必修2立体几何复习(知识点-经典习题)

1 立体几何知识点及经典习题立体几何知识点及经典习题 一 判定两线平行的方法一 判定两线平行的方法 1 平行于同一直线的两条直线互相平行 2 垂直于同一平面的两条直线互相平行 3 如果一条直线和一个平面平行 经过这条直线的平面和这个平面相交 那么这条直线就和交线平 行 4 如果两个平行平面同时和第三个平面相交 那么它们的交线平行 5 在同一平面内的两条直线 可依据平面几何的定理证明 二 二 判定线面平行的方法判定线面平行的方法 1 据定义 如果一条直线和一个平面没有公共点 2 如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行 则这条直线和这个平面平行 3 两面平行 则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面 4 平面外的两条平行直线中的一条平行于平面 则另一条也平行于该平面 5 平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行 则也平行于另一个平面 三 判定面面平行的方法三 判定面面平行的方法 1 定义 没有公共点 2 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面 则两面平行 3 垂直于同一直线的两个平面平行 4 平行于同一平面的两个平面平行 四 面面平行的性质四 面面平行的性质 1 两平行平面没有公共点 2 两平面平行 则一个平面上的任一直线平行于另一平面 3 两平行平面被第三个平面所截 则两交线平行 4 垂直于两平行平面中一个平面的直线 必垂直于另一个平面 五 判定线面垂直的方法五 判定线面垂直的方法 1 定义 如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直 则线面垂直 2 如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直 则线面垂直 3 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面 则另一条也垂直于该平面 4 一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面 它也垂直于另一个平面 5 如果两个平面垂直 那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面 6 如果两个相交平面都垂直于另一个平面 那么它们的交线垂直于另一个平面 六 判定两线垂直的方法六 判定两线垂直的方法 1 定义 成角 90 2 直线和平面垂直 则该线与平面内任一直线垂直 3 在平面内的一条直线 如果和这个平面的一条斜线的射影垂直 那么它也和这条斜线垂直 4 在平面内的一条直线 如果和这个平面的一条斜线垂直 那么它也和这条斜线的射影垂直 5 一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直 它也和另一条垂直 七 判定面面垂直的方法七 判定面面垂直的方法 1 定义 两面成直二面角 则两面垂直 2 一个平面经过另一个平面的一条垂线 则这个平面垂直于另一平面 八 面面垂直的性质八 面面垂直的性质 1 二面角的平面角为 90 2 在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面 3 相交平面同垂直于第三个平面 则交线垂直于第三个平面 九 各种角的范围九 各种角的范围 2 1 异面直线所成的角的取值范围是 900 90 0 2 直线与平面所成的角的取值范围是 900 90 0 3 斜线与平面所成的角的取值范围是 900 90 0 4 二面角的大小用它的平面角来度量 取值范围是 1800 180 0 十 十 三角形的心三角形的心 1 内心 内切圆的圆心 角平分线的交点 2 外心 外接圆的圆心 垂直平分线的交点 3 重心 中线的交点 4 垂心 高的交点 考点一考点一 几何体的概念与性质几何体的概念与性质 基础训练基础训练 1 判定下面的说法是否正确 1 有两个面互相平行 其余各个面都是平行四边形的几何体叫棱柱 2 有两个面平行 其余各面为梯形的几何体叫棱台 2 如图分别是的中点探索过的平面截正方体所得截面的形状 E F 1 AB AAEF 3 下列说法不正确的是 A 空间中 一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形 