知识点060--平方差公式的几何背景(解答)

知识点 060 平方差公式的几何背景 解答 1 乘法公式的探究及应用 1 如图 1 可以求出阴影部分的面积是 a2 b2 写成两数平方差的形式 2 如图 2 若将阴影部分裁剪下来 重新拼成一个矩形 它的宽是 a b 长是 a b 面积 是 a b a b 写成多项式乘法的形式 3 比较图 1 图 2 阴影部分的面积 可以得到公式 a b a b a2 b2 4 运用你所得到的公式 计算下列各题 10 2 9 8 2m n p 2m n p 考点 平方差公式的几何背景 专题 计算题 分析 1 利用正方形的面积公式就可求出 2 仔细观察图形就会知道长 宽由面积公式就可求出面积 3 建立等式就可得出 4 利用平方差公式就可方便简单的计算 解答 解 1 利用正方形的面积公式可知 阴影部分的面积 a2 b2 2 a b a b a b a b 3 a b a b a2 b2 等式两边交换位置也可 4 解 原式 10 0 2 10 0 2 102 0 22 100 0 04 99 96 解 原式 2m n p 2m n p 2m 2 n p 2 4m2 n2 2np p2 点评 此题主要考查了平方差公式 即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平 方差 这个公式就叫做平方差公式 对于有图形的题同学们注意利用数形结合求解更形象 直观 2 如图是边长为 a 2b 的正方形 1 边长为 a 的正方形有 1 个 2 边长为 b 的正方形有 4 个 3 两边分别为 a 和 b 的矩形有 4 个 4 用不同的形式表示边长为 a 2b 的正方形面积 并进行比较写出你的结论 考点 平方差公式的几何背景 列代数式 完全平方式 分析 1 2 3 根据图直接 可以看出 4 根据正方形的面积公式 边长 边长 a 2b a 2b a 2b 2 然后 利用平方差公式把它展开又是另一种表现形式 解答 解 1 由图可知边长为 a 的正方 形只有一个 2 由图可知边长为 b 的正方形有 4 个 3 由图可知两边长分别为 a 和 b 的矩形有 4 个 4 S 边长为 a 2b 的正方形 a 2b 2 S 边长为 a 2b 的正方形 a2 4b2 4ab 结论是 a 2b 2 a2 4b2 4ab 点评 本题主要考查了同学们的观察能力以及运用面积公式求正方形的面积 3 如图 1 所示 边长为 a 的大正方形中有一个边长为 b 的小正方形 如图 2 是由图 1 中阴 影部分拼成的一个长方形 1 请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积 a2 b2 a b a b 2 请问以上结果可以验证哪个乘法公式 平方差公式 3 试利用这个公式计算 20092 2010 2008 考点 平方差公式的几何背景 分析 本题通过 1 中的面积 a2 b2 2 中矩形的面积 a b a b 并且两图形阴 影面积相等 据此即可得出平方差公式 即 a2 b2 a b a b 解答 解 1 a2 b2 1 分 a b a b 1 分 2 平方差公式 2 分 3 20092 2010 2008 20092 2009 1 2009 1 20092 20092 1 1 4 分 点评 本题主要考查了利用面积公式证明平方差公式 熟记公式结构是利用平方差公式解 决实际问题 4 乘法公式的探究及应用 1 如图 1 所示 可以求出阴影部分的面积是 a2 b2 写成两数平方差的形式 2 若将图 1 中的阴影部分裁剪下来 重新拼成一个如图 2 的矩形 此矩形的面积是 a b a b 写成多项式乘法的形式 3 比较两图的阴影部分面积 可以得到乘法公式 a2 b2 a b a b 4 应用所得的公式计算 1 1 22 1 1 32 1 1 42 1 1 992 1 1 1002 考点 平方差公式的几何背景 专题 探究型 分析 1 利用面积公式 大正方形的面积 小正方形的面积 阴影面积 2 利用矩形公式即可求解 3 利用面积相等列出等式即可 4 利用平方差公式简便计算 解答 解 1 a2 b2 2 a b a b 3 a2 b2 a b a b 4 原式 1 1 2 1 1 2 1 1 3 1 1 3 1 1 99 1 1 99 1 1 100 1 1 100 1 2 3 2 2 3 4 3 98 99 100 99 99 100 101 100 101 200 点评 本题综合考查了证明平方差公式和使用平方差公式的能力 5 如图 大正方形的边长为 a 小正方形的边长为 