2014-2015学年宁波中学高一必修1函数单元测试

试卷第 1 页 总 11 页 2014 2015 学年宁波中学高一必修学年宁波中学高一必修 1 函数单元测试函数单元测试 一 选择题一 选择题 1 函数 且 的图像过一个定点 则这个定点坐标是 1 4 x f xa 0a 1a A 5 1 B 1 5 C 1 4 D 4 1 2 定义在上的函数对任意两个不相等实数 总有成立 R f x a b 0 f af b ab 则必有 A 在上是增函数 B 在上是减函数 f xR f xR C 函数是先增加后减少 D 函数是先减少后增加 f x f x 3 已知 a 0 3 b 0 3 2 0 2 0 3c 则 a b c 三者的大小关系是 A b c a B b a c C a b c D c b a 4 已知 x0是函数 f x 2x 的一个零点 若 x1 1 x0 x2 x0 则 1 1x A f x1 0 f x2 0 B f x1 0 f x2 0 C f x1 0 f x2 0 D f x1 0 f x2 0 5 已知函数是定义在区间 2 2 上的偶函数 当时 是减函数 f x 0 2 x f x 如果不等式成立 则实数的取值范围 1 fmf m m A B 1 2 C D 1 1 2 0 1 6 若方程在 1 1 上有实根 则的取值范围为 0 2 3 2 kxxk A B C D 2 1 16 9 2 5 2 1 2 5 16 9 16 9 7 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著 以其名命名的函数 被称为狄利克雷函数 其中为实数集 为有理数集 则关于函 QCx Qx xf R 0 1 RQ 数有如下四个命题 f x 函数是偶函数 0ff x f x 任取一个不为零的有理数 对任意的恒成立 T f xTf x x R 存在三个点 使得为等边三角形 112233 A xf xB xf xC xf xABC 其中真命题的个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 二 填空题二 填空题 试卷第 2 页 总 11 页 8 已知 1 2 3 3 3 3 log6 3 x ex f xff xx 则的值为 9 每次用相同体积的清水洗一件衣物 且每次能洗去污垢的 若洗n次后 存在的 3 4 污垢在 1 以下 则n的最小值为 10 已知函数y log2 ax 1 在 1 2 上单调递增 则a的取值范围为 11 若奇函数 f x 与偶函数 g x 满足 f x g x 2x 则函数 g x 的最小值是 12 定义在实数集上的函数 f x 如果存在函数 g xAxB 为常数 RA B 使得 f xg x 对一切实数x都成立 那么称 g x为函数 f x的一个承托函 数 给出如下四个结论 对于给定的函数 f x 其承托函数可能不存在 也可能有无数个 定义域和值域都是的函数 f x不存在承托函数 R 2g xx 为函数 3f xx 的一个承托函数 1 2 g xx 为函数 2 f xx 的一个承托函数 其中所有正确结论的序号是 三 解答题三 解答题 13 化简或求值 0 520 71 2 0 1 93 22 lg2 lg2lg5 lg2 lg4 1 14 已知幂函数为偶函数 21 22 m f xmmx 1 求的解析式 f x 2 若函数在区间 2 3 上为单调函数 求实数的取值 2 1 1yf xax a 范围 15 已知函数 f x 2x 1 1 1 作出函数 y f x 的图象 2 若 af c 求证 2a 2c 4 16 已知0 a且1 a 函数 1 log xxf a x xg a 1 1 log 记 2 xgxfxF 1 求函数 xF的定义域及其零点 2 若关于x的方程 2 2350F xmm 在区间 1 0 内仅有一解 求实数m的 取值范围 试卷第 3 页 总 11 页 2014 2015 学年宁波中学高一必修 1 函数单元测试答卷 姓名 班级 学号 一 选择题 1234567 二 填空题 8 9 10 11 12 三 解答题 13 求值 0 520 71 2 0 1 93 22 lg2 lg2lg5 lg2 lg4 1 14 已知幂函数为偶函数 21 22 m f xmmx 1 求的解析式 f x 2 若函数在区间 2 3 上为单调函数 求实数的取值 2 1 1yf