排列组合与统计初步

1 第一章第一章排列组合 概率统计排列组合 概率统计 一 考点 分类计数法和分步计数法考点 分类计数法和分步计数法 分类计数法 完成一件事有两类办法 第一类办法由 m 种方法 第二类办法有 n 种方法 无 论用哪一类办法中的哪种方法 都能完成这件事 则完成这件事总共有 m n 种方法 分步计数法 完成一件事有两个步骤 第一个步骤有 m 种方法 第二个步骤有 n 种方法 连 续完成这两个步骤这件事才完成 那么完成这件事总共有 m n 种方法 二 考点 排列和组合的公式考点 排列和组合的公式 排列 有顺序 公式 m n P 1 1 mnnn mn n 组合 没有顺序 公式 m n C 1 1 m mnnn mnm n m n C mn n C m n C 1 m n C m n C 1 2001 年年 12 有 5 部各不相同的手机参加展览 排成一行 其中 2 部手机来自同一厂家 则此 2 部手机恰好 相邻的排法总数为 A 24 B 48 C 120 D 60 解法一 分步法 将同一厂家的 2 部手机看成 一 部手机 从 四 部手机任选 四 部的排列数为 4 4 P 被看成 一 部手机的二部手机可交换位置排列 排列数为 2 2 P 根据分步计数原理 总排列数为 42 42 P P 48 种 解法二 分类法 将同一厂家的 2 部手机看成手机 1 手机 排在 1 位 有种排法 1 3 3 P1 2 3 4 1 2 4 3 1 3 2 4 1 3 4 2 1 4 2 3 1 4 3 2 手机 排在 2 位 有种排法 1 3 3 P 手机 排在 3 位 有种排法 1 3 3 P 手机 排在 4 位 有种排法 1 3 3 P 上述排法共 24 种 每种排法中手机 各有二种排法 故总排列数为 1 242 48 种 20022002 年年 11 用 0 1 2 3 可组成没有重复数字的四位数共有 A 6 个 B 12 个 C 18 个 D 24 个 解法一 从 0 1 2 3 这四个数字中取出四个数字的总排列数为 4 4 P 将 0 排在首位的排列数为 而 0 不能排在首位 3 3 P 总排列数减去 0 排在首位的排列数即为所求 因此 用 0 1 2 3 可组成没有 4 4 P 3 4 P 重复数字的四位数的个数为 43 43 PP 4 3 2 1 3 2 1 18 个 解法二 第一步 从 1 2 3 这三个数字中任取一个排在第一位 有种取法 1 3 P 第二步 从剩下的三个数字中任取一个排在第二位 有种取法 1 3 P 第三步 从剩下的二个数字中任取一个排在第三位 有种取法 1 2 P 2 第四步 从剩下的一个数字中任取一个排在第四位 有种取法 1 1 P 根据分步计数原理 可组成没有重复数字的四位数共有 1111 3321 P P P P个 1111 3321 P P P P 3 3 2 1 18 个 解法三 第一步 从 1 2 3 这三个数字中任取一个排在第一位 有种取法 1 3 P 第二步 把剩下的三个数字分别排在百位 十位 个位 有种取法 3 3 P 根据分步计数原理 可组成没有重复数字的四位数共有 13 33 P P个 13 33 P P 3 3 2 1 18 个 解法四 第一类 把 0 固定在个位上 1 2 3 排在千位 百位 十位的排法有 3 3 P 第二类 把 0 固定在十位上 1 2 3 排在千位 百位 个位的排法有 3 3 P 第三类 把 0 固定在百位上 1 2 3 排在千位 十位 个位的排法有 3 3 P 根据分类计数原理 可组成没有重复数字的四位数的个数共有 3333 3333 PPP 3P 3 3 2 1 18 个 20032003 年年 7 用 0 1 2 3 4 组成的没有重复数字的不同 3 位数共有 A 64 个 B 16 个 C 48 个 D 12 个 解法一 从 0 1 2 3 4 这五个数字中取出三个数字的总排列数为 3 5 P 将 0 排在首位的排列数为 而 0 不能排在首位 2 4 P 总排列数减去 0 排在首位的排列数即为所求 因此 用 0 1 2 3 可组成没有重复 3 5 P 2 4 P 数字的四位数的个数为 32 54 PP 5 4 34 3 48 个 解法二 第一步 从 1 2 3 4 这四个数字中任取一个排在第一位 有种取法 1 4 P 第二步 从剩下的四个数字 含 0 中任取一个排在第二位 有种取法 1 4 P 第三步 从剩下的三个数字中任取一个排在第三位 有种取法 1 3 P 根据分步计数原理 可组成没有重复数字的四位数共有 111 443 P P P个 111 443 P P P 44 3 48 个 解法三 第一步 从 1 2 3 4 这四个数字中任取一个排在第一位 有种取法 1 4 P 第二步 从剩下的四个数字 含 0 中任取二个排在十位 个位 有种取法 2 4 P 根据分步计数原理 可组成没有重复数字的四位数共有 12 44 P P个 12 44 P P 44 3 48 个 解法四 第一类 把 0 固定在个位上 1 2 3 4 中任取二个排在百位 十位的排法有 2 4 P 第二类 把 0 固定在十位上 1 2 3 4 中任取二个排在百位 个位的排法有 2 4 