B 同一平面的两条垂线一定共面 C 过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直 且这些直线都在同一平面内 D 过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直 高考链接高考链接 1 设 和 为不重合的两个平面 给出下列命题 1 若 内的两条相交直线分别平行于 内的两条直线 则 平行于 2 若 外一条直线l与 内的一条直线平行 则l和 平行 3 设 和 相交于直线l 若 内有一条直线垂直于l 则 和 垂直 4 直线l与 垂直的充分必要条件是l与 内的两条直线垂直 上面命题中 真命题的序号 写出所有真命题的序号 2 2 在空间 下列命题正确的是 A 平行直线的平行投影重合 B 平行于同一直线的两个平面平行 C 垂直于同一平面的两个平面平行 D 垂直于同一平面的两条直 线平行 考点二考点二 三视图与直观图及面积与体积三视图与直观图及面积与体积 基础训练基础训练 1 如图 3 为正方体的面与面的中心 则四边形 E F 11 ADD A 11 BCC B D F E D1 C1 B1 A1 D C B A 3 在该正方体的面上的投影可能是 1 BFD E 2 如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为 腰和上底均为 1 的等腰梯形 那么原图形 0 45 的面积是 A B C D22 2 12 2 22 2 12 3 在中 若使其绕直线旋转一周 则它形成的几何体的ABC 0 21 5120ABBCABC BC 体积是 A B C D 9 2 7 2 5 2 3 2 4 已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是 则这个长方体的对角线长是 2 3 6 若长方体共顶点的三个侧面面积分别为 3 5 15 则它的体积为 5 正方体的内切球和外接球的半径之比为 A B C D 3 13 2 2 3 3 3 6 一个正方体的顶点都在球面上 它的棱长为 2 则球的表面积是 A B C D 2 8 cm 2 12 cm 2 16 cm 2 20 cm 7 若三个球的表面积之比是 1 2 3 则它们的体积之比是 8 长方体的一个顶点上三条棱长分别为 3 4 5 且它的 8 个顶点都在同一球面上 则这个球的表面积是 A B C D 以上都不对25 50 125 9 半径为 R 的半圆卷成一个圆锥 则它的体积为 高考链接高考链接 1 一个棱锥的三视图如图 则该棱锥的全面积为 一个棱锥的三视图如图 则该棱锥的全面积为 A 48 122 B 48 242 C 36 122 D 36 24 2 2 设某几何体的三视图如下则该几何体的体积 为 3 m 3 如图 1 ABC 为三角形 AA BB CC CC 平面 ABC 且 3 AA 3 2 BB CC AB 则多面体 ABC A B C 的正视图 也称主视图 是 4 考点三考点三 线面间位置关系线面间位置关系 基础训练基础训练 1 已知在四边形 ABCD 中 E F 分别是 AC BD 的中点 若 AB 2 CD 4 则 EF 与 CD 所成的EFAB 角的度数是 A B C D 0 90 0 45 0 60 0 30 2 已知直线 12 l l 平面 1212 llll AA 则与的位置关系是 B C D 2 Al A 2 l 22 ll A 或 2 l 与相交 高考链接高考链接 1 设ab 是两条直线 是两个平面 则ab 的一个充分条件是 A ab B ab C ab D ab 2 对两条不相交的空间直线a和b 必定存在平面 使得 A ab B ab C ab D ab 3 已知直线 m n 和平面满足 则 amnm 或 或 An nB n nC nD n 4 已知是两条不同直线 是三个不同平面 下列命题中正确的是 m n A B 若则 mnmn 若则 C D mnmn 若则 mm 若则 5 设 是两个不同的平面 l是一条直线 以下命题正确的是 A 若 l 则l B 若 l 则l C 若 l 则l D 若 l 则l 6 设l m是两条不同的直线 是一个平面 则下列命题正确的是 A 若lm m 则l B 若l lm 则m C 若l m 则lm D 若l m 则lm 5 7 用a b c表示三条不同的直线 y表示平面 给出下列命题 若a b b c 则a c 若a b b c 则a c 若a