2019-2020学年新教材高中数学 第五章 三角函数 5.2.1 三角函数的概念学案 新人教A版必修第一册

1 5 5 2 12 1 三角函数的概念三角函数的概念 1 能用三角函数的定义进行计算 2 熟记正弦 余弦 正切在各象限的符号 并能进行简单的应用 3 会利用诱导公式一进行有关计算 1 任意角的三角函数的定义 前提 如图 设 是一个任意角 r r 它的终边op与单位圆交于点p x y 正弦点p的纵坐标y叫做 的正弦 记作 sin 即y sin 余弦点p的横坐标x叫做 的余弦 记作 cos 即x cos 正切 把点p的纵坐标与横坐标的比值 叫做 的正切 记作 tan y x 即 tan x 0 y x 定义 三角 函数 正弦 余弦 正切都是以角为自变量 以单位圆上的点的坐标或 坐标的比值为函数值的函数 将正弦函数 余弦函数 正切函数 统称为三角函数 记为 正弦函数y sinx x r r 余弦函数y cosx x r r 正切函数y tanx x 2 k k z z 温馨提示 1 在任意角的三角函数的定义中 应该明确 是一个任意角 2 三角函数值是比值 是一个实数 这个实数的大小和p x y 所在终边上的位置无 2 关 而由角 的终边位置决定 3 要明确 sinx是一个整体 不是 sin 与x的乘积 它是 正弦函数 的一个记号 就如f x 表示自变量为x的函数一样 离开自变量的 sin cos tan 等是没有意义 的 2 三角函数值的符号 如图所示 正弦 一二象限正 三四象限负 余弦 一四象限正 二三象限负 正切 一三象限正 二四象限负 简记口诀 一全正 二正弦 三正切 四余弦 3 诱导公式一 即终边相同的角的同一三角函数值相等 1 若角 与 的终边相同 根据三角函数的定义 你认为 sin 与 sin cos 与 cos tan 与 tan 之间有什么关系 答案 sin sin cos cos tan tan 2 判断正误 正确的打 错误的打 1 若 720 则 cos cos 2 若 sin sin 则 3 已知 是三角形的内角 则必有 sin 0 4 任意角 的正弦值 sin 余弦值 cos 正切值 tan 都有意义 3 答案 1 2 3 4 题型一任意角的三角函数的定义及其应用 典例 1 1 若角 的终边经过点p 5 12 则 sin cos tan 2 已知角 的终边落在直线x y 0 上 求 sin cos tan 的值 3 思路导引 利用三角函数的定义求解 解析 1 x 5 y 12 r 13 52 12 2 则 sin cos tan y r 12 13 x r 5 13 y x 12 5 2 直线x y 0 即y x 经过第二 四象限 在第二象限取直线上的点 33 1 则r 2 所以 sin cos tan 在第 3 1 2 3 2 3 2 1 23 四象限取直线上的点 1 则r 2 所以 3 12 3 2 sin cos tan 3 2 1 23 答案 1 2 见解析 12 13 5 13 12 5 求任意角的三角函数值的 2 种方法 方法一 根据定义 寻求角的终边与单位圆的交点p的坐标 然后利用定义得出该角 的正弦 余弦 正切值 方法二 第一步 取点 在角 的终边上任取一点p x y p与原点不重合 第二步 计算r r op x2 y2 第三步 求值 由 sin cos tan x 0 求值 y r x r y x 在运用上述方法解题时 要注意分类讨论思想的运用 针对训练 1 已知角 的终边经过点p 1 1 则 sin 的值为 a b 1 2 3 2 c d 2 2 2 2 解析 的终边经过点p 1 1 4 sin 1 12 1 2 2 2 答案 d 2 已知角 的终边与单位圆的交点为 y 0 则 sin tan 1 2 y 解析 的终边与单位圆的交点为 1 2 y 2 y2 1 即y2 1 2 3 4 又 y0 cos230 0 于是 sin105 cos230 0 2 因为 3 所以 3 是第二象限角 所以 cos30 所以 cos3 tan0 则 的终边不一定落在第一象限或第二象限内 有可能终边落在 y轴的非负半轴上 5 针对训练 3 设 是第三象限角 且满足 sin 则角为第 象限角 sin 2 2 2 解析 因为 是第三象限角 所以 2k 2k k z z 所以 k 3 2 2 k k z z 所以角为第二 四象限角 又因为 sin 2 3 4 2 sin 2 2 所以 sin 0 所以为第四象限角 2 2 答案 四 题型三诱导公式一的应用 典例 3 求下列各式的值 1 cos tan 25 3 15 4 2 sin810 tan1125 cos420 思路导引 利用诱导公式将角化到 0 360 范围内 再求解 解 1 原式 cos tan 8 3 4 4 cos tan 1 3 4 1 2 3 2 2 原式 sin 2 360 90 tan 3 360 45 cos 360 60 sin90 tan45 cos60 1 1 1 2 5 2 1 公式一的实质是终边相同的角的同名三角函数值相等 利用它可将大角转化为 0 2 范围内的角 再借助特殊角的三角函数值达到化简求值的目的 2 熟记一些特殊角的三角函数值 针对训练 4 计算下列各式的值 1 sin 1395 cos1110 cos 1020 sin750 2 sin cos tan4 