待定系数法及其应用毕业论文

编号编号 学学士士学学位位论论文文 待定系数法及其应用 学生姓名 学 号 系 部 数学系 专 业 数学与应用数学 年 级 数学 04 3 班 指导教师 完成日期 2009 年 05 月 09 日 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 1 摘要摘要 本论文中主要介绍了待定系数法在因式分解 部分分式 求二次函数的表 达式 证明不等式 求二项式公式 求数列通项公式 求直线方程 求圆的方 程 求二次曲线方程 解决空间问题等方面的应用 关键词 关键词 待定系数法 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 2 目目 录录 中文摘要 1 目 录 2 引言 1 1 用待定系数法因式分解 1 1 待定系数法在二次多项式中的应用 1 2 待定系数法在高次多项式中的应用 3 2 用待定系数法把一个真分式可以分解为部分分式的代数和 3 3 用待定系数法求二次函数的表达式 5 4 用待定系数法证明不等式 7 5 待定系数法在二项式中的应用 8 6 待定系数法在求数列通向公式的应用 9 7 用待定系数法求直线方程 10 8 用待定系数法求圆的方程 11 9 用待定系数法求二次曲线方程 12 10 用待定系数法解决空间问题 13 总结 14 参考文献 14 致谢 16 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 1 引言引言 待定系数法是一种求未知数的方法 设某一多项式的全部或部分系数为未 知数 利用两个多项式恒等时 同类项相等的原理或其他已知条件求出这些未 知数 从广义的意义上说 待定系数法是将某个解析式的一些常数看作未知数 利用已知条件 确定这些未知数 使问题得到解决的方法 一般地说 将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式 这样就 得到一个恒等式 然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组 其 后通过解方程或方程组 便可求出待定系数 找出某些系数所满足的关系式 这种解题的方法叫做待定系数法 1 1 用待定系数法因式分解用待定系数法因式分解 用待定系数法因式分解就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘 积 这些因式中的系数可先用字母表示 它们的值是待定的 由于这些因式的 连乘积与原式恒等 根据恒等原理 建立待定系数的方程组 即可求出待定系 数的值 1 1 待定系数法在二次多项式中的应用待定系数法在二次多项式中的应用 与与的因式分的因式分 22 axbxycydxeyf 222 axbxycydxzeyzfz 解法解法 因为 又令这里的满足 22 axbxycypxryqxsy flt l t 则有 flt ertsl dptql 22 axbxycydxeyf pxrylqxsyt 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 2 同理可得 222 axbxycydxzeyzfz pxrylzqxsytz 例 1 把多项式因式分解 222 121021152xxyyxzyzz 解 由于 22 12102423xxyyxyxy 令 222 121021152xxyyxzyzz 423xylzxytz 222 12102432xxyytl xztl yzltz 由同类项相等原理 得 解得 4311 25 2 tl tl lt 1 2 l t 所以有 222 121021152xxyyxzyzz 4232xyzxyz 例 2 当 p 取什么数值时能分解为两个一次 22 21xxyypxyp 因式的乘积 解 22 22xxyyxyxy 令 22 21xxyypxyp 2xylxyt 22 22xxyylt xtl ylt 因为 解得 或 21 1 ltp tl ltp 1 1 0 1 l t 2 2 2 3 l t 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 3 即 111 1plt 222 5plt 当 时有0l 1t 22 221xxyyxyxyxy 当 时有 2l 3t 22 256xxyyxy 223xyxy 2 2 待定系数法在高次多项式中的应用待定系数法在高次多项式中的应用 用待定系数法高次多项式因式分解 把已知的高次多项式假设为若干个二 次多项式的连乘积 或者把已知的高次多项式假设为若干个二次多项式的乘积 与一次多项式的代数和 这些多项式的系数为待定的 利用同类项相等原理求 出这些待定系数的值 例 3 把多项式 因式分解 432 564xxxx 解 设 43222 564xxxxxaxbxcxd 432 xac xacbd xadbc xbd 由于 解得 1 5 6 4 ac acbd adbc bd 1 1 2 4 a b c d 则有 43222 564124xxxxxxxx 2 2 用待定系数法把一个真分式分解为部分分式的代数和用待定系数法把一个真分式分解为部分分式的代数和 我们知道把几个分式的代数和合成一个分式 例如 1321 123123 x xxxxxx 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 4 其中是的部分分式 132 123xxx 1 123 x xxx 那这个方程从右边怎么得出左边呢 下面的四类形式的真分式分解为部分分式 的代数和的形式如下 1 12 