高中不等式的常用证明方法归纳总结

1 不等式的证明方法不等式的证明方法 不等式的证明是高中数学的一个难点 证明方法多种多样 近几年高考出现较为形式较为活跃 证明中经 常需与函数 数列的知识综合应用 灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提 下面我们将证明 中常见的几种方法作一列举 注意的变式应用 常用 其中 来解决有关根式不等式的问题 abba2 22 22 22 baba Rba 一 比较法 比较法是证明不等式最基本的方法 有做差比较和作商比较两种基本途径 1 已知 a b c 均为正数 求证 accbbacba 111 2 1 2 1 2 1 证明 a b 均为正数 0 4 4 4 1 4 1 4 1 2 baabbaab abbaabab baba ba 同理 0 4 1 4 1 4 1 2 cbbccbcb cb 0 4 1 4 1 4 1 2 caacacac ac 三式相加 可得0 111 2 1 2 1 2 1 accbbacba accbbacba 111 2 1 2 1 2 1 二 综合法 综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等 运用不等式的变换 从已知条件推出所要证明的结论 2 a b 0 c 1 cba 求证 3 1 222 cba 证 2222 1 3cbacba 2222 3cbacba 0 222222 222 222 accbba cabcabcba 3 设a b c是互不相等的正数 求证 444 cbaabccba 证 2244 2baba 2244 2cbcb 2244 2acac 222222444 accbbacba cabcbbacbba 222222222 22 同理 abcaccb 22222 2 bcabaac 22222 2 222222 cbaabcaccbba 4 知 a b c 求证 R 2 222222 cba accbba 2 证明 2 222222 2 22 ba bababa abab 即 两边开平方得 2 2 22ba ba 2 2 2 222 baba ba 同理可得三式相加 得 2 222 cb cb 2 222 ac ac 2 222222 cba accbba 5 0 yx 且 1 yx 证 9 1 1 1 1 yx 证 1 1 1 1 1 1 y yx x yx yx 25 2 2 y x x y y x x y 9225 6 已知 9 11 1 1 11 ba baRba求证 策略 由于的背后隐含说明1 4 1 2 1 2 baRbaab ba ab baRba 4 1 ab着一个不等式 证明 4 1 1 abbaRba 9 1 1 1 1 9 81 2 1 1 1 111 1 1 1 1 1 ba ababab ba abbaba 而 三 分析法 分析法的思路是 执果索因 从求证的不等式出发 探索使结论成立的充分条件 直至已成立的不等式 7 已知a b c为正数 求证 3 3 2 2 3 abc cba ab ba 证 要证 3 3 2 2 3 abc cba ab ba 只需证 3 32abccab 即 3 32abcabc 33 33abcababcababc 成立 原不等式成立 8 0 cba 且 1 cba 求证 3 cba 证 3 cba3 2 cba 即 2222 acbcab 3 baab 2 cbbc 2 caac 2 即 2 222 cacbbaacbcab 原命 题成立 四 换元法 换元法实质上就是变量代换法 即对所证不等式的题设和结论中的字母作适当的变换 以达到化难为易的 目的 9 1 b 求证 1 1 1 22 baab 证明 令 sin a 2 k k sin b 2 k k 左 coscossinsincoscossinsin 1 cos 1 1 1 22 baab 10 1 22 yx 求证 22 yx 证 由 1 22 yx 设 cos x sin y 2 2 4 sin 2sincos yx 22 yx 11 已知 a b c 求证 411 cacbba 证明 a b 0 b c 0 a c 0 可设 a b x b c y x y 0 则 a c x y 原不等式 转化为证明即证 即证 原不等式成立 当 yxyx 411 4 11 yx yx42 x y y x 2 x y y x 仅 x y 当 成立 12 已知 1 x y 2 求证 x xy y 3 22 2 1 22 证明 1 x y 2 可设 x rcos y rsin 其中 1 r 2 0 22 2 2 x xy y r r sin r 1 sin 1 sin r r 1 sin 2222 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 3 2 1 22 2 1 r 而r r 3 x xy y 3 2 2 3 2 2 1 2 2 1 2 3 2 2 1 22 13 已知 x 2xy y 2 求证 x y 22 10 证明 x 2xy y x y y 可设 x y rcos y rsin 其中 0 r 0 2222 2 2 x y x y 2y rcos 2rsin r sin ractan 5 2 1 r510 14 解不等式 15 xx 2 1 4 解 因为 6 故可令 sin cos 0 22 1 5 xxx 56 1 x6 2 则原不等式化为 sin cos 所以 sin cos6 6 2 1 6 2 1 6 由 0 知 cos 0 将上式两边平方并整理 得 48 cos2 4 cos 23 0 2 2 1 6 6 解得 0 cos 所以 x 6cos2 1 且 x 1 故原不等式的解集是 x 1 x 24 6282 12 4724 12 4724 15 1 x 2 1x 2 证明 1 x 0 1 x 1 故可设 x cos 其中 0 2 则 x cos sin cos sin 2 1x 2 cos1 2 4 4 4 4 3 1 sin 即 1 x 2 4 2 2 1x 2 五 增量代换法 在对称式 任意互换两个字母 代数式不变 和给定字母顺序 如 a b c 的不等式 常用增量进行代换 代换的目的是减少变量的个数 使要证的结论更清晰 思路更直观 这样可以使问题化难为易 化繁为简 16 已知 a bR 且 a b 1 求证 a 2 b 2 22 2 25 证明 a bR 且 a b 1 设 a t b t tR 2 1 2 1 则 a 2 b 2 t 2 t 2 t t 2t 22 2 1 2 2 1 2 2 5 2 2 5 22 2 25 2 25 a 2 b 2 22 2 25 六 利用 1 的代换型 17 9 111 1 cba cbaRcba求证 且已知 策略 做 1 的代换 证明 c cba b cba a cba cba 111 922233 c b b c c a a c b a a b 七 反证法 反证法的思路是 假设矛盾肯定 采用反证法时 应从与结论相反的假设出发 推出矛盾的过程中 每一步推理必须是正确的 18 若 p 0 q 0 p q 2 求证 p q 2 证明 反证法 33 假设 p q 2 则 p q 8 即 p q 3pq p q 8 p q 2 pq p q 2 33333 故 pq p q 2 p q p q p pq q 又 p 0 q 0 