概率论与数理统计 (2)ppt课件.ppt

概率论与数理统计 序言 关于这门课的简单介绍 自然界和社会生活中 有两类现象 一定条件下必然发生的现象 而更多的是随机现象 使我们无时无刻不面临着各种各样的不确定性 使我们的世界丰富多彩 变化万千 A 太阳从东方升起 B 明天的最高温度 C 上抛物体一定下落 D 新生婴儿的体重 我们的生活和随机现象结下了不解之缘 1 下面的现象哪些是随机现象 随机现象的规律性 随机现象的发生和结果具有不确定性 但是在相同条件下大量重复观测 又具有一定的规律性 例如 一门火炮在一定条件下进行射击 个别炮弹的弹着点可能偏离目标而有随机性的误差 但大量炮弹的弹着点则表现出一定的规律性 如一定的命中率 一定的分布规律等等 又如 在一个容器内有许多气体分子 每个气体分子的运动存在着不定性 无法预言它在指定时刻的动量和方向 但大量分子的平均活动却呈现出某种稳定性 如在一定的温度下 气体对器壁的压力是稳定的 呈现 无序中的规律 概率论与数理统计 把随机现象的不确定性进行数量化 研究其中的数量规律性 即统计规律性 概率论数理统计 第一部分 概率论 目录 第一章随机事件及其概率第二章随机变量及其分布第三章随机变量的数字特征第四章大数定律和中心极限定理 第一章 随机事件及其概率 第一章随机事件及其概率 随机事件及样本空间频率与概率条件概率及贝努利概型 第一节随机事件及样本空间 随机事件及其有关概念随机事件的关系及其运算样本空间 一 随机事件及其有关概念 1 随机试验相同的条件下 可以重复 结果不止一个 但明确所有可能的结果 每次试验之前 不能确定哪种结果出现 2 随机事件 基本事件 随机试验的每一个可能的结果 复合事件 随机试验中 由两个或更多基本事件复合而成情况 包括多种可能的结果 随机事件 基本事件与复合事件统称为随机事件 随机事件的一些例子 1 基本事件 相对于观察目的不可再分解的事件 复合事件 事件B 掷出奇数点 两个特殊随机事件 必然事件U 不可能事 4 随机事件 掷硬币 H 正面 T 反面 A B C都是随机事件 A 至少出现一个正面 HHH HHT HTH THHHTT THT TTH B 三次出现同一面 HHH TTT C 恰好出现一次正面 HTT THT TTH 二 随机事件的关系及其运算 我们通过下面的例子来讨论例 在检查某些圆柱形产品时 如果规定只有它的长度及直径都合格时才算产品合格 那么 产品合格 与 直径合格 长度合格 等事件有着密切联系 1 包含关系 A发生 B发生 2 和事件 A与B至少一个发生 3 积事件 A与B同时发生 记作AB 4 差事件 A发生而B不发生 5 互斥的事件 A和B不同时发生 6 互逆事件 互为对立事件 各种关系的主要性质 传递性 AB BC 则AC交换律 结合律 自反性 摩根律 三 样本空间 样本点 随机试验E的所有可能结果 即所有的基本事件 记作e 样本空间 全体样本点所组成的集合 记作U 样本点e 例 随机试验E是将一枚硬币抛掷两次 则样本空间U由如下四个样本点组成 样本空间U建立了事件与集合的联系 所有可能的结果 集合U 基本事件 U的元素 随机事件 U的子集 事件的关系和运算 子集的关系和运算用集合论和Venn图来描述随机事件 例1 从一批产品中每次取出一个产品进行检验 不放回 事件A B C表示第i次取得合格品 i 1 2 3 试用运算符号表示下列事件 三次都取到了合格品 三次至少有一次取到合格品 三次恰有两次取到合格品 三次最多有一次取到合格品 三次中都不多于两次取到合格品 例2 甲 乙 丙三人各向目标射击一发子弹 以A B C分别表示甲 乙 丙命中目标 试用A B C运算关系表示下列事件 第二节频率与概率 频率概率的古典定义几何概率概率的公理化定义 一 频率 频率的定义 事件A在n次重复试验中出现m次 事件A在n次重复试验中出现的频率 能否用频率做为概率 频率稳定性 频率随试验次数的变化而变化 试验次数相同 频率也具有随机波动性 试验次数较小时 频率随机波动幅度较大 试验次数逐渐增大时 频率逐渐稳定于某一个常数 历史上曾有人做过试验 试图证明抛掷匀质硬币时 出现正反面的机会均等 实验者nnHfn