k f x xaxaxa 12 12 k k AAA xaxaxa 2 1 12 2 k kk f xAAA xa xaxaxa 2 12 2 k kk f xAAAA xbxa xbxaxaxa 3 1 2 2 f xABxC xaxpxqxaxpxq 中 0 2 xpxq 2 12 2 2 k f xAA xa xaxpxqxa 2 k k ABxC xpq xa 4 11 2 2 k f xAAxB xaxpxq xaxpxq 2 k A xB kk xpxq 在上面的等式中等式的右边称为左边的部分分式的代数和 只要我们找出 即求出这些待定系数问题就会得到解决 A B C 111 A B C kkk A B C 例 4 把下列分式分解为部分分式的代数和 1 2 32 32 x xx 解 2 32 32 x xx 32 12 x xx 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 5 设 2 32 32 x xx 12 AB xx 21 12 A xB x xx 21 12 A xB x xx 由恒等式原理 得 解得 3 22 AB AB 1 4 A B 所以有 2 32 32 x xx 14 12xx 2 32 4 231 2 xxx x 解 设 32 4 231 2 xxx x 3124 234 2 222 AAAA x xxx 则 32 4 231 2 xxx x 32 1234 222A xAxAxA 解得 所以有 1 2 3 4 2 9 13 7 A A A A 32 4 231 2 xxx x 234 29137 2 222 x xxx 3 3 用待定系数法求二次函数的表达式用待定系数法求二次函数的表达式 例 5 已知抛物线 满足下列条件 求函数的表达式 2 yaxbxc 0a 图像顶点是 且过点点 1 2 1 6 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 6 图像过点 A B C 1 3 2 4 1 3 2 3 图像与轴交于两点 且过点x 2 0 4 0 1 9 解 在中 我们能求出的值 就能写出函数 2 yaxbxc a b c 的表达式 解得 2 1 2 4 2 4 6 b a acb a abc 1 2 3 a b c 函数的表达式为 f x 2 23yxx 解法一 观察题目中所给的坐标可知 1 1x 2 2x 312fxa xx 设 123f xa xx 代入中 得 13 24 f 123f xa xx 1a 即 123f xxx 2 1f xxx 解法二 因为图像过三点 把这三点代入中 得到 A B C 2 yaxbxc 关于的方程组 得到待定系数的值 从而写出函数的表达式 a b c a b c 因为图像过点 把它代入 1 3 2 4 A 1 3B 2 3C 2 yaxbxc 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 7 中 得到方程组 解得 0a 113 424 3 423 abc abc abc 1 1 1 a b c 所以该函数的表达式为 2 1yxx 解 已知抛物线 与轴的交点坐标可设为交 2 yaxbxc 0a x 点式 然后求出就行了 12 yxxxx a 由交点式得 12 ya xxxx 24ya xx 因为图像过点 把它代入中 得 1 9 24ya xx 1a 该函数的表达式为 即 24yxx 24yxx 4 4 用待定系数法证明不等式用待定系数法证明不等式 例 6 已知 128xyz 29xyz 327xyz 求证 675247xyz 证 令 22AxyzB xyzC xyz 752xyz 比较两边系数 得 解得 27 25 2 ABC ABC ABC 1 2 3 A B C 由于128xyz 4218xyz 93221xyz 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 8 所以有675247xyz 5 5 待定系数法在二项式中的应用待定系数法在二项式中的应用 在二项式定理 中等式的右边由好几 n ab 11 nnnn nn aC abC b nN 个项组成的 不太好记 每一项用公式来记 1 rn rr rn TC ab 0 1 nNrn 的话非常简捷 而且好记 这时这个二项式等于每一项的代数和 表示中的第项 1 rn rr rn TC ab n ab 1r 0 1 rn 用这个公式求出待定系数 就可以求出这二项式的每一项r 例 7 求展开式中的常数项 6 2 1 2xx x 解 用公式 求出待定系数 6 2 1 2xx x 12 1 x x 1 rn rr rn TC ab r 就可以求出常数项 令 则 12 12 22 11212 rr r rrr r TC xxC x 120 2 r r 8r 常数项为第九项 即 495 8 98 112 TTC 例 8 在展开式中第几项的绝对值的系数最大 35 3ab 解 3535 13535 33 rr rrrrr r TC abCab 11 13511361 3535 33 rr rrrrr r TCabCab 22 2372372 13535 33 rr rrrrr r TCabCab 设第项系数绝对值最大 则 r T 1 1 3535 33 rr rr CC 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 9 且 12 12 3535 33 rr rr CC 可以推出 且 11 3535 33 rrrr CC 1122 3535 33 rrrr CC 所以且 