p q 0 3322 pq p pq q 即 p q 0 矛盾 故假设 p q 2 不成立 p q 2 222 19 已知a b c 0 1 求证 ba 1 cb 1 ac 1 不能均大于4 1 5 证明 假设 ba 1 cb 1 ac 1 均大于4 1 1 a b均为正 2 1 4 1 1 2 1 ba ba 同理 2 1 4 1 1 2 1 cb cb 2 1 2 1 ac 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 accbba 2 3 2 3 不正确 假设不成立 原命题正确 20 已知 a b c 0 1 求证 1 a b 1 b c 1 c a 不能同时大于 4 1 证明 假设三式同时大于 0 a 1 1 a 0 4 1 2 1 4 1 1 2 1 ba ba 21 a b Rc 0 cba 0 cabcab 0 cba 求证 a b c均为正数 证明 反证法 假设a b c不均为正数 又 0 cba a b c两负一正 不妨设 0 a 0 b 0 c 又 0 cba 0 bac 同乘以 ba 2 babac 即 0 22 babaabbcac 与已知 0 cabcab 矛盾 假设不成立 a b c均为正数 八 放缩法 放缩时常用的方法有 1 去或加上一些项 2 分子或分母放大 或缩小 3 用函数单调性放缩 4 用已知不等式放缩 22 已知 a b c d 都是正数 求证 1 2 cba b dcb c adc d bad a 证明 dcba b cba b ba b dcba c dcb c dc c dcba d adc d dc d dcba a bad a ba a 将上述四个同向不等式两边分别相加 得 1 2 cba b dcb c adc d bad a 23 Nn 求证 12 1 3 1 2 1 1 11 2 n n n 6 证明 1 2 1 221 kk kkkkk 1 2 1 221 kk kkkkk 1 2 23 2 12 21 1 2 1 1 nn n 12 n 1 2 23 2 12 2 1 2 1 1nn n 11 2 n 判别式法 24 A B C 为 ABC 的内角 x y z为任意实数 求证 Ayzzyxcos2 222 CxyBxzcos2cos2 证明 构造函数 判别式法令 cos2cos2cos2 222 CxyBxzAyzzyxxf cos2 coscos 2 222 AyzzyCyBzxx 为开口向上的抛物线 cos2 4 coscos 4 222 AyzzyCyBz cos2coscos2sinsin 4 2222 AyzCByzCyBz sinsincos cos2coscos2sinsin 4 2222 CBCByzCByzCyBz sinsin2sinsin 4 2222 CByzCyBz 0 cossin 4 2 CyBz 无论y z为何值 0 Rx 0 xf 命题真 九 构造函数法 构造函数法证明不等式 24 设 0 a b c 2 求证 4a b c abc 2ab 2bc 2ca 22 证明 视 a 为自变量 构造一次函数 4a b c abc 2ab 2bc 2ca bc 2b 2c 4 af 22 a b c 2bc 由 0 a 2 知表示一条线段 又 b c 2bc b c 0 b 22 af 0 f 222 2 f c 4b 4c 8 b 2 c 2 0 2222 可见上述线段在横轴及其上方 0 即 4a b c abc 2ab 2bc 2ca af 22 构造向量法证明不等式 根据已知条件与欲证不等式结构 将其转化为向量形式 利用向量数量积及 不等式关系 就能避免复杂的凑配技巧 使解题过程简化 应用这一方法证明一些具有 m n m n 和积结构的代数不等式 思路清晰 易于掌握 25 设 a b R 且 a b 1 求证 a 2 b 2 22 2 25 证明 构造向量 a 2 b 2 1 1 设和的夹角为 其中 0 m n m n 7 cos m 22 2 2 ba n2 m n m n 22 2 2 ba cos 2 另一方面 a 2 1 b 2 1 a b 4 5 而 0 cos m n 1 所以 5 从而 a 2 b 2 22 2 2 ba2 22 2 25 构造解析几何模型证明不等式 如果不等式两边可以通过某种方式与图形建立联系 则可根据已知式的结构 挖掘出它的几何背景 通过构造解析几何模型 化数为形 利用数学模型的直观 性 将不等式表达的抽象数量关系转化为图形加以解决 26 设 a 0 b 0 a b 1 求证 2 12 a12 b2 证明 所证不等式变形为 2 这可认为是点 A 到直线 x y 2 1212 ba 12 a12 b 0 的距离 但因 4 故点 A 在圆 x y 4 x 0 y 0 上 如图所示 AD BC 半径12 a 2 12 b 222 AO AD 即有 2 所以 2 2 1212 ba 12 a12 b2 1 实数绝对值的定义 实数绝对值的定义 a 这是去掉绝对值符号的依据 是解含绝对值符号的不等式的基础 2 最简单的含绝对值符号的不等式的解 最简单的含绝对值符号的不等式的解 若 a 0 时 则 x a a xa xa 注注 这里利用实数绝对值的几何意义是很容易理解上式的 即 x 可看作是数轴上的动点 P x 到原点的距离 3 常用的同解变形 常用的同解变形 f x g x g x f x g x f x g x f x g x f2 x g2 x 4 三角形不等式 三角形不等式 a b a b a b y x x y 0 2 A B D C O 8 高中数学复习专题讲座 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头关于不等式证明的常用方法 关于不等式证明的常用方法 高考要求高考要求 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 不等式的证明 方法灵活多样 它可以和很多内容结合 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 高考解答题中 常渗透不等式证明的内容 纯不 等式的证明 历来是高中数学中的一个难点 本节着重培养考生数学式的变形能力 逻辑思维能力以及分析问 题和解决问题的能力 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 重难点归纳重难点归纳 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 1 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 不等式证明常用的方法有 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 比较法 综合法和分析法 它们是证明不等式的最基本的方法 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 1 比较法证不等式有作差 商 变形 判断三个步骤 变形的主要方向是因式分解 配方 判断过程必须 详细叙述 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式 则考虑用判别式法证 