ch3-1第一讲 微分中值定理

第十六讲第十六讲 授课题目 授课题目 3 1 微分中值定理 教学目的与要求 教学目的与要求 1 理解三个中值定理及几何意义 2 应用中值定理证明等式 不等式及有关命题 教学重点与难点 教学重点与难点 重点 三个中值定理的证明 难点 三个中值定理的应用 讲授内容讲授内容 一 罗尔定理 首先 观察图 1 设曲线弧 是函数的图形 baxxfy 这是一条连续的曲线弧 除端点外处处具有不垂直于轴的切线 且两个端点x 的纵坐标相等 即 可以发现曲线的最高点或最低点 C 处 曲线有水平 bfaf 的切线 如果记 C 点的横坐标为 那么就有 现在用分析语言把这个几何 0 f 现象描述出来 就是下面的罗尔定理 为了应用方便 先介绍费马 Fermat 引理 费马 Fermat 引理 设函数在点的某邻域内有定义 并且在 xf 0 x 0 xU 处可导 如果对任意的 有 0 x 0 xUx 或 0 xfxf 0 xfxf 那么 0 0 x f O y x AB C a b 图 1 AB 证明 不妨设时 如果 可以类似地证明 0 xUx 0 xfxf 0 xfxf 于是 对于 有 00 xUxx 00 xfxxf 从而当时 0 x0 00 x xfxxf 当时 0 x0 00 x xfxxf 根据函数在可导的条件及极限的保号性 便得到 xf 0 x 0 lim 00 0 0 0 x xfxxf xfxf x 0 lim 00 0 0 0 x xfxxf xfxf x 所以 证毕 0 0 x f 通常称导数等于零的点为函数的驻点 或稳定点 临界点 定理 1 罗尔定理 如果函数满足 1 在闭区间上连续 2 在开区 xf ba 间 内可导 3 在区间端点的函数值相等 即 那末在 内至ba bfaf ba 少有一点 使得 ba 0 f 证明 由于在闭区间上连续 根据闭区间上连续函数的最大值和最小值定 xf ba 理 在闭区间上必定取得它的最大值 M 和最小值 m 这样 只有两 xf ba 种可能情形 1 M m 这时在区间上必然取相同的数值 M M 由此 xf ba xf 有 因此 任取 有 bax 0 x f ba 0 f 2 M m 因为 所以 M 和 m 这两个数中至少有 个不等于 bfaf 在区间的端点处的函数值 为确定起见 不妨设 M 如果设 xf ba af m 证达完全类似 那末必定在开区间 内有一点使 af ba M 因此 有 从而由费马引理可知 f bax fxf 定理证毕 0 f 注 证明方程有根 一是用零点定理 二是用罗尔定理 例 1 设在上连续 内可导 且 试证 至 xf 1 0 1 0 1 2 1 0 1 0 fff 少存在一个 使 1 0 1 f 证明 令 则 由闭区间上连续xxfxF 0 0 F 2 1 2 1 F1 1 F 函数的零点定理可知 存在 使 再由罗尔定理得 至少存在一 1 2 1 0 F 个 使 即 1 0 0 0 F1 f 二 拉格朗日中值定理 罗尔定理中这个条件是相当特殊的 它使罗尔定理的应用受到限 bfaf 制 如果把这个条件取消 但仍保留其余两个条件 并相应地改变结 bfaf 论 那末就得到微分学中十分重要的拉格朗日中值定理 定理 2 拉格朗日中值定理 如果因数满足 1 在闭区间上连续 xf ba 2 在开区间 内可导 那末在 内至少有一点 使等式ba ba ba 1 abfafbf 成立 O y x A B C a b 图 2 x M N 在证明之前 先看一下定理的几何意义 如果把 1 式改写成 f ab afbf 由图 2 可看出 为弦 AB 的斜率 而为曲线在点 C 处的切线的斜 ab afbf f 率 因此拉格朗日中值定理的几何意义是 如果连续曲线的弦 AB 上除端 xfy 点外处处具有不垂直于轴的切线 那末这弧上至少有一点 C 使曲线在 C 点处的x 切线平行于弦 AB 从罗尔定理的几何意义中 图 1 看出 由于 弦 AB 是平行于轴 bfaf x 的 因此点 C 处的切线实际上也平行于弦 AB 由此可见 罗尔定理是拉格朗日中 值定理的特殊情形 从上述拉格朗日中值定理与罗尔定理的关系 自然想到利用罗尔定理来证明拉 格朗日中值定理 但在拉格朗日中值定理中 函数不一定具备这 xf bfaf 个条件 为此我们设想构造一个与有密切联系的函数 称为辅助函数 使 xf x 满足条件 然后对应用罗尔定理 再把对所得的结论转 x ba x x 化到上 证得所要的结果 我们从拉格朗日中值定理的几何解释中来寻找辅助 xf 函数 从图 3 2 中看到 有向线段 NM 的值是的函数 把它表示为 它与x x 有密切的联系 当及时 点 M 与点 N 重合 即 xfax bx 有 为求得函数的表达式 设直线 AB 的方程为 则0 ba x xLy ax ab afbf afxL 由于点 M N 的纵坐标依次为及 故表示有向线段 NM 的值的函数 