxa y 解法 1 1 x 1 a b a bx a b ba a bxa a ba a 222 ba a bxa a y ba a 2 1 2 11 2 ba ba y ba ba 解法 2 反函数法 由 1 x 1 得 1 2 yb a b a x1 1 2 1 yb a b a x ba ba y ba ba 5 判别式法 把函数转化成关于判别式法 把函数转化成关于的二次方程的二次方程 通过方程有实数根 判别式 通过方程有实数根 判别式 从 从x 0F x y 0 而求得原函数的值域 形如而求得原函数的值域 形如 不同时为零 的函数的值域 常用此方法不同时为零 的函数的值域 常用此方法 2 111 2 222 a xb xc y a xb xc 1 a 2 a 求解 求解 解析式中含有分式和根式 解析式中含有分式和根式 例例 1 1 求函数的值域 2 2 1 1 xx y x 解析 原函数化为关于 x 的一元二次方程 由于 x 取一切实数 故有 1 当时 解得 2 当 y 1 时 而 故函数的值域为 例例 2 2 求函数的值域 2 yxxx 解析 两边平方整理得 1 解得 第 9 页 共 23 页 但此时的函数的定义域由 得 由 仅保证关于 x 的方程 在实数集 R 有实根 而不能确保其实根在区间 0 2 上 即不能确保方程 1 有实根 由 求出的范围可能比 y 的实际范围大 故不能确定此函数的值域为 可以采取如下方法进一步确定原函数的值域 代入方程 1 解得 即当时 原函数的值域为 注 由判别式法来判断函数的值域时 若原函数的定义域不是实数集时 应综合函数的定义域 将扩大的部分 剔除 解法二 令 2 2 1 x 1 yxxxx 2 2 sin1 x 4 sin 21cossin1 y 4 3 44 1 4 sin 2 2 原函数的值域为 例例 3 3 已知函数的值域为 1 3 求的值 2 2 2 1 xaxb f x x a b 解析解析 2 2 2 1 xaxb y x 22 2 04 y 2 y b 0yxaxyba 22 44 2b y 8b a0y 由于由于的值域为 1 3 故上式不等式的解集为 y 1 y 3 2 2 2 1 xaxb f x x 第 10 页 共 23 页 12 2 12 21 3 2 8 2 3 4 yyb a ba b y y 例例 4 4 求函数的值域 22 1 2 xx x y 解法 1 先将此函数化成隐函数的形式得 1 012 12 2 yxyyx 这是一个关于的一元二次方程 原函数有定义 等价于此方程有解 即方程 1 的判别式 x 解得 0 12 4 12 2 yyy 2 1 2 1 y 故原函数的值域为 2 1 2 1 y 解法 2 当 x 1 时 1 1 1 1 22 1 2 x x y xx x 由于 当 x 10 x1 x2是方程 ax2 bx a2 0 的二个实根 并且 x1 x2 2 求 a 的取值范围以及 b 的最大值 解析 由韦达定理知 x1x2 a0 从而 a 的取值范围是 00 2 3 k yx x 2 2 2 1 x y x 解析 1 若 x 0 时 则 等号仅当 x k x 即时成立 3 x k xyk x k x2332 kx 若 x0 y2 sec x 4csc x 2 sec2 x 16csc2 x 8sec xcsc x tan2x 1 16 cot2x 1 8 xx xx sincos sincos 22 17 tan2x 4cot x 4cot x 16cot2 x 4tan x 4tan x 323233 tan4tan4cot163cot4cot4tan3 16 1xxxxxx 3 3 161 当且仅当即 这是两个相同的方程 xxx xxx tan4tan4cot16 cot4cot4tan 2 2 1cot4 4tan 3 3 x x 即当 x arctan 时 成立 达到最小值 3 4 2 0 例例 5 5 若函数 y f X 的值域为 则函数的值域是 3 2 1 1 xf xfxF 3 10 2 解析 f x 0 并且当 f x 1 时等号成立 而在 t 时单调递减 2 1 xf xfxF t ttg 1 1 2 1 在 t 1 3 时单调递增 从而在区间上的值域为 在区间 t ttg 1 t ttg 1 1 2 1 2 5 2 2 1 1 gg t ttg 1 1 3 上的值域为 g 1 g 3 2 10 3 综合知 F x 的值域为 3 10 2 例例 6 6 求函数的值域 2 3 x y x 解析 令 则 第 20 页 共 23 页 1 当时 当且仅当 t 1 即时取等号 所以 2 当 t 0 时 y 0 综上所述 函数的值域为 注 先换元 后用不等式法 1111 利用向量不等式利用向量不等式 性质 1 若 则 当且仅当时等式成立 性质 2 当且仅当 a 同向平行时右边等式成立 a 反向平行时左边等式成立 性质 3 当且仅当方向相同且两两平行时等式成立 类型 类型 1 型 同号 例例 1 1 求函数的最大值 5110yxx 解析 构造向量 由性质 1 得 当且仅当 即时 解 2 显然 1 x 10 22 19sin3sin 0 109 1 sin 3cos 4 xx 其中 15sin3cos3 26sin y 1 arctan 5 min 151 sin min sin sin 22262626 max sin sin1 2 所以 3 即15sin3cos3 26sin 3 26y 类型 类型 2 型 例例 2 2 求函数的最大值 2 3109yxx 解析 原函数可变为 取且 构造向量 第 21 页 共 23 页 由性质 1 得 从而 当且仅当 即时 类型 类型 3 型 例例 3 3 求函数的最小值 22 4 3x 9yx 解析 构造向量 由性质 2 得 当且仅当 a 与 b 同向平行时等式成立 所以 此时 类型 类型 4 其它类型 例例 4 4 设 x1 i 1 2 2003 为正实数 且 试求 112015 2015xxx 的最小值