b 利用此图证明平方差公式 考点 平方差公式的几何背景 专题 证明题 分析 由大正方形的面积 小正方形的面积 四个等腰梯形的面积 进而证得平方差公式 解答 解 根据题意大正方形的面积 小正方形的面积 a2 b2 四个等腰梯形的面积 1 2 a b 1 2a 1 2b 4 a b a b 故 a2 b2 a b a b 点评 本题主要考查平方差公式的几何背景 不是很难 6 1 如图 1 可以求出阴影部分的面积是 a2 b2 写成两数平方差的形式 2 如图 2 若将阴影部分裁剪下来 重新拼成一个矩形 它的宽是 a b 长是 a b 面积 是 a b a b 写成多项式乘法的形式 3 比较左 右两图的阴影部分面积 可以得到乘法公式 a b a b a2 b2 用式子 表达 考点 平方差公式的几何背景 分析 1 中的面积 大正方形的面积 小正方形的面积 a2 b2 2 中的长方形 宽为 a b 长为 a b 面积 长 宽 a b a b 3 中的答案可以由 1 2 得到 a b a b a2 b2 解答 解 1 阴影部分的面积 大正方形的面积 小正方形的面积 a2 b2 2 长方形的宽为 a b 长为 a b 面积 长 宽 a b a b 3 由 1 2 得到 a b a b a2 b2 点评 本题考查了平方差公式的几何表示 利用不同的方法表示图形的面积是解题的关 键 7 会说话的图形 如下图 把正方形的方块 按不同的方式划分 计算其面积 便可得到 不同的数学公式 按图 1 所示划分 计算面积 便得到一个公式 x y 2 x2 2xy y2 若按图 2 那样划分 大正方形则被划分成一个小正方形和两个梯形 通过计算图中的面积 请你完成下面的填空 1 图 2 中大正方形的面积为 x2 2 图 2 中两个梯形的面积为 1 2 x y x y 3 根据 1 和 2 你得到的一个数学公式为 x2 y2 x y x y 考点 平方差公式的几何背景 完全平方公式的几何背景 专题 图表型 分析 本题的 关键是仔细观察图形从图形中找到规律 按正方形 梯形的面积公式进行计算即可 解答 解 1 图中大正方形的面积为 x2 2 两个梯形的面积分别为 1 2 x y x y 3 则有 x2 y2 2 1 2 x y x y 即 x2 y2 x y x y 故答案为 x2 1 2 x y x y x2 y2 x y x y 点评 本题考查了平方差公式的几何表示 通过数形结合 推导并验证了平方差公式 8 请大家阅读下面两段材料 并解答问题 材料 1 我们知道在数轴上表示 4 和 1 的两点之间的距离为 3 如图 而 4 1 3 所以在 数轴上表示 4 和 1 的两点之间的距离为 4 1 再如在数轴上表示 4 和 2 的两点之间的距离为 6 如图 而 4 2 6 所以数轴上表示数 4 和 2 的两点之间的距离为 4 2 根据上述规律 我们可以得出结论 在数轴上表示数 a 和数 b 两点之间的距离等于 a b 如图 材料 2 如下左图所示大正方形的边长为 a 小正方形的边长为 b 则阴影部分的面积可表 示为 a2 b2 将上图中的左图重新拼接成右图 则阴影部分的面积可表示为 a b a b 由此可以得 到等式 a2 b2 a b a b 阅读后思考 1 试一试 求在数轴上表示的数 5与 4的两点之间的距离为 9 3 2 4 1 12 11 2 请用材料 2 公式计算 49 2 49 2 77 9 8 9 1 3 上述两段材料中 主要体现了数学中数形结合的数学思想 考点 平方差公式的几何背景 数轴 专题 阅读型 数形结合 分析 1 首先理解材 料 1 的题意 利用它的公式即可求结果 2 利用平方差公式把题目展开成平方差公式的形式 然后根据有理数的加法法则计算 并且这样计算比较简便 3 此题把图形和数的计算结合起来 所以容易知道利用的数学思想 解答 解 1 数 5与 4的两点之间的距离为 5 4 9 3 2 4 1 3 2 4 1 12 11 2 49 2 49 2 49 49 49 49 77 9 8 9 1 9 8 9 1 9 8 9 1 3 数形相结合 故答案为 9 77 数形结合 12 11 点评 本题考查了平方差公式的几何表示 关键是理解题意 才能根据题目的公式进行计 算 此题还考查了数形结合的思想 9 如图 1 所示大正方形的边长为 a 小正方形的边长为 b 则阴影部分的面积可表示为 a2 b2 将图 1 中的图形重新拼接成图 2 则阴影部分的面积可表示为 a b a b 这样 可以得到等式 a2 b2 a b a b 请用此公式计算 999 2 999 2 9 