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1 3 20192019 年年gong wu yuan行测行测 容斥问题解题技巧容斥问题解题技巧 1 1 概念概念 容斥问题即包含与排斥问题 它是一种计数问题 在计数时 几个计数部分有重复包含时 为了不重复计数 应从他们的和中排 除重复部分 采用这种计数方法的题型称为容斥问题 简单来说就 是要做到不重不漏 此类题目的题目特点为 题中给出多个概念 各个概念之间有集合关联 2 2 解题原则解题原则 将重复计数的次数变为一次 或者说是把重叠的面积变为一层 做到不重不漏 即先不考虑重叠的情况 把包含于某内容中的所有 对象的数量先计算出来 然后再把计数时重复计算的数量剔除掉 把遗漏的数量补上 使得计算结果既无遗漏又无重复 3 3 解题方法解题方法 公式法公式法 1 两者容斥 2 三者容斥 3 容斥极值 4 4 经典例题经典例题 例 1 某科研单位共有 68 名科研人员 其中 45 人具有硕士以上 学历 30 人具有高级职称 12 人兼而有之 既没有高级职称也没有 硕士以上学历的科研人员有多少人 2 3 A 13 B 10 C 5 D 8 解析 C 根据题目可知题中涉及的项目共有两个 属于二者容斥 的问题 直接利用两者容斥的公式将相关数据带入可得 求得 选择 C 选项 例 2 学校开设三门选修课 某年级有 240 人 其中有 120 人选 择英语写作 有 95 人选择书法 有 78 人选择精算学 其中有 105 人选择三种学科中的至少两种 30 人三中学科都选择了 问该年级 三种都没选的有多少人 A 122 B 82 C 112 D 216 解析 B 认真分析题目不难发现题中共出现了三个项目 因此该 题为三者容斥问题 在该题中要注意的是题中说有 105 人选择三种 学科中的至少两种 至少两种包含了两种及三种两种情况 因此根 据公式结合不重不漏的原则可得 将相关数据带入可以求得 故选择 B 例 3 一次考试共有 200 人参加 试卷共 5 道题 凡答对 3 题或 3 题以上就为合格 考试结果为 答错第一题的 28 人 答错第二题 的 42 人 打错第三题的 30 人 答错第四题的 32 人 答错第五题的 18 人 则合格的至少有多少人 A 120 B 175 C 150 D 100 解析 C 分析题目可知题中涉及的项目较多有 5 项 且题干要求 3 3 的是合格人数至少位多少 可以初步判定此为容斥极值问题 但是 分析后会发现直接求解合格人数至少有多少无法求解 此时需要反 向去求 要求合格人数至少即求不合格人数至多 要求不合格人数 最多 根据题目可知当每人只错三题时不合格人数最多 而答错的 总题数为 所以不合格人数最多为 则合格人数至少为 选 择 C 选项 容斥问题在考试过程中若出题较为简单则直接利用公式法求解 即可 偶尔也可以结合文氏图进行加以分析帮助思路更加的清晰
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