11 6 12 5 解 1 原式 sin 4 360 45 cos 3 360 30 cos 3 360 6 60 sin 2 360 30 sin45 cos30 cos60 sin30 2 2 3 2 1 2 1 2 6 4 1 4 1 6 4 2 原式 sin cos tan 4 0 sin cos 0 2 6 2 2 5 6 2 5 1 2 课堂归纳小结 1 正弦 余弦 正切都是以角为自变量 以单位圆上点的坐标或比值为函数值的函 数 2 角 的三角函数值的符号只与角 所在象限有关 角 所在象限确定 则三角 函数值的符号一定确定 规律是 一全正 二正弦 三正切 四余弦 3 公式一的理解 1 公式一的实质 是说终边相同的角的三角函数值相 等 即角 的终边每绕原点旋转一周 函数值将重复出现一次 体现了三角函数特有 的 周而复始 的变化规律 2 公式一的作用 利用诱导公式一可把负角的三角函数化为 0 2 间角的三角函数 亦可把大于 2 的 角的三角函数化为 0 2 间角的三角函数 即实现了 负化正 大化小 1 已知角 的终边经过点 4 3 则 cos a b 4 5 3 5 c d 3 5 4 5 解析 x 4 y 3 r 5 4 2 32 cos 故选 d x r 4 5 4 5 答案 d 2 sin的值等于 35 6 a b 1 2 1 2 c d 3 2 3 2 解析 sin sin sin 选 a 35 6 6 6 6 1 2 7 答案 a 3 若 sin 0 则 的终边在 a 第一象限b 第二象限 c 第三象限d 第四象限 解析 由于 sin 0 则 的终边在第一或第三象限 所以 的终边在第三象限 答案 c 4 已知角 的终边经过点p m 6 且 cos 则m 4 5 解析 cos 0 角应为第二或第三象限角 又 y 6 0 为第 4 5 三象限角 m 0 又 m 8 4 5 m m2 6 2 答案 8 5 求值 tan405 sin450 cos750 解 tan405 sin450 cos750 tan 360 45 sin 360 90 cos 720 30 tan45 sin90 cos30 1 1 3 2 3 2 课后作业 三十九 复习巩固 一 选择题 1 已知角 的顶点在原点 始边与x轴的非负半轴重合 终边过点 则 3 5 4 5 tan 的值为 a b 4 3 3 4 c d 4 5 3 5 解析 由正切函数的定义可得 tan 4 5 3 5 4 3 答案 a 8 2 若 0 则点q cos sin 位于 2 a 第一象限b 第二象限 c 第三象限d 第四象限 解析 因为 0 且 sin 0 所以点q cos sin 在第四象限 选 d 答案 d 3 若角 的终边过点 2sin30 2cos30 则 sin 的值等于 a b 1 2 1 2 c d 3 2 3 3 解析 x 2sin30 1 y 2cos30 3 r 2 sin 选 c 12 3 2 y r 3 2 答案 c 4 若 sin cos 且 sin cos 0 sin 0 cos 0 4 2 tan2 0 只有 符合 选 b 2 答案 b 二 填空题 9 6 tan等于 17 3 解析 tan tan tan 17 3 6 3 33 答案 3 7 设a 0 角 的终边经过点p 3a 4a 则 sin 2cos 的值等于 解析 a0 cos 0 0 sin cos sin cos sin cos sin cos 若 在第四象限 sin 0 0 sin cos sin cos sin cos sin cos 答案 0 三 解答题 9 化简下列各式 1 sin cos cos 5 tan 7 2 5 2 4 2 a2sin810 b2cos900 2abtan1125 解 1 原式 sin cos cos 1 3 2 2 1 0 1 1 1 2 原式 a2sin90 b2cos180 2abtan 3 360 45 a2 b2 2abtan45 a2 b2 2ab a b 2 10 已知角 的终边上一点p m 且 sin m 求 cos 与 tan 3 2 4 解 由题意得 sin m m m2 3 2 4 10 若m 0 则 cos 1 tan 0 若m 0 则m 5 当m 时 cos tan 5 6 4 15 3 当m 时 cos tan 5 6 4 15 3 综合运用 11 sin2 cos3 tan5 的值 a 大于 0 b 小于 0 c 等于 0 d 不能确定 解析 2 rad 为第二象限角 sin2 0 3 rad 为第二象限角 cos3 0 5 rad 为第四象限角 tan50 选 a 答案 a 12 若 abc的两内角a b满足 sina cosb 0 则此三角形的形状为 a 锐角三角形b 钝角三角形 c 直角三角形d 不能确定 解析 由题意知 0 a 0 b0 又 sinacosb 0 cosb 0 b0 cos 0 则实数a的取 值范围是 解析 点 3a 9 a 2 在角 的终边上 sin 0 cos 0 error 解得 2 a 3 答案 2 3 14 sin cos tan的值为 13 6 13 3 23 4 解析 sin cos tan 13 6 13 3 23 4 sin cos tan 2 6 4 3 6 4 sin cos tan 6 3 4 1 0 1 2