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 2 综合法是由因导果 而分析法是执果索因 两法相互转换 互相渗透 互为前提 充分运用这一辩证关 系 可以增加解题思路 开扩视野 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 2 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 不等式证明还有一些常用的方法 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 换元法 放缩法 反证法 函数单调性法 判别式法 数换元法 放缩法 反证法 函数单调性法 判别式法 数 形结合法形结合法等 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 换元法主要有三角代换 均值代换 换元法主要有三角代换 均值代换两种 在应用换元法时 要注意代换的等价性 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 放缩法 放缩法是是 不等式证明中最重要的变形方法不等式证明中最重要的变形方法之一 放缩要有的放矢 目标可以从要证的结论中考查 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 有些不等式 从 正面证如果不易说清楚 可以考虑反证法反证法 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 凡是含有 至少 惟一 或含有其他否定词的命题 适宜用反证 法 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 证明不等式时 要依据题设 题目的特点和内在联系 选择适当的证明方法 要熟悉各种证法中的推理思维 并掌握相应的步骤 技巧和语言特点 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 典型题例示范讲解典型题例示范讲解 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 例例 1 证明不等式 n N n n 2 1 3 1 2 1 1 命题意图 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 本题是一道考查数学归纳法 不等式证明的综合性题目 考查学生观察能力 构造能力以及逻 辑分析能力 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 知识依托 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 本题是一个与自然数 n 有关的命题 首先想到应用数学归纳法 另外还涉及不等式证明中的放 缩法 构造法等 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 错解分析 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 此题易出现下列放缩错误 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 111111 12 23 n n nn nnnnn 个 这样只注重形式的统一 而忽略大小关系的错误也是经常发生的 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 技巧与方法 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 本题证法一采用数学归纳法从 n k 到 n k 1 的过渡采用了放缩法 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 证法二先放缩 后裂项 有的放矢 直达目标 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 而证法三运用函数思想 借助单调性 独具匠心 发人深省 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 证法一 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 1 当 n 等于 1 时 不等式左端等于 1 右端等于 2 所以不等式成立 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 2 假设 n k k 1 时 不等式成立 即 1 2 k 1 3 1 2 1 k 12 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 3 1 2 1 1 k k kk k kk k k k 则 当 n k 1 时 不等式成立 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 9 综合 1 2 得 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 当 n N 时 都有 1 2 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 n 1 3 1 2 1 n 另从 k 到 k 1 时的证明还有下列证法 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 1 1 11 2 1 2 212 12 1 1 2 01 1 21 1 2 0 1 1 1 2 1 21 1 2 2 kkkkk kk k k kk kkk kk kkkkkkk 又如 1 2 1 1 2 k k k 证法二 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 对任意 k N 都有 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 证法三 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 设 f n 2 1 2 23 2 12 22 1 3 1 2 1 1 1 2 1 221 nnn n kk kkkkk 因此 1 3 1 2 1 1 2 n n 那么对任意 k N 都有 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 0 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 2 1 2 k kk kkkk k kkk k k kkkfkf f k 1 f k 因此 对任意 n N 都有 f n f n 1 f 1 1 0 2 1 3 1 2 1 1n n 例例 2 求使 a x 0 y 0 恒成立的 a 的最小值 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 yx yx 命题意图 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 本题考查不等式证明 