2019-2020学年新教材高中数学 第三章 函数的概念与性质 3.1.1.1 函数的概念学案 新人教A版必修第一册

1 第第 1 1 课时课时 函数的概念函数的概念 1 理解函数的概念 2 了解构成函数的三要素 3 能正确使用函数 区间符号 1 函数的概念 1 函数的定义 设a b是非空的实数集 如果对于集合a中的任意一个数x 按照某种确定的对应关 系f 在集合b中都有唯一确定的数y和它对应 那么就称f a b为从集合a到集合b 的一个函数 记作y f x x a 2 函数的定义域与值域 函数y f x 中 x叫做自变量 x的取值范围a叫做函数的定义域 与x的值相对应 的y值叫做函数值 函数值的集合 f x x a 叫做函数的值域 显然 值域是集合b的子 集 3 对应关系f 除解析式 图象表格外 还有其他表示 对应关系的方法 引进符号f统一表示对应关系 温馨提示 1 当a b为非空数集时 符号 f a b 表示a到b的一个函数 2 集合a中的数具有任意性 集合b中的数具有唯一性 3 符号 f 它表示对应关系 在不同的函数中f的具体含义不一样 2 区间概念 a b为实数 且a0 对应法则f 对a中元素求面积与b中元素对应 2 设m x 2 x 2 n y 0 y 2 函数y f x 的定义域为m 值域为n 对于下列四个图象 不可作为函数y f x 的图象的是 3 思路导引 在 非空数集 a中 任取x 在对应关系 f 作用下 b中 有唯一 的 数f x 与之 对应 称f a b为集合a到集合b的一个函数 解析 1 对于a中的元素 0 在f的作用下得 0 但 0 不属于b 即a中的元素 0 在b中没有元素与之对应 所以不是函数 对于a中的元素 1 在f的作用下与b中的 1 对应 a中的元素 2 在f的作用 下与b中的 4 对应 所以满足a中的任一元素与b中唯一元素对应 是 多对一 的对应 故是函数 对于a中的任一元素 在对应关系f的作用下 b中都有唯一的元素与之对应 如 1 对应 1 2 对应 4 所以是函数 集合a不是数集 故不是函数 2 由函数定义可知 任意作一条直线x a 则与函数的图象至多有一个交点 结合 选项可知 c 中图象不表示y是x的函数 答案 1 见解析 2 c 1 判断对应关系是否为函数的 2 个条件 a b必须是非空数集 a中任意一元素在b中有且只有一个元素与之对应 2 根据图形判断对应是否为函数的方法 任取一条垂直于x轴的直线l 在定义域内平行移动直线l 若l与图形有且只有一个交点 则是函数 若在定义域内没有交点或有两个或两个 以上的交点 则不是函数 4 针对训练 1 若集合m x 0 x 2 n y 0 y 3 则下列图形给出的对应中能构成从m 到n的函数f m n的是 解析 a 中的对应不满足函数的存在性 即存在x m 但n中无与之对应的 y b c 均不满足函数的唯一性 只有 d 正确 答案 d 2 下列对应为从集合a到集合b的一个函数的是 填序号 a r r b x x 0 f x y x a z z b n n f x y x2 a z z b z z f x y x a 1 1 b 0 f x y 0 解析 中 集合a中的元素 0 在集合b中没有元素与之对应 中同样是集合a 中的元素 0 在集合b中没有元素与之对应 对于 集合a中负整数没有意义 答案 题型二用区间表示数集 典例 2 把下列数集用区间表示 并在数轴上表示出来 1 x x 3 2 x x 5 3 x 4 x 2 或 3 x 5 思路导引 用区间表示数集的关键是确定开 闭区间 含 或 的数集用符号 连接区间 解 1 x x 3 用区间表示为 3 用数轴表示如图 5 2 x x 5 用区间表示为 5 用数轴表示如图 3 x 4 x 2 或 3 x 5 用区间表示为 4 2 3 5 用数轴表示如图 应用区间时的 3 个注意点 1 区间是数集 区间的左端点小于右端点 2 在用区间表示集合时 开和闭不能混淆 3 用数轴表示区间时 用实心点表示包括在区间内的端点 用空心圈表示不包括在区 间内的端点 针对训练 3 已知全集u r r a x 15 1 5 答案 1 5 4 用区间表示不等式 x x2 x 6 0 的解集为 解析 不等式x2 x 6 x 3 x 2 0 解得x 3 或x 2 所以不等式的解 集为 x x 2 或x 3 2 3 答案 2 3 题型三求函数的定义域 典例 3 求下列函数的定义域 1 y 2 3 x 2 2 y x 1 0 2 x 1 3 y 3 xx 1 4 y x 1 2 x 1 x2 x 6 思路导引 函数定义域即是使自变量x有意义的取值范围 解 1 当且仅当x 2 0 即x 2 时 函数y 2 有意义 所以这个函数的 3 x 2 6 定义域为 x x 2 2 函数有意义 当且仅当error 解得x 1 且x 1 所以这个函数的定义域为 x x 1 且x 1 3 函数有意义 当且仅当error 解得 1 x 3 所以这个函数的定义域为 x 1 x 3 4 要使函数有意义 自变量x的取值必须满足error 即error 即error 解得 3 x 2 且x 1 即函数定义域为 x 3 x 2 且x 1 变式 1 将本例 3 中 y 改为 y 则其定义域 3 xx 1 3 x x 1 是什么 2 将本例 3 中 y 改为 y 则其定义域是什么 3 xx 1 3 x x 1 解 1 要使函数有意义 只需 3 x x 1 0 解得 1 x 3 即定义域为 x 1 x 3 2 要使函数有意义 则error 解得 1 x 3 即定义域为 x 1 x 3 