对磁场中双杆模型问题的解析

1 1 电磁感应中的双杆运动问题电磁感应中的双杆运动问题 江苏省特级教师 戴儒京 有关 电磁感应 问题 是物理的综合题 是高考的重点 热点和难点 往往为物理卷的压轴题 电磁感应中的 轨道 问题 较多见诸杂志 而电磁 感应中的 双杆运动 问题的专门研究文章 在物理教学研究类杂志还很咸见 兹举例说明如下 例例 1 2006 年高考重庆卷第年高考重庆卷第 21 题题 21 两根相距为 L 的足够长的金属直角导轨如题 21 图所示 放置 它们各有一边在同一水平内 另一边垂直于水平面 质量均为 m 的金属细杆 ab cd 与导轨垂直接触形成闭合回 路 杆与导轨之间的动摩擦因数均为 导轨电阻不计 回路总电阻为 2R 整个装置处于磁感应强度大小为 B 方向 竖直向上的匀强磁场中 当 ab 杆在平行于水平导轨的拉力 F 作用下以速度 V1沿导轨匀速运动时 cd 杆也正好以速度 V2向下匀速运动 重力加速度为 g 以下说法正确的是 A ab 杆所受拉力 F 的大小为 mg R VLB 2 1 22 B cd杆所受摩擦力为零 C 回路中的电流强度为 R VVBL 2 21 D 与 V1大小的关系为 1 22 2 VLB Rmg 解析解析 因 4 个选项提出的问题皆不同 要逐一选项判断 A 因为 ab 杆做匀速运动 所以受力平衡 有 其中 安 FfF mgf 所以 所以 F mg A 正确 BILF 安 R E I 2 1 BLVE R BLV I 2 1 R VLB 2 1 22 B 因为cd杆在竖直方向做匀速运动 受力平衡 所以cd杆受摩擦力大小为 mgf 或者 因为cd杆所受安培力作为对轨道的压力 所以cd杆受摩擦力大小为 总之 B 错误 R VLB f 2 1 22 C 因为只有 ab 杆产生动生电动势 cd杆运动不切割磁感线 所以回路中的电流强度 为 C 错误 R BLV I 2 1 2 2 D 根据 B 中和 得 所以 D 正确 mgf R VLB f 2 1 22 1 22 2 VLB Rmg 本题答案为 AD 点评 ab 杆和cd杆两杆在同一个金属直角导轨上都做匀速运动 因为 ab 杆切割磁感线 而cd杆不切割磁感线 所以感应电动势是其中一个杆产生的电动势 即 而不 1 BLVE 是 电流是 而不是 21 VVBLE R BLV I 2 1 R VVBL I 2 21 例例 2 2006 年高考广东卷第年高考广东卷第 20 题题 16 16 分 如图 11 所示 在磁感应强度大小为 B 方向垂直向上的匀强磁场中 有一上 下两层均与水平面平行的 U 型光滑金属导轨 在导轨面上各放一根完全相同的质量为 的匀质金属杆和 开始时两根m 1 A 2 A 金属杆位于同一竖起面内且杆与轨道垂 直 设两导轨面相距为 H 导轨宽为 L 导轨足够长且电阻不计 金属杆单 位长度的电阻为 r 现有一质量为的 2 m 不带电小球以水平向右的速度撞击 0 v 杆的中点 撞击后小球反弹落到下 1 A 层面上的 C 点 C 点与杆初始位置 2 A 相距为 S 求 1 回路内感应电流的最大值 2 整个运动过程中感应电流最多产生了多少热量 3 当杆与杆的速度比为时 受到的安培力大小 2 A 1 A3 1 2 A 解析 设撞击后小球反弹的速度为 金属杆的速度为 根据动量守恒定律 1 v 1 A 01 v 0110 22 mvv m v m 根据平抛运动的分解 有 Stv1 2 2 1 gtH 由以上 2 式解得 1 v H g S 2 代入 得 2 2 1 001 H g Svv 回路内感应电动势的最大值为 电阻为 所以回路内感应电流的最 01 BLvEm LrR2 大值为 m I r H g svB 4 2 0 2 因为在安培力的作用下 金属杆做减速运动 金属杆做加速运动 当两杆速度 1 A 2 A 大小相等时 回路内感应电流为 0 根据能量守恒定律 22 01 2 2 1 2 1 mvQmv 3 3 其中是两杆速度大小相等时的速度 