求最值函数思想 以及学生逻辑分析能力 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 知识依托 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 该题实质是给定条件求最值的题目 所求 a 的最值蕴含于恒成立的不等式中 因此需利用不等 式的有关性质把 a 呈现出来 等价转化的思想是解决题目的突破口 然后再利用函数思想和重要不等式等求得 最值 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 错解分析 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 本题解法三利用三角换元后确定 a 的取值范围 此时我们习惯是将 x y 与 cos sin 来对应 进行换元 即令 cos sin 0 这样也得 a sin cos 但是这种换元是错误的 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 其原 xy 2 因是 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 1 缩小了 x y 的范围 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 2 这样换元相当于本题又增加了 x y 1 这样一个条件 显然这是不对的 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 技巧与方法 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 除了解法一经常用的重要不等式外 解法二的方法也很典型 即若参数 a 满足不等关系 a f x 则 amin f x max 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 若 a f x 则 a max f x min 利用这一基本事实 可以较轻松地解决这一类不等式中所 含参数的值域问题 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 还有三角换元法求最值用的恰当好处 可以把原问题转化 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 解法一 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 由于 a 的值为正数 将已知不等式两边平方 得 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 10 x y 2 a2 x y 即 2 a2 1 x y xyxy x y 0 x y 2 xy 当且仅当 x y 时 中有等号成立 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 比较 得 a 的最小值满足 a2 1 1 a2 2 a 因 a 0 a 的最小值是 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 22 解法二 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 设 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 yx xy yx xyyx yx yx yx yx u 2 1 2 2 x 0 y 0 x y 2 当 x y 时 成立 xy 1 的最大值是 1 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 yx xy 2 yx xy 2 从而可知 u 的最大值为 211 又由已知 得 a u a 的最小值为 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 2 解法三 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 y 0 原不等式可化为 1 a y x 1 y x 设 tan 0 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 y x 2 tan 1 a 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 即 tan 1 asec 1tan2 a sin cos sin 2 4 又 sin 的最大值为 1 此时 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 4 4 由 式可知 a 的最小值为 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 2 例例 3 3 已知a 0 b 0 且a b 1 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 求证 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 a b 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 a 1 b 1 4 25 证法一 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 分析综合法 欲证原式 即证 4 ab 2 4 a2 b2 25ab 4 0 即证 4 ab 2 33 ab 8 0 即证 ab 或 ab 8 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 4 1 a 0 b 0 a b 1 ab 8 不可能成立 1 a b 2 ab 从而得证 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 ab 4 1 证法二 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 均值代换法 设 a t1 b t2 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 2 1 2 1 11 a b 1 a 0 b 0 t1 t2 0 t1 t2 2 1 2 1 4 25 4 1 16 25 4 1 2 3 16 25 4 1 4 5 4 1 1 4 1 1 4 1 2 1 2 1 1 4 1 1 4 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 11 1 1 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 22 2 11 21 2 22 2 11 2 2 2 1 2 1 22 t tt t tt t tttt tt tttt t t t t b b a a b b a a 显然当且仅当 t 0 即 a b 时 等号成立 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 