8 9 1 考点 平方差公式的几何背景 分析 图 1 阴影部分的面积 大正方形的面积 小正方形的面积 图 2 阴影部分的面积根据 矩形面积公式即可得出 根据阴影部分的面积相等可得等式 计算题直接利用公式即可 解答 解 a2 b2 a b a b a2 b2 a b a b 999 2 999 2 9 8 9 1 999 999 999 999 9 8 9 1 9 8 9 1 1000 999 9 7 9 8998000 点评 本题利用组合图形考查平方差公式 计算题较为简单 直接利用公式即可 做题时 认真观察图形 找到各部分的面积及两面积相等是解决本题的关键 10 如图 在边长为 a 的正方形中剪去一个边长为 b 的小正方形 把剩下部分拼成 一个梯形 通过计算这两个图形阴影部分的面积 可验证公式为 考点 平方差公式的几何背景 分析 要求可验证的公式 可分别求出两个图形的面积 令其相等 即可得出所验证的公 式 解答 解 在边长为 a 的正方形中剪去一个边长为 b 的小正方形 剩余面积为 a a b b a2 b2 图中梯形的上底为 2b 下底为 2a 高为 a b 梯形的面积为 1 2 2a 2b a b a b a b 可验证的公式为 a2 b2 a b a b 点评 本题考查了平方差公式的几何意义 用不同的方法求阴影部分的面积是解题的关键 考法较新颖 11 如图 小刚家有一块 L 形的菜地 要把这块菜地按图示那样分成面积相等的梯形 种上不同的蔬菜 这两个梯形的上底都是 xm 下底都是 ym 高都是 y x m 请你帮小 刚家算一算菜地的面积是 y2 x2 平方米 当 x 20m y 30m 时 面积是 500 平方米 考点 平方差公式的几何背景 分析 本题结合图形 根据梯形的面积公式 1 2 上底 下底 高 列出菜地的面积 再 运用平方差公式计算 解答 解 由题意得菜地的面积为 2 1 2 x y y x y2 x2 当 x 20 y 30 时 y2 x2 302 202 900 400 500m2 故答案为 y2 x2 500 点评 本题考查了平方差公式的几何表示 计算菜地的面积时 也可运用边长为 y 的正方 形的面积减去边长为 x 的正方形的面积求得 这样更为简单 12 如图 有一位狡猾的地主 把一块边长为 a 的正方形的土地 租给李老汉种植 他对 李老汉说 我把你这块地的一边减少 4m 另一边增加 4m 继续租给你 你也没有吃亏 你看如何 李老汉一听 觉得自己好像没有吃亏 就答应了 同学们 你们觉得李老汉有 没有吃亏 请说明理由 考点 平方差公式的几何背景 分析 本题只要利用面积公式 再利用平方差公式计算就可知 解答 解 李老汉吃亏了 理由 原来的种植面积为 a2 变化后的种植面积为 a 4 a 4 a2 16 因为 a2 a2 16 所以李老汉吃亏了 点评 本题考查了平方差公式在实际生活中的运用 只有利用平方差公式计算后才能做出 正确的判断 13 1 通过观察比较左 右两图的阴影部分面积 可以得到乘法公式为 a b a b 用式子表达 2 运用你所学到的公式 计算下列各题 1022 103 97 考点 平方差公式的几何背景 完全平方公式 平方差公式 分析 1 本题需先根据图中所给的数据 再根据面积公式进行计算 再与两边的图形进 行比较 即可求出答案 2 本题需先根据平方差公式的求法 分别进行计算 即可求出答案 解答 解 1 根据题意得 S a2 b2 a b a b 2 1022 100 2 2 1002 400 4 10404 103 97 100 3 100 3 1002 32 9991 点评 本题主要考查了平方差公式的几何表示 表示出图形阴影部分面积是解题的关键 14 我们已经知道利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式 如图一 我们可以 得到两数差的完全平方公式 a b 2 a2 2ab b2 1 请你在图二中 标上相应的字母 使其能够得到两数和的完全平方公式 a b 2 a2 2ab b2 2 图三是边长为 a 的正方形中剪去一个边长为 b 的小正方形 剩下部分拼成图四的形状 利用这两幅图形中面积的等量关系 能验证公式 a2 b2 a b a b 3 除了拼成图四的图形外还能拼成其他的图形能验证公式成立 请试画出一个这样的图 形 并标上相应的字母 考点 平方差公式的几何背景 完全平方公式的几何背景 专题 作图题 分析 1 此题只需将大正方形的边长表示为 a 小正方形的边长表示为 b 即可 2 此题只需将两个图形的面积表示出来写成等式即可 3 