2015届高三艺术班数学一轮复习资料-第二章-第9讲-函数模型及其应用]

第二章第二章 函数 导数及其应用函数 导数及其应用 第第 9 9 讲讲 函数模型及其应用函数模型及其应用 一 必记一 必记 2 个知识点个知识点 1 几种常见的函数模型 函数模型函数解析式 一次函数模型f x ax b a b 为常数 a 0 二次函数模型f x ax2 bx c a b c 为常数 a 0 指数函数模型f x bax c a b c 为常数 a 0 且 a 1 b 0 对数函数模型f x blogax c a b c 为常数 a 0 且 a 1 b 0 幂函数模型f x axn b a b n 为常数 a 0 n 0 2 三种函数模型性质比较 y ax a 1 y logax a 1 y xn n 0 在 0 上 的单调性 增函数增函数增函数 增长速度越来越快越来越慢相对平稳 图像的变化 随 x 值增大 图像 与 y 轴接近平行 随 x 值增大 图像 与 x 轴接近平行 随 n 值变化而不同 二 必明二 必明 2 个易误区个易误区 1 易忽视实际问题的自变量的取值范围 需合理确定函数的定义域 2 注意问题反馈 在解决函数模型后 必须验证这个数学结果对实际问题的合理性 三 必会三 必会 1 个方法个方法 解决实际应用问题的一般步骤 1 审题 弄清题意 分清条件和结论 理顺数量关系 初步选择数学模型 2 建模 将自然语言转化为数学语言 将文字语言转化为符号语言 利用数学知识 建 立相应的数学模型 3 求模 求解数学模型 得出数学结论 4 还原 将数学问题还原为实际问题 以上过程用框图表示如下 考点一一次函数与二次函数模型 1 某电信公司推出两种手机收费方式 A 种方式是月租 20 元 B 种方式是月租 0 元 一 个月的本地网内通话时间 t 分钟 与电话费 s 元 的函数关系如图所示 当通话 150 分钟时 这两种方式电话费相差 A 10 元 B 20 元 C 30 元 D 元 40 3 解析 选 A 依题意可设 sA t 20 kt sB t mt 又 sA 100 sB 100 100k 20 100m 得 k m 0 2 于是 sA 150 sB 150 20 150k 150m 20 150 0 2 10 即两种方式电话费相差 10 元 选 A 2 2013 北京西城区抽检 将进货单价为 80 元的商品按 90 元出售时 能卖出 400 个 若该商品每个涨价 1 元 其销售量就减少 20 个 为了赚取最大的利润 售价应定为每 个 A 115 元 B 105 元 C 95 元 D 85 元 解析 选 C 设售价定为 90 x 元 卖出商品后获得利润为 y 90 x 80 400 20 x 20 10 x 20 x 20 x2 10 x 200 20 x2 10 x 200 20 当 x 5 时 y 取得 最大值 即售价应定为 90 5 95 元 选 C 3 为了保护环境 发展低碳经济 某单位在国家科研部门的支持下 进行技术攻关 采用了新工艺 把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品 已知该单位每月的处理量最少为 400 吨 最多为 600 吨 月处理成本 y 元 与月处理量 x 吨 之间的函数关系可近似地表示为 y x2 200 x 80 000 且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为 100 元 1 2 该单位每月能否获利 如果获利 求出最大利润 如果不获利 则国家至少需要补贴多 少元才能使该单位不亏损 解 设该单位每月获利为 S 则 S 100 x y 100 x x2 300 x 80 000 x 300 2 35 1 2x2 200 x 80 000 1 2 1 2 000 因为 400 x 600 所以当 x 400 时 S 有最大值 40 000 故该单位不获利 需要国家每月至少补贴 40 000 元 才能不亏损 求解一次函数与二次函数模型问题的关注点 1 二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决 但一定要密切注意函数的定义 域 否则极易出错 2 确定一次函数模型时 一般是借助两个点来确定 常用待定系数法 3 解决函数应用问题时 最后要还原到实际问题 考点二分段函数模型 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况 在一般情况下 大桥上的 车流速度 v 单位 千米 小时 是车流密度 x 单位 辆 千米 的函数 当桥上的车流密度达到 200 辆 千米时 造成堵塞 此时车流速度为 0 千米 小时 当车流密度不超过 20 辆 千米时 车流速度为 60 千米 小时 研究表明 当 20 x 200 时 车流速度 v 是车流密度 x 的一次函 数 1 当 0 x 200 时 求函数 v x 的表达式 2 当车流密度 x 为多大时 车流量 单位时间内通过桥上某观测点的车辆数 单位 辆 小时 f x x v x 可以达到最大 并求出最大值 精确到 1 辆 小时 1 由题意 当 0 x 20 时 v x 60 当 20 x 200 时 设 v x ax b 由已知得Error Error 解得Error Error 故函数 v x 的表达式为 v x