xax a 范围 试卷第 4 页 总 11 页 15 已知函数 f x 2x 1 1 1 作出函数 y f x 的图象 2 若 af c 求证 2a 2cc a B b a c C a b c D c b a 答案 A 试题分析 由指数函数的单调性可知是单调递减的所以即0 3xy 0 50 2 0 30 3 a c 1 是单调增的 所以 即可知 A 正确2xy 0 30 221y 4 已知 x0是函数 f x 2x 的一个零点 若 x1 1 x0 x2 x0 则 1 1x A f x1 0 f x2 0B f x1 0 f x2 0C f x1 0 f x2 0D f x1 0 f x2 0 答案 B 解析 构造函数 y 2x和函数 y 并画出函数的图象 可根据函数 1 1x 的图象进行判断 在同一平面直角坐标系中画出函数 y 2x和函数 y 的图象 如图所示 1 1x 由图可知函数 y 2x和函数 y 的图象只有一 1 1x 个交点 即函数 f x 2x 只有一个零点 x0 1 1x 且 x0 1 因为 x1 1 x0 x2 x0 则由函数图象 可知 f x1 0 f x2 0 试卷第 6 页 总 11 页 5 已知函数是定义在区间 2 2 上的偶函数 当时 是减函数 f x 0 2 x f x 如果不等式成立 则实数的取值范围 1 fmf m m A B 1 2 C D 1 1 2 0 1 答案 A试题分析 根据题意知 函数在上单调递增 在上单调递减 首 0 2 2 0 先满足 可得 根据函数是偶函数可知 22 212 m m 21 m mfmf 所以分两种情况 当时 根据不等式成立 有 解20 m 1 fmf m 12 21mmmm 或 得 当时 根据不等式成立 有 1 0 2 m 20m 1 fmf m 解得 12 21mmmm 或10m 综上可得 1 1 2 m 6 若方程在 1 1 上有实根 则的取值范围为 0 2 3 2 kxxk A B C D 2 1 16 9 2 5 2 1 2 5 16 9 16 9 答案 C 试题分析 令 由已知分两种情形 2 3 2 f xxxk 1 若方程在上有两个实根 则0 2 3 2 kxx 1 1 解得 2 2 3 40 2 3 1110 2 3 110 2 k fk fk 91 162 k 2 若方程在上只有一个实根 则 解得0 2 3 2 kxx 1 1 10 10 f f 15 22 k 综上所述 故选 C 95 162 k 7 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著 以其名命名的函数 被称为狄利克雷函数 其中为实数集 为有理数集 则关于函 1 0 R xQ f x xQ RQ 数有如下四个命题 f x 试卷第 7 页 总 11 页 函数是偶函数 0ff x f x 任取一个不为零的有理数 对任意的恒成立 T f xTf x x R 存在三个点 使得为等边三角形 112233 A xf xB xf xC xf xABC 其中真命题的个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 答案 C 试题分析 由题意知 故 故 是假命题 当 f xQ 1f f x 时 则 当时 则xQ xQ 1fxf x R xC Q R xC Q 故函数是偶函数 是真命题 任取一个一个不为零的有 0fxf x f x 理数 都有 故 是真命题 取点 T 1f xTf x 0 1 A 3 0 3 B 是等边三角形 故 是真命题 3 0 3 CABC 二 填空题二 填空题 8 已知 1 2 3 3 3 3 log6 3 x ex f xff xx 则的值为 答案 3 9 每次用相同体积的清水洗一件衣物 且每次能洗去污垢的 若洗n次后 存在的 3 4 污垢在 1 以下 则n的最小值为 答案 4 试题分析 因为每次洗去后存在的污垢为原来的所以洗 n 次后 存在的 4 1 污垢为原来的 由解得 因此 n 的最小值为 n 4 1 1 4 1 n 4 n 4 10 已知函数y log2 ax 1 在 1 2 上单调递增 则a的取值范围为 答案 1 解析 根据复合函数的单调性及对数函数的定义域求解 因为 y log2 ax 1 在 1 2 上单调递增 所以u ax 1 在 1 2 单调递增 且恒大于 0 即 a 1 0 10 a a 11 若奇函数 f x 与偶函数 