又 或 27r 28r rN 27r 28r 第 27 项即第 28 项系数绝对值最大 6 6 待定系数法在求数列通向公式的应用待定系数法在求数列通向公式的应用 例 9 7 个数排成一排 奇数项成等差数列 偶数项成等比数列 且奇数项 之和与偶数项之和的差为 42 首尾两项与中间项之和为 27 求中间项 解 由等差数列通向公式 及等比数列通向公式 1 1 n aand 出发 用尽量少的未知数把 7 个数表示出来 再列方程组求解 1 1 n n bbq 设等差数列的公差为 等比数列的公比为 dq 0q 设 7 个数的前两项依次为则 7 个数依次为 a b 2 2 3a b ad bq ad bq ad 依题中条件得 2 23 42 327 aadadadbbqbq aadbq 化简整理 得 33 4642 2327 adb q adbq 1 2 得 即 211 3 2120bqbq 2 2260bqbqbq 由于 22 26150bqbqbq 即中间项为20bq 2bq 2 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 10 7 7 用待定系数法求直线方程用待定系数法求直线方程 例 10 已知直线方程 有一直线与其垂直 且过点 求这1yx 4 0 直线方程 解 设直线方程为 我们只需确定待定系数的值就可以写出1ykx k b 这条直线的方程 与垂直 又的斜率为 1 ykxb 1yx 1yx 1k 11k 又因为这条直线过点 代入中 得 4 0A ykxb 1 40b 直线方程为4yx 例 11 过点作直线 使它夹在直线和 0 1A l 1 3100lxy 间的线段被点平分 试求直线 的方程 2 2 80lxy Al 解法一 设直线 分别交于点和 我们只需确定l 12 l l P m n Q a b 的位置 就能写出直线的方程 P Q 由点为的中点可得 即点的坐标为APQam 2bn Q 2mn 又因为在 上 则 P 1 l3100mn 1 又在上 则 P 2 l260mn 2 由 可得 1 2 4 2 m n 4 2P 4 0Q 利用两点式可得 即 04 2044 yx 440 xy 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 11 解法二 设所求直线 的方程为 我们只要能确定待定系数的l1ykx k 值 就能写出该条直线的方程 因为与已知的两条直线相交 交点为1ykx P Q 解得 3100 1 xy ykx 7101 31 31 k P kk 同理 解得 280 1 xy ykx 782 22 k Q kk 由于为的中点 由中点坐标式公式有 APQ 77 312 0 2 kk 解得 所以直线 的方程为 即 1 4 k l 1 1 4 yx 440 xy 8 8 用待定系数法求圆的方程用待定系数法求圆的方程 我们知道圆的标准方程为 22 2 xaybr 这里的 a b 为圆心 r为半径 我们能确定待定系数 a b r 的值 就能描述一个圆把圆的标准方程展 开得 22222 220 xyaxbyabr 令 2aD 2bE 222 abrF 就能得到圆的一般方程 22 0 xyDxEyF 我们能确 定待定系数 D E F 的值 就能描述这圆 例 12 求过三点 的圆的方程 并求出这个 0 0O 1 1 1M 2 4 2M 圆的圆心坐标及半经 解 设所求的圆的方程为 22 0 xyDxEyF 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 12 根据所给条件用待定系数法来确定的值 把它们的坐标依次代入上 D E F 面的方程 得到关于的三元一次方程组 D E F 解这个方程组 得 0 20 42200 F DEF DEF 0 8 6 F D E 于是得到所求圆的方程 22 860 xyxy 4 2 D a 3 2 E b 22 1695rabF 9 9 用待定系数法求二次曲线方程用待定系数法求二次曲线方程 我们知道椭圆 双曲线 抛物线都是二次曲线 我们在这儿以椭圆为例 用带定系数法求二次曲线方程 我们知道焦点在轴上的椭圆的方程为 x 22 22 1 xy ab 0ab 焦点是 1 0Fc 2 0F c 222 cab 我们能求出待定系数的值 就能写出椭圆的方程 a b 例 13 已知是两个定点 且的周长等于 16 求顶点 B C6BC ABC 的轨迹方程 A 解 我们根据条件建立坐标系 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 13 在图中 由的周长等于 可知点到两点的距离和 ABC166BC ABC 等于常数 即 因此点的轨迹是以为焦点的椭16610ABAC A B C 圆 如图建立坐标系 使轴经过点 原点与的中点重合 由已知x B COBC 有 即的轨迹是椭圆 16ABACBC 6BC 10ABAC A 且 26c 216610a 3c 5a 222 5316b 4b 但当在直线上 即时三点不能构成三角形 所以点的ABC0y A B CA 轨迹方程是 22 1 2516 xy 0y 10 10 用待定系数法解决空间问题用待定系数法解决空间问题 待定系数法也在空间中广泛应用 我们在这儿只以求平面方程为例 例 14 求通过点与且平行于轴的平面方程 1 2 1 1M 2 3 2 1M Z 解 设平面方程为 因为所求的平面平行于轴 所0AxByCzD Z 以所求的平面方程可以写成 又因为它通过与0AxByD 1 2 1 1M 所以有 由上式得 2 3 2 1M 20 320 ABD ABD 1 1 1A B D 所以所求的平面方程为