Error Error 2 依题意并由 1 可得 f x Error Error 当 0 x 20 时 f x 为增函数 故当 x 20 时 其最大值为 60 20 1 200 当 20 x 200 时 f x x 200 x 2 1 3 1 3 x 200 x 2 10 000 3 当且仅当 x 200 x 即 x 100 时 等号成立 所以当 x 100 时 f x 在区间 20 200 上取得最大值 综上 当 x 100 时 f x 在区间上取得最大值 f x max 3 333 即当车流密度为 10 000 3 100 辆 千米时 车流量可以达到最大 最大值约为 3 333 辆 小时 应用分段函数模型的关注点 1 实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出 而是由几个不同的关系式构 成 如出租车票价与路程之间的关系 应构建分段函数模型求解 2 构造分段函数时 要力求准确 简洁 做到分段合理 不重不漏 3 分段函数的最值是各段的最大 最小 者的最大者 最小者 某公司研制出了一种新产品 试制了一批样品分别在国内和国外上市销售 并且价格根 据销售情况不断进行调整 结果 40 天内全部销完 公司对销售及销售利润进行了调研 结 果如图所示 其中图 一条折线 图 一条抛物线段 分别是国外和国内市场的日销售量与 上市时间的关系 图 是每件样品的销售利润与上市时间的关系 1 分别写出国外市场的日销售量 f t 与上市时间 t 的关系及国内市场的日销售量 g t 与上 市时间 t 的关系 2 国外和国内的日销售利润之和有没有可能恰好等于 6 300 万元 若有 请说明是上市 后的第几天 若没有 请说明理由 解 1 图 是两条线段 由一次函数及待定系数法 得 f t Error Error 图 是一个二次函数的部分图像 故 g t t2 6t 0 t 40 3 20 2 每件样品的销售利润 h t 与上市时间 t 的关系为 h t Error Error 故国外和国内的日销售利润之和 F t 与上市时间 t 的关系为 F t Error Error 当 0 t 20 时 F t 3t t3 24t2 3 20t2 8t 9 20 F t t2 48t t 0 F t 在上是增函数 27 20 48 27 20t F t 在此区间上的最大值为 F 20 6 000 6 300 当 20 t 30 时 F t 60 3 20t2 8t 由 F t 6 300 得 3t2 160t 2 100 0 解得 t 舍去 或 t 30 70 3 当 30 t 40 时 F t 60 3 20t2 240 由 F t 在 30 40 上是减函数 得 F t F 30 6 300 故国外和国内的日销售利润之和可以恰好等于 6 300 万元 为上市后的第 30 天 考点三指数函数模型 一片森林原来面积为 a 计划每年砍伐一些树 且每年砍伐面积的百分比相等 当砍 伐到面积的一半时 所用时间是 10 年 为保护生态环境 森林面积 至少要保留原面积的 已知到今年为止 森林剩余面积为原来的 1 4 2 2 1 求每年砍伐面积的百分比 2 到今年为止 该森林已砍伐了多少年 3 今后最多还能砍伐多少年 1 设每年降低的百分比为 x 0 x 1 则 a 1 x 10 a 即 1 x 10 解得 x 1 1 2 1 2 1 2 1 10 2 设经过 m 年剩余面积为原来的 则 a 1 x m a 即 2 2 2 2 1 2 10 m 1 2 1 2 m 10 1 2 解得 m 5 故到今年为止 已砍伐了 5 年 3 设从今年开始 以后砍了 n 年 则 n 年后剩余面积为a 1 x n 2 2 令a 1 x n a 即 1 x n 解得 n 15 故今后最多还能砍 2 2 1 4 2 4 1 2 10 n 1 2 3 2 n 10 3 2 伐 15 年 应用指数函数模型应注意的问题 1 指数函数模型 常与增长率相结合进行考查 在实际问题中有人口增长 银行利率 细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决 2 应用指数函数模型时 关键是对模型的判断 先设定模型 再将已知有关数据代入验 证 确定参数 从而确定函数模型 3 y a 1 x n通常利用指数运算与对数函数的性质求解 提醒 解指数不等式时 一定要化为同底 且注意对应函数的单调性 2013 长春联合测试 某位股民购进某支股票 在接下来的交易时间内 他的这支股票先 经历了 n 次涨停 每次上涨 10 又经历了 n 次跌停 每次下跌 10 则该股民这支股票的 盈亏情况 不考虑其他费用 为 A 略有盈利 B 略有亏损 C 没有盈利也没有亏损 D 无法判断盈亏情况 解析 选 B 设该股民购这支股票的价格为 a 则经历 n 次涨停后的价格为 a 1 10 n a 1 1n 经历 n 次跌停后的价格为 a 1 1n 1 10 n a 1 1n 0 9n a 1 1 0 9 n 0 99n a a 故该股民这支股票略有亏损 课后作业课后作业 2013 陕西高考 在如图所示的锐角三角形空地中 欲建一个面积最大的内接矩形花园 阴 影部分 则其边长 x 为 m 解析 设矩形花园的宽为 y m 则 即 y 40 x 矩形花园的面积 S x 40 x x 40 40 y 40 x2 40 x x 20 2 