根据动量守恒定律 所以 vmvmv2 01 01 2 1 vv 代入 式得 Q m 16 1 2 0 2 H g sv 3 设金属杆 速度大小分别为 根据动量守恒定律 1 A 2 A 1 v 2 v 又 所以 2101 mvmvmv 1 3 2 1 v v 011 4 3 vv 012 4 1 vv 金属杆 速度方向都向右 根据右手定则判断 产生的感应电动势在回路中方 1 A 2 A 1 A 2 A 向相反 所以感应电动势为 电流为 安培力为 所以 21 vvBLE Lr E I 2 BILF 受到的安培力大小为 F 当然受到的安培力大小也如此 只不 2 A r LB 8 2 2 0 H g sv 1 A 过方向相反 答案 16 1 2 Q 3 F r H g svB 4 2 0 m 16 1 2 0 2 H g sv r LB 8 2 2 0 H g sv 点评 金属杆 两杆在同一个金属 U 形导轨上都做变速运动 运动方向相同 都 1 A 2 A 向右 同一时刻两杆都切割磁感线产生感应电动势 两个感应电动势在空间中的方向相同 都向外 但两个感应电动势在回路中的方向相反 所以总电动势是这两个电动势之差 即 电流是 方向为金属杆中感应电流的方向 因 21 vvBLE R vvBL I 21 1 A 为比产生的感应电动势大 安培力是 方向都和速度方向相反 1 A 2 A R vvLB F 21 22 都向左 例例 3 2004 年高考全国年高考全国 I 卷第卷第 24 题题 24 18 分 图中 a1b1c1d1和 a2b2c2d2为在同一竖直平面内的金属导轨 处在磁感强度 B 的 匀强磁场中 磁场方向垂直导轨所在平面 纸面 向里 导轨的 a1b1段与 a2b2段是竖直的 距离为 l1 c1d1段与 c2d2段也是竖直的 距离为 l2 x1y1与 x2y2为两根用不可伸长的绝缘轻 线相连的金属细杆 质量分别为 m1 m2 它们都垂直于导轨并与导轨保持光滑接触 两杆 与导轨构成的回路的总电阻为 R F 为作用于金属杆 x1y1上竖直向上的恒力 已知两杆运 动到图示位置时 已匀速向上运动 求此时作用于两杆的重力的功率的大小和回路电阻上 的热功率 4 4 解析 1 设 x1y1与 x2y2匀速向上运动的速度为 根据右手定则 x1y1与 x2y2切割磁v 感线产生的感应电动势都向左 在回路中的方向相反 大小分别为和 vBlE 11 vBlE 22 因为 所以总电动势为 方向与 x2y2产生的感应电动势相同 感应 12 ll vllBE 12 电流为 方向为顺时针 如下图 设 x1y1与 x2y2受到的安培力分别为 R vllB R E I 12 根据左手定则判断安培力的方向为向上 向下 大小为 1 F 2 F 1 F 2 F 1 F 1 BIl 受力图如下图 R vlllB 112 2 2 F 2 BIl R vlllB 212 2 根据力的平衡 有 TgmFF 11 T 22 Fgm 联立以上各式 解得 R 所以作用于两杆的重力的功率的大小为 P v F m1 m2 g B2 l2 l1 2 R m1 m2 g F m1 m2 g B2 l2 l1 2 5 5 2 回路电阻上的热功率 将以上式代入得 R vllB R E p 2 12 22 v p 2R F m1 m2 g B l2 l1 答案 P R m1 m2 g F m1 m2 g B2 l2 l1 2 p 2R F m1 m2 g B l2 l1 点评点评 两杆切割磁感线产生的感应电动势在回路中的方向相反 所以总电动势为 方向与感应电动势大的相同 感应电流为 方向为vllBE 12 R vllB R E I 12 总电动势的方向 两杆受到的安培力分别为 根据左手定则判断安培力的方向 大 1 F 2 F 小为 1 F 1 BIl R vlllB 112 2 2 F 2 BIl R vlllB 212 2 例例 4 2004 年高考广东卷第年高考广东卷第 15 题题 15 15 分 如图 