y b y 则a b 若a y b y 则a b A B C D 考点四考点四 求空间图形中的角求空间图形中的角 基础训练基础训练 1 直角的斜边 AC BC 与平面的角分别为 CD 是斜边 AB 上的高 则 CDABC AB 所成 00 3045和 与平面所成的角为 2 如图 正三棱柱 V ABC 顶点在地面上的射影是底面正三角形的中心 中 D E F 分别是 VC VA AC 的中点 P 为 VB 上任意一点 则直线 DE 与 PF 所成的角的大小是 A B C D 随点的变化而变化 0 30 0 90 0 60 5 直线 与平面所成的角为 则 m 与 所成角的取值范围是 l 0 30 lA mAm l 高考链接高考链接 题型一 异面直线所成的角 1 已知三棱柱 111 ABCABC 的侧棱与底面边长都相等 1 A在底面ABC上的射影为BC的中点 则异面 直线AB与 1 CC所成的角的余弦值为 A 3 4 B 5 4 C 7 4 D 3 4 2 已知正四棱柱 1111 ABCDABC D 中 1 AA 2AB E为 1 AA重点 则异面直线BE与 1 CD所形成角的 余弦值为 A 10 10 B 1 5 C 3 10 10 D 3 5 3 如图 已知正三棱柱 111 ABCABC 的各条棱长都相等 M是侧棱 1 CC的中点 则异面直线 1 ABBM和所成的角的大小是 DE F P V C B A 6 4 如图 若正四棱柱 1111 ABCDABC D 的底面连长为 2 高为 4 则异面直线 1 BD与 AD 所成角的正切值 是 5 直三棱柱 111 ABCA BC 中 若90BAC 1 ABACAA 则异面直线 1 BA与 1 AC所成的角等 于 A 30 B 45 C 60 D 90 题型二 线面角线面角 1 已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等 在底面内的射影为的中心 则 111 ABCABC 1 AABCABC 与底面所成角的正弦值等于 A B C D 1 ABABC 1 3 2 3 3 3 2 3 2 如图 在长方体ABCD A1B1C1D1中 AB BC 2 AA1 1 则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为 A B C D 2 2 3 2 3 2 4 1 3 3 在三棱柱 111 ABCABC 中 各棱长相等 侧掕垂直于底面 点D是侧面 11 BBC C的中心 则AD与平 面 11 BBC C所成角的大小是 A 30 B 45 C 60 D 90 4 如图 已知六棱锥ABCDEFP 的底面是正六边形 ABPAABCPA2 平面则下列结论正确的 是 A ADPB B PAB平面PBC平面 C 直线BC PAE平面 D 直线 ABCPD与平面所成的角为 45 5 已知三棱锥SABC 中 底面ABC为边长等于 2 的等边三角形 SA垂直于底面ABC SA 3 那么 直线AB与平面SBC所成角的正弦值为 A 3 4 B 5 4 C 7 4 D 3 4 6 6 正方体 ABCD 1111 ABC D中 B 1 B与平面AC 1 D所成角的余弦值为 7 A 2 3 B 3 3 C 2 3 D 6 3 考点六考点六 证明空间线面平行与垂直证明空间线面平行与垂直 1 如图 在四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 为正方形 PD DC E F 分别是 AB PB 的中点 PDABCD 平面 1 求证 2 在平面 PAD 内 求一点 G EFCD GFPCB 使平面证明你的结论 2 四棱锥中 底面为矩形 侧面底面 ABCDE BCDEABC BCDE2BC 2CD ABAC 证明 ADCE 设侧面为等边三角形 求二面角的大小 ABCCADE 3 正四棱柱中 点在上且 证明 1111 ABCDABC D 1 24AAAB E 1 CCECEC3 1 平面 求二面角的大小 1 AC BED 1 ADEB 4 在直三棱柱 111 ABCABC 中 E F 分别是 1 AB 1 AC的中点 点D在 11 BC上 11 ADBC 求证 1 EF 平面 ABC 2 平面 1 AFD 平面 11 BBC C 5 如图所示 在长方体 1111 ABCDABC D 中 AB AD 1 AA1 2 M 是棱 CC1的中点 求异面直线 A1M 和 C1D1所成的角的正切值 F D P C B E A 8 证明 平面 ABM