400 当 x 20 m 时 面积最大 答案 20 据调查 苹果园地铁的自行车存车处在某星期日的存车量为 4 000 辆次 其中变速车存 车费是每辆一次 0 3 元 普通车存车费是每辆一次 0 2 元 若普通车存车数为 x 辆次 存车费 总收入为 y 元 则 y 关于 x 的函数关系是 A y 0 1x 800 0 x 4 000 B y 0 1x 1 200 0 x 4 000 C y 0 1x 800 0 x 4 000 D y 0 1x 1 200 0 x 4 000 解析 选 D y 0 2x 4000 x 0 3 0 1x 1 200 0 x 4 000 做一做做一做 1 2014 南昌质检 往外埠投寄平信 每封信不超过 20 g 付邮费 0 80 元 超过 20 g 而 不超过 40 g 付邮费 1 60 元 依此类推 每增加 20 g 需增加邮费 0 80 元 信的质量在 100 g 以内 如果某人所寄一封信的质量为 72 5 g 则他应付邮费 A 3 20 元 B 2 90 元 C 2 80 元 D 2 40 元 解析 选 A 由题意得 20 3 72 5 20 4 则应付邮费 0 80 4 3 20 元 故选 A 2 2014 广州模拟 在某个物理实验中 测量得变量 x 和变量 y 的几组数据 如下表 x0 500 992 013 98 y 0 990 010 982 00 则对 x y 最适合的拟合函数是 A y 2x B y x2 1 C y 2x 2 D y log2x 解析 选 D 根据 x 0 50 y 0 99 代入计算 可以排除 A 根据 x 2 01 y 0 98 代入计算 可以排除 B C 将各数据代入函数 y log2x 可知满足题 意 故选 D 3 一种产品的成本原为 a 元 在今后的 m 年内 计划使成本平均每年比上一年降低 p 成本 y 是关于经过年数 x 0 x m 的函数 其关系式 y f x 可写成 解析 依题意有 y a 1 p x 0 x m 答案 y a 1 p x 0 x m 4 某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品 其生产的总成本 y 万元 与年产量 x 吨 之间的函数关系式可以近似地表示为 y 48x 8 000 已知此生产线年产量最大为 x2 5 210 吨 1 求年产量为多少吨时 生产每吨产品的平均成本最低 并求最低成本 2 若每吨产品平均出厂价为 40 万元 那么当年产量为多少吨时 可以获得最大利润 最大利润是多少 解 1 每吨平均成本为 万元 则 48 2 48 32 y x y x x 5 8 000 x x 5 8 000 x 当且仅当 即 x 200 时取等号 年产量为 200 吨时 每吨平均成本最低 最 x 5 8 000 x 低为 32 万元 2 设可获得总利润为 R x 万元 则 R x 40 x y 40 x 48x 8 000 88x 8 000 x 220 2 1 x2 5 x2 5 1 5 680 0 x 210 R x 在上是增函数 x 210 时 R x 有最大值为 210 220 2 1 680 1 660 1 5 年产量为 210 吨时 可获得最大利润 最大利润是 1 660 万元 5 设甲 乙两地的距离为 a a 0 小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了 20 分钟 在 乙地休息 10 分钟后 他又以匀速从乙地返回到甲地用了 30 分钟 则小王从出发到返回原地 所经过的路程 y 和其所用的时间 x 的函数图像为 解析 选 D 注意到 y 为 小王从出发到返回原地所经过的路程 而不是位移 用定性 分析法不难得到答案为 D 6 某电视新产品投放市场后第一个月销售 100 台 第二个月销售 200 台 第三个月销 售 400 台 第四个月销售 790 台 则下列函数模型中能较好地反映销量 y 与投放市场的月数 x 之间关系的是 A y 100 x B y 50 x2 50 x 100 C y 50 2x D y 100log2x 100 解析 选 C 根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知 应为指数型函数模型 7 一水池有两个进水口 一个出水口 每个水口的进 出水速度如图甲 乙所示 某 天 0 点到 6 点 该水池的蓄水量如图丙所示 给出以下 3 个论断 0 点到 3 点只进水不出水 3 点到 4 点不进水只出水 4 点到 6 点不进水不出水 则一定正确的是 A B C D 解析 选 A 由甲 乙两图知 进水速度是出水速度的 所以 0 点到 3 点不出水 3 点 1 2 到 4 点也可能一个进水口进水 一个出水口出水 但总蓄水量降低 4 点到 6 点也可能两个 进水口进水 一个出水口出水 一定正确的是 8 某种新药服用 x 小时后血液中的残留量为 y 毫克 如图所示为函数 y f x 的图像 当 血液中药物残留量不小于 240 毫克时 治疗有效 设某人上午 8 00 第一次服药 为保证疗 效 则第二次服药最迟的时间应为 A 上午 10 00 B 中午 12 00 C 下午 4 00 D 下午 6 00 解析 选 C 当 x 时 设 y k1x 把 4 320 代入 得 k1 80 y 80 x 当 x 时