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一 函数展开为幂级数 二 函数展开为幂级数的应用举例 第四节函数展开为幂级数 如何将函数表示为幂级数 怎么做 一 函数展开为幂级数 1 泰勒级数 任意一个函数能否在某一个区间内表示为 某一个幂级数的形式呢 即是否有 定理 由定理的条件可知 且其和函数 于是有 由数学归纳法 得 定理和定义给我们提供了什么信息 定义 定理和定义告诉我们 处有任意阶导数 则它 就有一个相应的泰勒级数存在 但此泰勒级数不一定收敛 即算收敛 其和函数也不一定等于 问题 回忆泰勒中值定理的构建过程 定理 证 余下的工作由学生自己完成 推论 证 提示 马克劳林级数 就可写出它的泰勒级数 但它的泰勒级数不一 定收敛 只有当拉格朗日余项 时 泰勒级数才收敛于 即使收敛 其和函数 2 函数展开为幂级数 该方法是先求出函数 写出它的泰勒级数 然后 判断泰勒公式中的 数的收敛区间 直接展开法 解 解 间接展开法 常用函数的幂级数展开式 解 解 将函数 展开成x的幂级数 因为 把x换成 得 解 等比级数的和 解 将函数 展开成x的幂级数 从0到x积分 得 定义且连续 区间为 利用此题可得 上式右端的幂级数在x 1收敛 所以展开式对x 1也是成立的 于是收敛 解 将 展成 的幂级数 解 将 展成x 1的幂级数 解 内容小结 1 函数的幂级数展开法 1 直接展开法 利用泰勒公式 2 间接展开法 利用幂级数的性质及已知展开 2 常用函数的幂级数展开式 式的函数 思考与练习 1 函数 处 有泰勒级数 与 能展成泰勒级 数 有何不同 提示 后者必需证明 前者无此要求 2 如何求 的幂级数 提示 备用题1 将下列函数展开成x的幂级数 解 x 1时 此级数条件收敛 因此 2 将 在x 0处展为幂级数
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