二次函数与一元二次方程和一元二次不等式

二次函数与一元二次方程和一元二次不等式二次函数与一元二次方程和一元二次不等式 二次函数 2 0 yaxbxc a 是初中函数的主要内容 也是高中学习的重要基 础 在初中阶段大家已经知道 二次函数在自变量x取任意实数时的最值情况 当 0a 时 函数在 2 b x a 处取得最小值 2 4 4 acb a 无最大值 当 0a 时 函数在 2 b x a 处取得 最大值 2 4 4 acb a 无最小值 方程与函数不仅是初中数学中的重要内容 也是高中数学学习的重要内容 方程与 函数之间存在着密切的联系 二次函数的图象与 x 轴交点的横坐标即为相应的二次方程 的解 课程标准要求我们能利用二次函数的图象求二次方程的近似解 本节我们将进一步研究一元二次方程与函数问题 研究当自变量x在某个范围内取值 时 函数的最值问题 同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用 例例 1 已知二次函数 2 2yxxm 的部分图象如图所示 则关于x的一元二次方程 2 20 xxm 的解为 分析 分析 因为二次方程 2 20 xxm 的根为二次函数 2 2yxxm 的图象与 x 轴交 点横坐标 根据已知条件 2 2yxxm 可知抛物线的对称轴为直线1x 根据 图象可知抛物线与 x 轴的一个交点的横坐标为3x 所以利用抛物线的对称性知抛物线 与 x 轴的另一个交点横坐标为 1 因此 方程 2 20 xxm 的解为 3 和 1 本题 利用抛物线的轴对称性求抛物线与轴的交点坐标 从而求出相应的一元二次方程的根 例例 2 二次函数 2 0yaxbxc aabc 是常数 中 自变量x与函数y的对 应值如下表 x1 1 2 0 1 2 1 3 2 2 5 2 3 y 2 1 4 1 7 4 2 7 4 1 1 4 2 1 判断二次函数图象的开口方向 并写出它的顶点坐标 2 一元二次方程 2 0 0axbxcaabc 是常数 的两个根 12 xx 的取值范围 是下列选项中的哪一个 12 13 02 22 xx 12 15 12 22 xx 12 15 0 2 22 xx 12 1 3 12 2 2 xx 分析 分析 本题以表格的形式给出二次函数 2 yaxbxc 的部分对应值 解题时可以选定三 对值 求出二次函数解析式 再判断开口方向 求出顶点坐标 但这样去做计算量较大 观察表格的特征发现 与1x 等距离的 x 对应的函数值相等 所以直线1x 是抛物线的 对称轴 因此抛物线的顶点坐标为 1 2 观察表格发现 当1x 时 y 随着 x 的增大 而减小 当1x 时 y 随着 x 的增大而增大 所以抛物线的开口向下 2 一元二次方程 2 0 0axbxcaabc 是常数 的根即为抛物线 2 yaxbxc 与 x 轴交点的 横坐标 观察表格发现 1 2 与 0 之间一定有一个 x 的值 使 2 yaxbxc 0 2 与 5 2 之间一定有一个 x 的值 使 2 yaxbxc 0 所以 2 0axbxc 的两根 12 xx 的 取值范围是 12 15 0 2 22 xx 故答案为 例例 3 已知函数 2 yaxbxc 的图象如图所示 那么关于x的方程 2 20axbxc 的根的情况是 A 无实数根B 有两个相等实数根 C 有两个异号实数根D 有两个同号不等实数根 分析 分析 本题以图象的形式给出信息 要判断关于x的方程 2 20axbxc 的根的情况 因为 2 20axbxc 可化为 2 2axbxc 即 2 2yaxbxc 所以 方程 2 20axbxc 的根即为抛物线与直线 y 2 的交点横坐标 作直线 y 2 观察图 象可知直线与抛物线的交点在第四象限 因此交点横坐标都为正 故答案为 D 本题把方 程的根转化为抛物线与直线的交点横坐标 例例 4 二次函数 2 0 yaxbxc a 的图象如图所示 根据图象解答下列问题 1 写出方程 2 0axbxc 的两个根 2 写出不等式 2 0axbxc 的解集 3 写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围 4 若方程 2 axbxck 有两个不相等的实数根 求k的取值范围 分析 分析 本题以图象的形式给出信息 考查了二次函数 二次方程 二次不等式这三个二次之 间的关系 1 方程 2 0axbxc 的根即抛物线 2 0 yaxbxc a 与 x 轴交点的横坐标 观 察图象得方程 2 0axbxc 的两根为 1 1x 2 3x 2 不等式 2 0axbxc 的解集即抛物线 2 0 yaxbxc a 位于 x 轴上方的那一 段的 x 的范围 观察图象得不等式 2 0axbxc 的解集为13x 3 抛物线的增减性是以对称轴为界 抛物线的对称轴为2x 结合图象得对称轴右边 y随x的增大而减小 所以2x 4 方程 2 axbxck 的解为抛物线 2 0 yaxbxc a 与直线yk 的交点 所 以当2k 时 抛物线与直线有两个交点 即方程 2 axbxck 