H DeMorgan204810610 5181Buffon404020480 5069K Pearson1200060190 5016K Pearson24000120120 5005 二 概率的古典定义 1 古典概型 如果随机试验 满足 试验的样本空间中 基本事件只有有限个 试验中 每个基本事件发生的可能性相同 2 概率的古典定义 假设试验E是古典概型 如果样本空间U共有n个基本事件 事件A包括m个基本事件 则事件A的概率 例1号码锁上有6个拨盘 每个拨盘上有0 9共10个数字 当这6个拨盘上的数字组成打开号码锁的6位数时 第一位可以是0 锁才能打开 问 如果不知道锁的号码 一次就把锁打开的概率是多少 例2设一口袋中有m件产品 其中k件正品 m k件次品 现从中一次任意取出n n m 件产品 问其中恰有j j k 件正品的概率 K件正品 次品 正品 m k件次品 例3将一枚硬币抛掷三次 1 设事件A为 恰有一次出现正面 求P A 2 设事件B为 至多有一次出现正面 求P B 3 设事件C为 至少有一次出现正面 求P C 解 例4产品放在一箱内 其中正品46件 废品4件 从箱中取产品2次 每次随机取一次 考虑两种取产品方式 有放回抽样和不放回抽样 试分别就上面两种情况 求 1 取到的两件产品都是正品的概率 2 取到的两件产品为同质量的概率 3 取到的两件产品中至少有一件是正品的概率 解 设A 取到的两件都是正品 B 取到的两件都是废品 C 取到的两件中至少有一件是正品 易知AUB 取到的两件为同质 而 例5设有n个球 每个都能以同样的概率落到N个盒子的每一个盒子中 试求 每个盒子至多有一个球的概率p 某指定的n个盒子中各有一个球的概率q 任何n个盒子中各有一个球的概率r 乘法公式 设完成一件事需分两步 第一步有n1种方法 第二步有n2种方法 则完成这件事共有n1n2种方法 复习 排列与组合的基本概念 加法公式 假设完成一件事可有两种途径 第一种途径有n1种方法 第二种有n2种方法 则完成这件事共有n1 n2种方法 有重复排列 从含有n个元素的集合中随机抽取k次 每次取一个 记录其结果后放回 将记录结果排成一列 共有nk种排列方式 无重复排列 从含有n个元素的集合中随机抽取k次 每次取一个 取后不放回 将所取元素排成一列 共有Pnk n n 1 n k 1 种排列方式 四 概率的公理化定义 对随机试验E的样本空间U中的每一事件A 赋予一实数P A 满足以下三个条件 1 对于每一个事件A 有0 P A 1 2 P U 1 3 可列可加性 设A1 A2 是一列两两互不相容的事件 P A1 A2 P A1 P A2 则称P A 为事件A的概率 2 概率的性质 性质1 即不可能事件的概率为0 性质2如果A1 A2 An两两互斥 则有P A1 A2 An P A1 P A2 P An 概率的有限可加性 性质3对任一事件A 有 性质4设 B是两个事件 若 则有 例从1到2000这2000个自然数中任取一个 1 求取到的数能被6整除的概率 2 求取到的数能被8整除的概率 3 求取到的数既能被6整除也能被8整除的概率 第三节条件概率与贝努利概型 条件概率全概率公式贝叶斯公式随机事件的独立性贝努利概型 一 条件概率 1 定义 两个事件A B 且B发生条件下 A的条件概率 2 条件概率的说明 条件概率P A B 也是概率 原来的事件B变成了样本空间 样本空间缩减了 其中事件AB的概率 几何上看 AB的面积在B面积中所占的比例 古典概型中 设B有个样本点 AB有个 例1 设袋中有3个白球 2个红球 现从袋中任意抽取两次 每次取一个 取后不放回 求 1 已知第一次取到红球 求第二次也取到红球的概率 2 求第二次取到红球的概率 3 求两次均取到红球的概率 A 第一次取到红球 B 第二次取到红球 3 有关条件概率的例题 例2 一盒中混有100只新 旧乒乓球 各有红 白两色 分类如下表 从盒中随机取出一球 若取得的是一只红球 试求该红球是新球的概率 A B 例3 当掷5枚相同分币时 已知至少出现两个正面的情况下 问正面数刚好是三个的条件概率 A 至少出现两个正面的事件 B 刚好三个正面的事件 3 