xf xL ax ab afbf afxfxLxfx 下面就利用这个辅助函数来证明拉格朗日中值定理 定理的证明 引进辅助函数 ax ab afbf afxfx 容易验证函数适合罗尔定理的条件 在闭区间上 x 0 ba x ba 连续 在开区间 内可导 且ba ab afbf xfx 根据罗尔定理 可知在内至少有一点 使 即 ba 0 0 ab afbf f 由此得 f ab afbf 即 abfafbf 定理证毕 显然 公式 1 对于也成立 1 式叫做拉格朗日中值公式 ab 设为区间内一点 为这区间内的另一点 或 则公x ba xx 0 x0 x 式 1 在区间 当时 或在区间 当时 上就成为xxx 0 x xxx 0 x 2 xxxfxfxxf 10 这里数值是在 0 与 1 之间 所以是在与之间 xx xxx 如果记为 则 2 式又可写成 xfy 3 xxxfy 10 我们知道 函数的微分是函数的增量的近似表达式 一般说来 以xxfdy y 近似代替时所产生的误差只有当时才趋于零 而 3 式却给出了自变dyy 0 x 量取得有限增量 不一定很小 时 函数增量 的准确表达式 因此这个x x y 定理也叫做有限增量定理 3 式称为有限增量公式 拉格朗日中值定理在微分学 中占有重要地位 有时也叫做微分中值定理 它精确地表达了函数在一个区间上的 增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系 在某些问题中当自变量取得有x 限增量而需要函数增量的准确表达式时 拉格朗日中值定理就显出它的价x y 值 作为拉格朗日中值定理的 个应用 我们来导出以后讲积分学时很有用的两个 推论 我们知道 如果函数在某一区间上是一个常数 那末在该区间上 xf xf 的导数恒为零 它的逆命题也是成立的 这就是 推论 1 如果函数在区间 I 上的导数恒为零 那末在区间 I 上是一个常 xf xf 数 证明 在区间 J 上任取两点 应用 1 式就得 1 x 2 x 21 xx 1212 xxfxfxf 21 xx 由假定 所以 即0 f0 12 xfxf 12 xfxf 因为 是 I 上任意两点 所以上面的等式表明 在 I 上的函数值总 1 x 2 x xf 是相等的 这就是说 在区间 I 上是一个常数 xf 推论 2 如果函数与在区间内满足条件 则这两个函 xf xg ba xgxf 数至多相差一个常数 即 cxgxf 例 2 证明当时 0 x xx x x 1ln 1 证明 设 显然在区间 上满足拉格朗日中值定理的条件 1ln xxf xfx 0 根据定理 应有 0 0 xffxf x 0 由于 因此上式即为0 0 f x f 1 1 1 1ln x x 又由 有x 0 x x x x 11 即 xx x x 1ln 1 注 利用拉格朗日中值定理证明不等式时 选择与所要证明的问题相近的函数与区间 再利用拉格朗日中值定理即得结论 如证明 则选baarctgbarctga 区间为 arctgxxf ba 三 柯西中值定理 上面已经指出 如果连续曲线弧 AB 上除端点外处处具有不垂直于横轴的切线 那末这段弧上至少有一点 C 使曲线在点 C 处的切线乎平行于弦 AB 设 AB 由参 数方程 xfY xFX bxa 表示 图 3 其中为参数 那么曲线上点 X Y 处的切线的斜率为x xF xf dX dY 弦 AB 的斜率为 aFbF afbf 假定点 C 对应于参数 那末曲线上点 C 处的切线平行于弦 AB 可表示为 x F f aFbF afbf 与这一事实相应的是 定理 3 柯西中值定理 如果函数及在闭区间上连续 在开区间 xf xF ba 内可导 且在 内的每一点处均不为零 那末在 内至少有一ba x F abba 点 使等式 4 F f aFbF afbf 成立 证明 首先注意到 这是由于0 aFbF abFaFbF 其中 根据假定 又 所以ba 0 F0 ab 0 aFbF 类似拉格朗日中值定理的证明 我们仍然以表示有向线段 NM 的值的函数 见图 3 作为辅助函数 这里 点 M 的纵坐标为 点 N 的纵坐标为 x xfY aFxF aFbF afbf afY 于是 aFxF aFbF afbf afxfx 容易验证 这个辅助函数适合罗尔定理的条件 在 x ba x O y x A B C aF bF F 图 3 xF M N af bf 闭区间上连续 在开区间 内可导且 ba ba xF aFbF afbf xfx 根据罗尔定理 可知在 内必定有一点使得 即ba 0 0 F aFbF afbf f 由此得 F f aFbF afbf 定理证毕 很明显 如果取 那末 因而公式 4 就xxF abaFbF 1 x F 可以写成 abfafbf ba 这样就变成拉格朗日中值定理了 小结与提问 小结与提问 小结 小结 中值定理是微积分学的重要基础理论 在