在水平面上有 两 条平行导电导轨 MN PQ 导 轨间距离为 匀强磁场垂l 直 于导轨所在的平面 纸面 向 里 磁感应强度的大小为 B 两根金属杆 1 2 摆在导轨上 与导轨垂直 它们的质量和电阻分别为和 12 mm 两杆与导轨接触良好 与导轨间的动摩擦因数为 已知 杆 1 被外力拖动 以 1 R 2 R 恒定的速度沿导轨运动 达到稳定状态时 杆 2 也以恒定速度沿导轨运动 导轨的电阻 0 v 可忽略 求此时杆 2 克服摩擦力做功的功率 解析 根据右手定则 杆 1 产生的感应电流方向向上 则杆 2 中电流方向向下 杆 2 受的安培力向右 速度向右 设为 由于两杆运动时产生的感应电动势在回路中的方向v 相反 所以 总感应电动势为 0 vvBlE 感应电流 21 RR I M 2 1 N 0 v P Q 6 6 杆 2 作匀速运动 它受到的安培力等于它受到的摩擦力 gmBlI 2 联立以上 3 式解得 v 21 22 2 0 RR lB gm v 导体杆 2 克服摩擦力做功的功率 gvmP 2 解得 21 22 2 02 RR lB gm vgmP 点评 本例中杆 2 中由于杆 1 产生的感应电流流过而受安培力 才产生运动从而产生感 应电动势 因为杆 2 产生的感应电动势与杆 1 产生的感应电动势在回路中的方向相反 所 以总感应电动势为 感应电流为 安培力为 0 vvBlE 21 RR I F 两杆受的安培力大小相等 方向相反 对杆 1 是阻力 对杆 2 是 21 2 0 2 RR lvvB BIl 动力 如维持匀速运动 杆 2 的速度必小于杆 1 的速度 v 0 v 例 5 2010 年南京市三模第 15 题 如图所示 两根足够长的平行导轨由倾斜和水平两部分连接组成 导轨间距 倾斜mL1 角 水平部分处于磁感应强度的匀强磁场中 磁场方向竖直向上 磁场左 0 45 TB1 边界 MN 与导轨垂直 金属棒 ab 质量 电阻 金属棒 cd 质量kgm2 0 1 1 1 R 电阻 导轨电阻不计 两棒与导轨间动摩擦因数 开始时 kgm2 0 2 3 2 R2 0 棒 ab 放在斜导轨上 与水平导轨高度差 棒 cd 放在水平导轨上 距 MN 距离为 mh1 0 s 两棒均与导轨垂直 现将 ab 棒由静止释放 取 求 2 10smg 1 棒 ab 运动到 MN 处的速度大小 2 棒 cd 运动的最大加速度 3 若导轨水平部分光滑 要使两棒不相碰 棒 cd 距 MN 的最小距离 7 7 解 1 根据动能定理 对 ab 棒有 2 01 0 0 11 2 1 45sin 45cosvm h gmghm 解得 smv 4 0 2 棒 ab 运动到 MN 处 棒 cd 运动的加速度最大 所以 0 BLvEm 21 RR E I BILF 21 0 22 RR vLB F NN1 31 411 22 amgmF 22 代入数据 解得 2 3smam 3 若要不相碰 两杆最终速度相等 设为 因两棒都是在大小相等的安培力作用下 v 所以两棒的加速度大小任何时刻都相等 所以 ab 棒速度的减小量等于 cd 棒速度的增加量 即 所以 速度的变化为 vvv 00 2 1 vv 0 2 1 v 设某时刻 ab 棒速度为 cd 棒速度为 则该时刻回路的感应电动势为 1 v 2 v 电流为 安培力为 加速 21 vvBLE 21 21 vv RR BL I 21 21 22 vv RR LB F 度为 对短时间 速度 4 5 31 2 0 11 212121 21 22 vvvvvv RRm LB a t 的变化为 当速度变化为时 tvvtav 4 5 21 t 0 2 1 v 因为这就是在这段时间内 ab 棒壁 cd 棒多运动的位移 所以 021 stvv mmvs6 14 10 4 2 1 5 4 00 归纳总结 归纳总结 1 电磁感应中 轨道 中的 双杆运动 问题 或者由于两杆的长度不同 如例 3 或 8 8 者由于两杆的速度不同 如例 2 例 4 两杆产生的感