此题还可以拼成一个矩形来验证公式的成立 解答 解 1 2 根据两图形求得两图形的面积分别为 S1 a2 b2 S2 12 2a 2b a b a b a b 3 拼成的图形如下图所示 点评 本题考查了平方差公式及完全平方式的几何背景 考查的范围比较广 15 如图 在边长为 a 的正方形的一角是一个边长为 b 的正方形 请用这个图形验证公式 a2 b2 a b a b 考点 平方差公式的几何背景 专题 计算题 分析 利用正方形的面积减去小正方形的面积 即为所剩部分的面积 解答 解 由图可 知 大正方形的面积 小正方形的面积 剩余部分的面积 a2 b2 a b b a b a a b a b 即 a2 b2 a b a b 点评 此题主要考查了乘法的平方差公式 即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个 数的平方差 这个公式就叫做平方差公式 16 1 如图甲所示 可得阴影部分的面积是 a2 b2 写成多项式的形式 2 如图乙所示 若将阴影部分裁剪下来重新拼成一个长方形 它的长是 a b 宽是 a b 面积是 a b a b 写成两式乘积形式 3 比较图甲和图乙中阴影部分的面积 可得乘法公式 a b a b a2 b2 4 利用公式计算 2x y 2x y y2 4x2 考点 平方差公式的几何背景 专题 计算题 分析 1 利用正方形的面积公式就可求出 2 仔细观察图形就会知道长 宽由面积公式就可求出面积 3 建立等式就可得出 4 利用平方差公式就可方便简单的计算 解答 解 1 利用正方形的面积公式可知 阴影部分的面积 a2 b2 2 a b a b a b a b 3 a b a b a2 b2 等式两边交换位置也可 4 原式 10 0 2 10 0 2 102 0 22 100 0 04 99 96 原式 y 2x y 2x y 2 2x 2 y2 4x2 故答案是 1 a2 b2 2 a b a b a b a b 3 a b a b a2 b2 4 y2 4x2 点评 此题主要考查了平方差公式 即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平 方差 这个公式就叫做平方差公式 对于有图形的题同学们注意利用数形结合求解更形象 直观 17 乘法公式的探究及应用 1 如左图 可以求出阴影部分的面积是 a2 b2 写成两数平方差的形式 2 如右 图 若将阴影部分裁剪下来 重新拼成一个长方形 它的宽是 a b 长是 a b 面积是 a b a b 写成多项式乘法的形式 3 比较左 右两图的阴影部分面积 可以得到乘法公式 a b a b a2 b2 用式子 表达 4 运用你所得到的公式 计算下列各题 10 3 9 7 2m n p 2m n p 考点 平方差公式的几何背景 分析 1 利用大正方形面积减去小正方形面积即可求出 2 根据图形中长方形长与宽求出即可 3 结合 1 2 即可得出 a b a b a2 b2 4 利用平方差公式进行运算即可 注意符合 a b a b a2 b2 的形式才能运算 解 答 解 1 利用大正方形面积减去小正方形面积即可求出 a2 b2 2 它的宽是 a b 长是 a b 面积是 a b a b 3 根据题意得出 a b a b a2 b2 4 10 3 9 7 10 0 3 10 0 3 100 0 09 99 91 2m n p 2m n p 2m n p 2m n p 4m2 n p 2 4m2 n2 p2 2np 点评 此题主要考查了平方差公式的几何背景 利用图形面积得出公式是近几年中考中考 查重点 同学们应重点掌握 18 如图所示 有一位狡猾的老账主 把一块边长为 a 米 a 30 的正方形土地给赵老汉 种植 隔了一年 他对赵老汉说 我把你这块地的一边减少 5 米 另一边增加 5 米 继 续租给你 你也没有吃亏 你看如何 赵老汉一听 觉得好像没有吃亏 就答应了 你 觉得赵老汉有没有吃亏呢 请说明理由 考点 平方差公式的几何背景 专题 几何图形问题 分析 本题只要利用面积公式 再利用平方差公式计算就可知 解答 解 赵老汉吃亏了 因为他原来所租地的面积为 a2 平方米 而后经过割补 面积变为 a 5 a 5 a2 25 平方米 所以 他实际是少 25 平方米 因此 他吃亏了 点评 本题考查了平方差公式在实际生活中的运用 只有利用平方差公式计算后才能做出 正确的判断 19 如图 边长为 a 的大正方形中有一个边长为 b 的小正方形 1 通过观察 两图的阴影部分面积 可以得到的乘法公式为 a2 b2 a b