P 第三类 0 不参加排列 1 2 3 4 中任取三个的排法有 3 4 P 根据分类计数原理 可组成没有重复数字的三位数的个数共有 23 44 2PP 24 3 4 3 2 48 个 解法五 列举法 麻烦且容易漏列 但直接明了 第一类 1 排在百位的数是 共 12102 103 104 120 123 124 130 132 134 140 142 143 个 第二类 2 排在百位 与 1 排在百位同理 2 排在百位的数也是 12 个 第三类 3 排在百位 与 1 排在百位同理 2 排在百位的数也是 12 个 第四类 4 排在百位 与 1 排在百位同理 2 排在百位的数也是 12 个 3 根据分类计数原理 可组成没有重复数字的三位数的个数共有 个 12 4 48 20042004 年年 8 十位同学互赠贺卡 每人给其他同学各寄出贺卡一张 那么他们共寄出贺卡的张数是 A 50 B 100 C D 90 10 10 2 10 2C 20052005 年年 11 从 4 本不同的书中任意选出 2 本 不同的选法共有 A 12 种 B 8 种 C 6 种 D 4 种 2 4 C 20062006 年年 11 4 个人排成一行 其中甲 乙两人总排在一起 则不同的排法有 A 种 B 种 C 种 D 种 32 32 P PA 20072007 年年 16 在一次共有 20 人参加的老同学聚会上 如果每二人握手一次 那么这次聚会共握手多少次 A 400 B 380 C 240 D 190 2 20 C 20082008 年年 12 某学生从 6 门课程中选修 3 门 其中甲课程必选修 则不同的选课方案共有 A 4 种 B 8 种 C 10 种 D 20 种 甲课程必选 从其他 5 门课程任选 2 门的组合数为 2 5 1 1 5 4 10 2 m n m m Pn nn m C Pm 三 考点 相互独立事件同时发生的概率乘法公式考点 相互独立事件同时发生的概率乘法公式 定义 对于事件 A B 如果 A 是否发生对 B 发生的概率没有影响 则它们称为相互独立事 件 把 A B 同时发生的事件记为 A B 四 考点 独立重复试验考点 独立重复试验 定义 如果在一次实验中事件 A 发生的概率为 P 那么 A 在 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率为 knk k nn PPCkP 1 五 考点 求方差考点 求方差 设样本数据为则样本的平均数为 21n xxx 1 21n xxx n x 样本方差为 1 22 2 2 1 2 xxxxxx n s n 解析 方差填空题必考 大家务必要记住公式解析 方差填空题必考 大家务必要记住公式 20012001 年年 15 任意抛掷三枚相同的硬币 恰有一枚国徽朝上的概率是 4 A B C D 4 1 3 1 4 3 8 3 113 1 33 1 0 5 1 0 5 3 8PC 20022002 年年 15 袋中装有 3 只黑球 2 只白球 一次取出 2 只球 恰好黑白各一只的概率是 A B C D 5 1 10 3 5 2 5 3 11 32 2 5 P P C 20032003 年年 12 从 3 个男生和 3 个女生中选出二个学生参加文艺汇演 选出的全是女生的概率是 A B C D 1 5 2 3 2 6 C C 1 10 1 4 1 3 18 某篮球队参加全国甲级联赛 任选该队参赛的 10 场比赛 其得分情况如下 99 104 87 88 96 94 100 92 108 110 则该篮球队得分的样本方差为 56 16 20042004 年年 11 掷两枚硬币 它们的币值面都朝上的概率是 A B C D 1 2 1 3 1 4 1 8 19 从篮球队中随机选出 5 名队员 他们的身高分别为 单位 cm 180 188 200 195 187 则身高的样本方差为 47 6 20052005 年年 15 8 名选手在 8 条跑道的运动场上进行百米赛跑 其中有 2 名中国选手 按随机抽签的方式决定 选手的跑道 2 名中国选手在相邻的跑道上的概率为 A B C D 1 2 1 4 7 7 8 8 2P P 1 8 1 16 19 从一批袋装食品中抽取 5 袋分别称重 结果 单位 g 如下 98 6 100 1 101 4 99 5 102 2 该样品的方差为 1 7 精确到 0 1 2 g 2 g 20062006 年年 16 两个盒子内各有三个同样的小球 每个盒子内的小球分别标有 1 2 3 这三个数字 从两个盒 子中分别任意取出一个小球 则取出的两个球上所标示数字的和为 3 的概率是 A B C D 1 9 2 9 11 33 P 1 3 2 3 21 任意测量一批相同型号的制作轴承用的滚球 8 个 它们的外径分别是 单位 mm 13 7 12 9 14 5 13 8 13 3 12 7 13 5 13 6 则该样本的方差为 0 2725 20072007 年年 17 已知甲打中靶心的概率为0 8 乙打中靶心的概率为0 9 两人各打靶一次 则两人都打不中的概 率为 5 A 0 01 B 0 02 C 0 28 D 0 72 10 8 10 9 2