2 1 证法三 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 比较法 a b 1 a 0 b 0 a b 2 ab ab 4 1 4 25 1 1 0 4 8 41 4 8334 4 2511 4 25 1 1 2222 b b a a ab abab ab abba b b a a b b a a 证法四 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 综合法 a b 1 a 0 b 0 a b 2 ab 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 ab 4 1 2 2 2 25 1 1 139 1 125 16 11 1 144164 4 ab ab abab ab ab 4 25 1 1 b b a a即 证法五 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 三角代换法 a 0 b 0 a b 1 故令 a sin2 b cos2 0 2 2 4 25 1 1 4 25 2sin4 2sin4 4 1 2sin 1 25162sin24 3 142sin4 12sin 2sin4 16 sin4 2sin4 2cossin2cossin cos 1 cos sin 1 sin 1 1 2 22 2 2 22 2 22 2 2244 2 2 2 2 b b a a b b a a 即得 12 不等式的证明不等式的证明 高考要求高考要求 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 1 通过复习不等式的性质及常用的证明方法 比较法 分析法 综合法 数学归纳法等 使学生较灵活的 运用常规方法 即通性通法 证明不等式的有关问题 2 掌握用 分析法 证明不等式 理解反证法 换元法 判别式法 放缩法证明不等式的步骤及应用范围 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 3 搞清分析法证题的理论依据 掌握分析法的证题格式和要求 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头搞清各种证明方法的理论依据和具体证明 方法和步骤 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 4 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 通过证明不等式的过程 培养自觉运用数形结合 函数等基本数学思想方法证明不等式的能力 能较灵 活的应用不等式的基本知识 基本方法 解决有关不等式的问题 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 知识点归纳知识点归纳 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 不等式的证明方法 1 比较法 作差比较 BABA 0 作差比较的步骤 作差 对要比较大小的两个数 或式 作差 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 变形 对差进行因式分解或配方成几个数 或式 的完全平方和 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 判断差的符号 结合变形的结果及题设条件判断差的符号 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 注意 若两个正数作差比较有困难 可以通过它们的平方差来比较大小 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 2 综合法 由因导果 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 3 分析法 执果索因 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头基本步骤 要证 只需证 只需证 分析法 证题的理论依据 寻找结论成立的充分条件或者是充要条件 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 分析法 证题是一个非常好的方法 但是书写不是太方便 所以我们可以利用分析法寻找证题的途径 然后用 综合法 进行表达 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 4 反证法 正难则反 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 5 放缩法 将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 放缩法的方法有 添加或舍去一些项 如 aa 1 2 nnn 1 将分子或分母放大 或缩小 利用基本不等式 如 4lg16lg15lg 2 5lg3lg 5lg3log 2 2 1 1 nn nn 利用常用结论 kkk kk 2 1 1 1 1 程度大 kkkkk 1 1 1 1 11 2 1 11 1 11 2 kkkkk 程度小 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 11 22 kkkkkk 6 换元法 换元的目的就是减少不等式中变量 以使问题化难为易 化繁为简 常用的换元有三角换元和代 13 数换元 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头如 已知 可设 222 ayx sin cosayax 已知 可设 1 22 yx sin cosryrx 10 r 已知 可设 1 2 2 2 2 b y a x sin cosbyax 已知 可设 1 2 2 2 2 b y a x tan secbyax 7 构造法 通过构造函数 方程 数列 向量或不等式来证明不等式 证明不等式的方法灵活多样 但比较法 综合法 分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法 要 依据题设 题断的结构特点 内在联系 选择适当的证明方法 要熟悉各种证法中的推理思维 并掌握相应的 步骤 技巧和语言特点 数学归纳法法证明不等式将在数学归纳法中专门研究 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 题型讲解题型讲解 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 例例 1 若水杯中的 b 克糖水里含有 a 克糖 假如再添上 m 克糖 糖水会变得更甜 试将这一事实用数学关系 式反映出来 并证明之 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 分析 本例反映的事实质上是化学问题 由浓度概念 糖水加糖甜更甜 可知 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头