g x 满足 f x g x 2x 则函数 g x 的最小值是 答案 1 解析 由 f x g x 2x 得 f x g x 2 x 由 f x 是奇函数 g x 是偶函数 f x g x 2 x g x 2x 2 x g x 1 1 2 12 定义在实数集上的函数 f x 如果存在函数 g xAxB 为常数 RA B 试卷第 8 页 总 11 页 使得 f xg x 对一切实数x都成立 那么称 g x为函数 f x的一个承托函 数 给出如下四个结论 对于给定的函数 f x 其承托函数可能不存在 也可能有无数个 定义域和值域都是的函数 f x不存在承托函数 R 2g xx 为函数 3f xx 的一个承托函数 1 2 g xx 为函数 2 f xx 的一个承托函数 其中所有正确结论的序号是 答案 试题分析 由题意可知 如果存在函数 g xAxB 为常数 AB 使得 f xg x 对一切实数x都成立 那么称 g x 为函数 f x 的一个承托函数 那么对于来说 不存在承托函数 当 则此时有无数 f xB 2xf x g xx 个承托函数 定义域和值域都是的函数 f x 不存在承托函数 因为一个函数本 R 身就是自己的承托函数 故错误 对于 因为 3f xx 恒成立 则可知 2x 2g xx 为函数 3f xx 的一个承托函数 成立 对于 如果 1 2 g xx 为函数 2 f xx 的一个承托函数 则必然有并非对任意实数都成立 只有当 2 1 2 xx 或时成立 因此错误 综上可知正确的序号为 1 2 x 0 x 三 解答题三 解答题 13 化简或求值 0 520 71 2 0 1 93 22 lg2 lg2lg5 lg2 lg4 1 答案 1 原式 3 1 1100 9 25 2 1 3 分 3 1 1100 3 5 101 5 2 解 原式 2 12 lg 5lg2 lg2lg 8 1 2lg1 2lg 10 分 14 已知幂函数为偶函数 21 22 m f xmmx 试卷第 9 页 总 11 页 1 求的解析式 f x 2 若函数在区间 2 3 上为单调函数 求实数的取值 2 1 1yf xax a 范围 答案 1 2 或 2 f xx 3a 4a 试题分析 1 因为是幂函数 所以 得出的值 在代入 看是 2 221mm m 否是偶函数 2 将 1 的结果代入 2 式 函数在为单调函数 即在对称轴 32 的某一侧 从而求出的取值范围 a 试题解析 解 1 由为幂函数知 得 或 f x 2 221mm 1m 1 2 m 3 分 当时 符合题意 当时 不合题意 舍去 1m 2 f xx 1 2 m 1 2 f xx 5 分 2 f xx 2 由 1 得 即函数的对称轴为 2 2 1 1yxax 1xa 7 分 由题意知在 2 3 上为单调函数 即或 2 2 1 1yxax 3a 4a 10 分 考点 1 幂函数的定义 2 二次函数的单调性 15 已知函数 f x 2x 1 1 1 作出函数 y f x 的图象 2 若 af c 求证 2a 2c 4 解析 1 f x 其图象如图所示 1 1 211 1 21 xx xx 5 分 2 证明 由图知 f x 在 1 上是减函数 在 1 上是增函数 故结合条 件知必有 a 1 7 分 若 c 1 则 2a 2 2c 2 所以 2a 2c1 则由 f a f c 得 1 2a 1 2c 1 1 即 2c 1 2a 1 2 所以 2a 2c 4 综上 知 总有 2a 2c 4 10 分 16 已知0 a且1 a 函数 1 log xxf a x xg a 1 1 log 记 2 xgxfxF 试卷第 10 页 总 11 页 1 求函数 xF的定义域及其零点 2 若关于x的方程 2 2350F xmm 在区间 1 0 内仅有一解 求实数m的 取值范围 答案 1 1 1 0 2 试题解析 1 解 1 2 xgxfxF x x aa 1 1 log 1 log2 0 a且 1 a 01 01 x x 解得11 x 所以函数 xF的定义域为 1 1 2 分 令 xF0 则0 1 1 log 1 log2 x x aa 方程变为 1 log 1 log 2 xx aa xx 1 1 2 即03 2 xx 解得0 1 x 3 2 x 3 分 经检验3 x是 的增根 所以方程 的解为0 x 所以函数 xF的零点为0 4 分 2 函数 1 1 1 yxy x 在定义域 D 上是增函数