三次函数专题

1 三次函数专题三次函数专题 一 定义 一 定义 定义定义 1 形如的函数 称为 三次函数 从函数解析式的结构上命名 32 0 yaxbxcxd a 定义定义 2 三次函数的导数 把叫做三次函数导函数的判别 2 32 0 yaxbxc a 2 412bac 式 由于三次函数的导函数是二次函数 而二次函数是高中数学中的重要内容 所以三次函数的问题 已经成为高考命题的一个新的热点和亮点 二 三次函数图象与性质的探究 二 三次函数图象与性质的探究 1 单调性 一般地 当时 三次函数在上是单调函数 当03 2 acb 0 23 adcxbxaxyR 时 三次函数在上有三个单调区间 03 2 acb 0 23 adcxbxaxyR 根据两种不同情况进行分类讨论 0 0 aa 2 对称中心 三次函数是关于点对称 且对称中心为点 此点 0 23 adcxbxaxxf 3 3 a b f a b 的横坐标是其导函数极值点的横坐标 证明 设函数的对称中心为 m n 按向量将函数的图象平移 则所得函数是奇函数 所以 化简得 上式对恒成立 故 得 所以 函数的对称中心是 可见 y f x 图象的对称中心在导函数 y 的对称轴上 且又是两个极值点的中点 同时也 是二阶导为零的点 3 三次方程根的问题 1 当 时 由于不等式恒成立 函数是单调递增的 所以原方程仅有一个0124 2 acb0 x f 2 实根 2 当 时 由于方程有两个不同的实根 不妨设 可知 0124 2 acb0 x f 21 x x 21 xx 为函数的极大值点 为极小值点 且函数在和上单调 11 xfx 22 xfx xfy 1 x 2 x 递增 在上单调递减 21 x x 此时 若 即函数极大值点和极小值点在轴同侧 图象均与轴只有一个交点 0 21 xfxf xfy xx 所以原方程有且只有一个实根 0 若 即函数极大值点与极小值点在轴异侧 图象与轴必有三个交点 0 21 xfxf xfy xx 所以原方程有三个不等实根 若 即与中有且只有一个值为 0 所以 原方程有三个实根 其中两0 21 xfxf 1 xf 2 xf 个相等 4 极值点问题 若函数 f x 在点 x0的附近恒有 f x0 f x 或 f x0 f x 则称函数 f x 在点 x0 处取得极大值 或极小值 称点 x0为极大值点 或极小值点 当时 三次函数在上的极值点要么有两个 0 yf x 当时 三次函数在上不存在极值点 0 yf x 5 最值问题 函数若 且 则 max0 fxf mf xf n 三 例题讲解 例 1 函数的单调区间 极值及函数与方程的 全国 卷文 21 已知函数 f x x 3 3ax 2 3x 1 设 a 2 求 f x 的单调期间 设 f x 在区间 2 3 中至少有一个极值点 求 a 的取值范围 例 2 已知函数满足 其中为在点处的导数 xfCxxfxxf 23 3 2 3 2 f xf 3 2 x 为常数 C 1 求函数的单调区间 xf 2 若方程有且只有两个不等的实数根 求常数 0 xfC 3 3 在 2 的条件下 若 求函数的图象与 轴围成的封闭图形的面0 3 1 f xfx 积 例 3 恒成立问题 已知函数 32 11 32 f xxxcxd 有极值 求c的取值范围 若 f x在2x 处取得极值 且当0 x 时 2 1 2 6 f xdd 恒成立 求d的取值范 围 例 4 信息迁移题 对于三次函数 32 0 f xaxbxcxd a 定义 1 f x 的导数 fx 也叫 f x 一阶导数 的导数 fx 为 f x 的二阶导数 若方程 0fx 有实数解 0 x 则称点 00 xf x 为函数 yf x 的 拐点 定义 2 设 0 x 为常数 若定义在R上的函 数 yf x 对于定义域内的一切实数x 都有 000 2 f xxf xxf x 恒成立 则函数 yf x 的图象关于点 00 xf x 对称 1 己知 32 322f xxxx 求函数 f x 的 拐点 A的坐标 2 检验 1 中的函数 f x 的图象是否关于 拐点 A对称 3 对于任意的三次函数 32 0 f xaxbxcxd a 写出一个有关 拐点 的结论 不 必证明 例 5 与线性规划的交汇问题 设函数 其中 是的导函数 1 若 求函数的解析式 2 若 函数的两个极值点为满足 设 试求实数的取值范围 4 三次函数作业三次函数作业 1 设是函数 f x 的导函数 的图象如图所示 则 y f x 的图象最有可能是 2 函数在闭区间 3 0 上的最大值 最小值分别是 A 1 1 B 1 17C 3 17 D 9 19 3 江西卷文 17 设函数 32 63 2 2f xxaxax 1 若 f x 的两个极值点为 12 x x 且 12 1x x 求实数a的值 2 是否存在实数a 使得 f x 是 上的单调函数 若存在 求出a的值 若不存在 说明理 由 考查函数利用导数处理函数极值单调性等知识 4 设定函数 32 0 3 a f xxbxcxd a 且方程 90fxx 的两个根分别为 1 4 当 a 3 且曲线 yf x 过原点时 求 f x 的解析式 若 f x 在 无极值点 求 a 的取值范围 5 天津卷文 20 已知函数 f x 32 3 1 2 axxxR 其中 a 0 若 a 1 求曲线 y f x 在点 2 f 2 处的切线方程 若在区间 1 1 2 2 上 f x 0 恒成立 求 a 的取值范围 5 6 重庆卷文 19 已知函数 32 f xaxxbx 其中常数 a b R g xf xfx 是奇函数 求 f x 的表达式 讨论 g x 的单调性 并求 g x 在区间 1 2 上的最大值与最小值 7 已知在函数的图象上以 N 1 n 为切点的切线的倾斜角为xmxxf 3 4 1 求 m n 的值 2 是否存在最小的正整数 k 使不等式对于恒成立 求出最1992 kxf 3 1 x 小的正整数 k 若不存在说明理由 3 求证 0 2 1 2 cos sin tRx t tfxfxf 8 2010 浙江文数 浙江文数 本题满分 15 分 已知函数 a b 0 等价于 5a1 0 0 82 15a 0 0 28 f f 即 解不等式组得 5 a2 则 11 0 a2 当 x 变化时 f x f x 的变化情况如下表 X 1 0 2 0 1 a 0 1 a 1 1 a 2 f x 0 0 f x A 极大值A极小值A 当 1 1 x 2 2 时 f x 0 等价于 1 f 2 1 f 0 a 0 即 2 5 8 1 1 0 2 a a 0 解不等式组得 2 5 2 a 或 2 2 a 因此 2 a 5 综合 1 和 2 可知 a 的取值范围为 0 a 5 6 12 7 解 1 13 2 mxxf 3 1 3 2 1 4 tan 1 nmf 2 令 2 2 0 2 2 2 2 2 xxxxf则 在 1 3 中 在此区间为增函数时 0 2 2 1 xfxfx 时 2 2 2 2 x 在此区间为减函数 0 xfxf 处取得极大值 xxf在 2 2 3 时在此区间为增函数 在 x 3 处取得极大值 8 分 x 2 2 0 xfxf xf 比较 和的大小得 f 2 2 3 f15 3 max fxf 无理由最大 扣 3 分 3 f 即存在 k 2007 2007 1992 kkxf 3 cos sin cos sin 3 2 cos sin 33 xx