有两个不相等的实数根 的k的取值范围是2k 例例 5 当22x 时 求函数 2 23yxx 的最大值和最小值 分析 分析 作出函数在所给范围的及其对称轴的草图 观察图象的最高点和最低点 由此 得到函数的最大值 最小值及函数取到最值时相应自变量x的值 解 解 作出函数的图象 当1x 时 min 4y 当2x 时 max 5y x y 3 3 2 2 1 14 1 1 2 O 例例 6 当12x 时 求函数 2 1yxx 的最大值和最小值 解 解 作出函数的图象 当1x 时 min 1y 当2x 时 max 5y 由上述两例可以看到 二次函数在自变量x的给定范围内 对应的图象是抛物线上的 一段 那么最高点的纵坐标即为函数的最大值 最低点的纵坐标即为函数的最小值 根据二次函数对称轴的位置 函数在所给自变量x的范围的图象形状各异 下面给出 一些常见情况 例例 7 当0 x 时 求函数 2 yxx 的取值范围 解 解 作出函数 2 2 2yxxxx 在0 x 内的图象 可以看出 当1x 时 min 1y 无最大值 所以 当0 x 时 函数的取值范围是1y 例例 8 当1txt 时 求函数 2 15 22 yxx 的最小值 其中t为常数 分析 分析 由于x所给的范围随着t的变化而变化 所以需要比较对称轴与其范围的相对 位置 解 解 函数 2 15 22 yxx 的对称轴为1x 画出其草图 1 当对称轴在所给范围左侧 即1t 时 当xt 时 2 min 15 22 ytt 2 当对称轴在所给范围之间 即1101ttt 时 当1x 时 2 min 15 113 22 y 3 当对称轴在所给范围右侧 即110tt 时 当1xt 时 22 min 151 1 1 3 222 yttt 综上所述 2 2 1 3 0 2 3 01 15 1 22 tt yt ttt 在实际生活中 我们也会遇到一些与二次函数有关的问题 例例 9 某商场以每件 30 元的价格购进一种商品 试销中发现这种商品每天的销售量 m 件 与每件的销售价x 元 满足一次函数1623 3054mxx 1 写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件销售价x之间的函数关系式 2 若商场要想每天获得最大销售利润 每件商品的售价定为多少最合适 最大销售 利润为多少 解 解 1 由已知得每件商品的销售利润为 30 x 元 那么m件的销售利润为 30 ym x 又1623mx 2 30 1623 32524860 3054yxxxxx 2 由 1 知对称轴为42x 位于x的范围内 另抛物线开口向下 当42x 时 2 max 342252424860432y 当每件商品的售价定为 42 元时每天有最大销售利润 最大销售利润为 432 元 课后自我检测课后自我检测 A 组组 1 抛物线 2 4 23yxmxm 当m 时 图象的顶点在y轴上 当 m 时 图象的顶点在x轴上 当m 时 图象过原点 2 用一长度为l米的铁丝围成一个长方形或正方形 则其所围成的最大面积为 3 求下列二次函数的最值 1 2 245yxx 2 1 2 yx x 4 求二次函数 2 235yxx 在22x 上的最大值和最小值 并求对应的x的值 5 对于函数 2 243yxx 当0 x 时 求y的取值范围 6 求函数 2 3532yxx 的最大值和最小值 7 已知关于x的函数 22 21 1yxtxt 当t取何值时 y的最小值为 0 8 若不等式0 2 cbxx的解为 1 x 2 则 9 当直线0 byax在两点 P 1 1 Q 2 1 之间通过时 求实数ba 满足的关系式 10 二次方程 22 1 20 xaxa 有一个根比1大 另一个根比1 小 则a的取值范 围是 11 已知函数 2 0 yaxbxc a 的图象经过点 1 3 和 1 1 两点 若01c 则 a的取值范围是 12 若方程05 2 2 mxmx只有正根 则m的取值范围是 B 组组 1 已知关于x的函数 2 22yxax 在55x 上 1 当1a 时 求函数的最大值和最小值 2 当a为实数时 求函数的最大值 2 函数 2 23yxx 在0mx 上的最大值为 3 最小值为 2 求m的取值范围 3 设0a 当11x 时 函数 2 1yxaxb 的最小值是4 最大值是 0 求 a b的值 4 已知函数 2 21yxax 在12x 上的最大值为 4 求a的值 5 求关于x的二次函数 2 21yxtx 在11x 上的最大值 t为常数 6 已知关于 的不等式0 2 txx对Rx 恒成立 则 的取值范围是 7 不等式 2 2 2 2 40axax 对一切实数 x 恒成立 则实数 a 的取值范围是 8 一元二次不等式 2 20axbx 的解是 11 23 x 则ab 的值是 课后自我检测参考答案课后自我检测参考答案 A 组组 1 4 14 或 2 3 2 2 2 2 16 l m 3 1 有最小值 3 无最大值 2 有最大值 9 4 无最小值 4 当 3 4 x 时 min 31 8 y 当2x 时 ma