求函数定义域的几种类型 1 若f x 是整式 则函数的定义域是 r r 2 若f x 是分式 则应考虑使分母不为零 3 若f x 是偶次根式 则被开方数大于或等于零 4 若f x 是由几个式子构成的 则函数的定义域是几个部分定义域的交集 5 若f x 是实际问题的解析式 则应符合实际问题 使实际问题有意义 针对训练 5 求下列函数的定义域 1 y x2 2x 3 2 y 1 x x 3 y 10 x2 x 3 解 1 要使函数有意义 需x2 2x 3 0 即 x 3 x 1 0 所以x 3 或 x 1 即函数的定义域为 x x 3 或x 1 2 要使函数有意义 则 x x 0 即 x x 得x 0 所以函数的定义域为 0 3 要使函数有意义 则error 解得 x 且x 3 即定义域为 1010 7 x x 且x 3 1010 课堂归纳小结 1 函数的本质 两个非空数集间的一种确定的对应关系 由于函数的定义域和对应关 系一旦确定 值域随之确定 2 定义域是一个集合 所以需要写成集合的形式 在已知函数解析式又对x没有其他 限制时 定义域就是使函数式有意义的x的集合 3 对区间的几点认识 1 区间是集合 是数集 区间的左端点必须小于右端点 2 用数轴表示区间时 用实心点表示包括在区间内的端点 用空心点表示不包括在区 间内的端点 3 在用区间表示集合时 开和闭不能混淆 4 是一个符号 不是一个数 它表示数的变化趋势 1 函数f x 的定义域为 x 1 x 2 a 1 2 2 b 1 c 1 2 d 1 解析 由题意可知 要使函数有意义 需满足error 即x 1 且x 2 答案 a 2 函数y 的定义域为 1 x2x a x x 1 b x x 0 c x x 1 或x 1 d x 0 x 1 解析 由题意可知error 解得 0 x 1 答案 d 3 函数f x 的定义域为 x 2 1 x x 2 a x 2 x 1 b x 2 x 1 c x 2 x 1 d x x 1 解析 要使函数有意义 需error 解得 2 x 1 且x 2 所以函数的定义域是 x 2 x 1 答案 c 4 集合 x 1 x 0 或 10 又矩形的周长为 1 所以x2 不合题意 故选 c 8 3 答案 c 3 下列对应关系或关系式中 是a到b的函数的是 a x2 y2 1 x a y b b a 1 2 3 4 b 0 1 对应关系如图 9 c a r r b r r f x y 1 x 2 d a z z b z z f x y 2x 1 解析 a 错误 x2 y2 1 可化为y 显然对任意x a y值不一定唯 1 x2 一 b 正确 符合函数的定义 c 错误 2 a 在b中找不到与之相对应的数 d 错误 1 a 在b中找不到与之相对应的数 答案 b 4 函数f x 的定义域为m g x 的定义域为n 则m n 1 2 xx 2 a x x 2 b x 2 x 2 c x 2 x 2 d x x 2 解析 函数f x 的定义域为 x x 2 g x 的定义域为 x x 2 从而m x x 2 n x x 2 所以m n x 2 x0 c x 0 x0 x10 2x x 5 2 此函数的定义域为error 答案 d 二 填空题 6 下列说法正确的是 填所有正确说法的序号 函数的定义域可以是空集 函数的定义域和值域确定后 对应关系也就确定了 函数的定义域 值域都是非空的数集 函数值域中的每一个值在定义域中都有唯一确定的数与之对应 解析 由函数定义知 定义域和值域都是非空的数集 故 错误 正确 函数的 10 定义域和值域确定后 可以有不同的对应关系 如y x y x2 故 错误 函数值域 中的每一个值在定义域中有一个或多个确定的数与之对应 故 错误 答案 7 函数y 的定义域是 7 6x x2 解析 由已知得 7 6x x2 0 即x2 6x 7 0 解得 1 x 7 故函数的定义 域为 1 7 答案 1 7 8 设集合a x x2 8x 20 0 b 5 13 则 r r a b 用 区间表示 解析 a x x2 8x 20 0 x 2 x 10 a b 5 10 r r a b 5 10 答案 5 10 三 解答题 9 求下列函数的定义域 1 y x 3 0 x x 2 y 1 3 x2 57 x 解 1 由题意得error 化简得error 即error 故函数的定义域为 x x0 x r r b y y r r 对应法则f x y2 3x a x x r r b y y r r 对应法则f x x2 y2 25 a r r b r r 对应法则f x y x2 a x y x r r y r r b r r 对应法则f x y s x y a x 1 x 1 x r r b 0 对应法则f x y 0 a b c d 解析 在对应法则f下 a中不能被 3 整除的数在b中没有元素与之对应 所以 不能确定y是x的函数 在对应法则f下 a中的数在b中有两个数与之对应 所以不 能确定y是x的函数 在对应法则f下 a中的数 除去 5 与 5 外 在b中有两个数或没 有数与之对应 所以不能确定y是x的函数 a不是数集 所以不能确定y是x的函 12 数 显然满足函数的特征 故能确定y是x的函数 故选 d 答案 d 14 已知区间 2a 3a 5 则a的取值范围为 解析 由题意可知 3a 5 2a 解得a 1 故a的取值范围是 1 答案 1 15 函数y 的定义域为 用区间表示 3 2x x2 1 4 x2 解析 使根式有意义的实数x的集合是 x 3 2x x2 0 即 x 3 x 3 2x x2