乘积公式 设A B U P A 0 则 1 P AB P A P B A 称为事件A B的概率乘法公式 2 上式还可推广到三个事件的情形 P ABC P A P B A P C AB 3 一般地 有下列公式 P A1A2 An P A1 P A2 A1 P An A1 An 1 例4 甲 乙两厂共同生产1000个零件 其中300件是乙厂生产的 而在这300个零件中 有189个是标准件 现从这1000个零件中任取一个 问这个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少 所求为P AB 甲 乙共生产1000个 189个是标准件 300个乙厂生产 B 是乙厂生产 A 是标准件 所求为P AB 设B 零件是乙厂生产 A 是标准件 若改为 发现它是乙厂生产的 问它是标准件的概率是多少 求的是P A B B发生 在P AB 中作为结果 在P A B 中作为条件 例5 市场上供应灯泡 甲厂产品占60 乙厂占40 甲厂产品的合格率是90 乙厂的合格率是80 若用A表示甲厂的产品 B表示产品为合格品 求 1 已知买到的是甲厂的一个产品 合格率是多少 2 买到一个产品是甲厂生产的合格灯泡的概率 例6 对含有5 废品的100件产品进行抽样检查 整批产品被拒绝介绍的条件是在被抽查的5件产品 不放回抽样 中至少有一件是废品 试问该批产品被拒绝的概率是多少 设Ai表示事件 第i i 1 2 3 4 5 次被抽查的产品为合格品 二 全概率公式 设B1 Bn是U的一个划分 且P Bi 0 i 1 n 则对任何事件A U有 上式就称为全概率公式 全概率公式的解释 例7 市场上有甲 乙 丙三家工厂生产的同一品牌产品 已知三家工厂的市场占有率分别为1 4 1 4 1 2 且三家工厂的次品率分别为2 1 3 试求市场上该品牌产品的次品率 B B 三 贝叶斯公式 设B1 Bn为随机试验E的样本空间U的一个划分 A为E的事件 且P A 0 P Bi 0 i 1 2 n 则 其中 j 1 2 n 例8 设某工厂甲 乙 丙三个车间生产同一种仪表 产量依次占全厂的40 50 10 如果各车间的一级品率依次为90 80 98 现在从待出厂产品中抽查出一个结果为一级品 试判断它是丙车间生产的概率 解 设A 抽查一个产品为一级品 分别表示事件 产品为甲 乙 丙车间生产的 很明显 构成一个划分 利用贝叶斯公式 例9 商店论箱出售玻璃杯 每箱20只 其中每箱含0 1 2只次品的概率分别为0 8 0 1 0 1 某顾客选中一箱 从中任选4只检查 结果都是好的 便买下了这一箱 问这一箱含有一个次品的概率是多少 解 设A 从一箱中任取4只检查 结果都是好的 B0 B1 B2分别表示事件每箱含0 1 2只次品 已知 P B0 0 8 P B1 0 1 P B2 0 1 由Bayes公式 四 事件的独立性 1 事件独立的定义 设A B是两个事件 P A 0 若P B P B A P A P A B 则称事件A与B相互独立 上式等价于 P AB P A P B 定理3 2以下四件命题等价 1 事件A B相互独立 2 事件A B相互独立 3 事件A B相互独立 4 事件A B相互独立 定理3 3设A B是两个事件 且P A 0 若A B相互独立 则P A P A B 反之亦然 也就是 A事件的概率 和B事件发生与否无关 2 多个事件的独立性 定义若三个事件A B C满足 P AB P A P B P AC P A P C P BC P B P C 则称事件A B C两两相互独立 若在此基础上还满足 P ABC P A P B P C 则称事件A B C相互独立 一般地 设A1 A2 An是n个事件 如果对任意k 1 k n 任意的1 i1 i2 ik n 具有等式P Ai1Ai2 Aik P Ai1 P Ai2 P Aik 则称n个事件A1 A2 An相互独立 此时 加法公式可以简化为 3 在可靠性理论上的应用如图 1 2 3 4 5表示继电器触点 假设每个触点闭合的概率为p 且各继电器接点闭合与否相互独立 求L至R是通路的概率 设A L至R为通路 Ai 第i个继电器通 i 1 2