a b 用式子表达 2 运用你所得到的公式 计算 102 98 不用公式计算不得分 考点 平方差公式的几何背景 专题 计算题 分析 1 图 1 阴影部分的面积 大正方形的面积 小正方形的面积 图 2 阴影部分的面积 根据矩形面积公式即可得出 根据阴影部分的面积相等可得等式 2 计算题直接利用平方差公式即可 解答 解 1 图 1 阴影部分的面积 a2 b2 图 2 阴影部分的面积 a b a b 则 a2 b2 a b a b 故答案为 a2 b2 a b a b 2 102 98 100 2 100 2 1002 22 10000 4 9996 点评 本题利用组合图形考查平方差公式 计算题较为简单 直接利用公式即可 做题时 认真观察图形 找到各部分的面积及两面积相等是解决本题的关键 20 如图阴影部分 是边长为 4cm 的正方形纸片 在它的中心剪去一个边长为 2 5cm 的正 方形小纸片得到的 请尝试用最简便方法作一个长方形使其面积等于图中阴影部分的面 积 考点 平方差公式的几何背景 专题 计算题 分析 如图 将阴影部分沿虚线剪开 以 4 2 5 6 4cm 为长 4 2 51 5cm 为宽 作出与阴 影部分面积相等的长方形 解答 解 如图 作长为 6 5cm 宽为 1 5cm 的长方形 理由 42 2 52 4 2 5 4 2 5 6 5 1 5 点评 本题考查了平方差公式的几何背景 关键是通过将面积合理的分割 解释平方差公 式 21 如图 边长为 a b 的两个正方形的中心重合 边保持平行 如果从大正方形中剪去小 正方形 剩下的图形可以分割成 4 个大小相等的等腰梯形 请你用 a b 表示出梯形的高和 面积 并由此说明 a2 b2 a b a b 的几何意义 考点 平方差公式的几何背景 分析 根据图形可得等腰梯形的高为 1 2 a b 根据大正方形的面积减去小正方形的面积 可作出说明 解答 解 梯形的高 1 2 a b 面积 1 4 a b a b a2 b2 a b a b 的几何意义是大正方形的面积减去小正方形的面积 点评 本题考查平方差公式的几何背景 属于比较简单的题目 解答本题的关键是正确的 求出等腰梯形的高 22 如图 边长为 a 的大正方形内有一个边长为 b 的小正方形 1 阴影部分面积是 a2 b2 2 小欣把阴影部分的两个四边形拼成如图 6 所示的长方形 则这个长方形的宽是 a b 面 积是 a b a b 3 由此可验证出的结论是 a b a b a2 b2 考点 平方差公式的几何背景 专题 计算题 分析 1 边长为 a 的正方形的面积减去 边长为 b 的正方形的面积即可 2 根据图形求出长方形的长和宽 根据面积公式求出即可 3 根据阴影部分的面积相等求出即可 解答 解 1 图中阴影部分的面积是 a2 b2 故答案为 a2 b2 2 由图象可知 这个长方形的宽是 a b 长方形的面积是 a b a b 故答案为 a b a b a b 3 根据阴影部分的面积相等 a b a b a2 b2 故答案为 a b a b a2 b2 点评 本题考查了平方差公式的应用 解此题的关键是 能根据面积公式求出各个部分的面积 题型较好 难度适中 是一道不错的题目 通过此 题能培养学生的观察能力 23 用四块长为 acm 宽为 bcm 的矩形材料 如图 1 拼成一个大矩形 如图 2 或大正方 形 如图 3 中间分别空出一个小矩形 A 和一个小正方形 B 1 求 如图 1 矩形材料的面积 用含 a b 的代数式表示 2 通过计算说明 A B 的面积哪一个比较大 3 根据 如图 4 利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式 考点 平方差公式的几何背景 专题 几何图形问题 分析 1 根据矩形的面积公式可 得出答案 2 分别求出矩形的长和宽 求出正方形的边长 从而计算出面积即可作出比较 3 求出新形成的矩形的长和宽 根据面积相等即可得出答案 解答 解 1 S 长 宽 ab 2 根据图形可得 矩形的长 2b a 宽 a 正方形的边长 a b 矩形的面积 2ab a2 正方形的面积 a2 2ab b2 正方形面积 矩形的面积 b2 矩形的面积大 3 根据图形可得 a2 b2 a b a b 点评 本题考查平方差公式的背景 难度不大 运用几何直观理解 解决平方差公式的推 导过程 通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释 24 1 比较左 右两图的阴影部分面积 可以得到乘法公式 a b a b a2 b2 用式 子