数学优生辅导试题（十一）

一 典例精析 例 1 已知二次函数 y x2 m 3 x m 的图象是抛物线 如图 1 试求 m 为何值时 抛物线与 x 轴的两个交点间的距离是 3 2 当 m 为何值时 方程 x2 m 3 x m 0 的两个根均为负数 3 设抛物线的顶点为 M 与 x 轴的交点 P Q 求当 PQ 最短时 MPQ 的面积 例 2 某公司生产的 A 种产品 它的成本是 2 元 售价是 3 元 年销售量为 10 万件 为了 获得更好的效益 公司准备拿出一定的资金做广告 根据经验 每年投入的广告费 是 x 10 万元 时 产品的年销售量将是原销售量的 y 倍 且 y 是 x 的二次函数 它们的关系如下表 x 10 万元 012 y11 51 8 1 求 y 与 x 的函数表达式 2 如果把利润看作是销售总额减去成本和广告费 试写出年利润 S 10 万元 与广 告费 x 10 万元 函数表达式 3 如果投入的广告费为 10 万元 30 万元 问广告费在什么范围内 公司获得的年 利润随广告费的增大而增大 例 3 如图 在一块三角形区域 ABC 中 C 90 边 AC 8 BC 6 现要在 ABC 内 建造一个矩形水池 DEFG 如图的设计方案是使 DE 在 AB 上 求 ABC 中 AB 边上的高 h 设 DG x 当 x 取何值时 水池 DEFG 的面积最大 实际施工时 发现在 AB 上距 B 点 1 85 的 M 处有一棵大树 问 这棵大树是否位 于最大矩形水池的边上 如果在 为保护大树 请设计出另外的方案 使三角形区 域中欲建的最大矩形水池能避开大树 AB C DE F G 例 4 如图 1 AB 是 O 的直径 CD 是弦 AE CD 垂足为 E BF CD 垂足为 F EC 和 DF 相等吗 说明理由 如图 2 若直线 EF 平移到与直径 AB 相交于点 P P 不与 A B 重合 在其他条件不 变的情况下 原结论是否改变 为什么 如图 3 当 EF AB 时 情况又怎样 如图 4 CD 为弦 EC CD FD CD EC FD 分别交直径 AB 于 E F 两点 你能说明 AE 和 BF 为什么相等吗 二 自我挑战 1 某医药研究所进行某一治疗病毒新药的开发 经过大量的服用试验后知 成年人按规定 的剂量服用后 每毫升血液中含药量 y 微克 1 微克 10 3毫克 随时间 x 小时的变化 规律与某一个二次函数 y ax2 bx c a 0 相吻合 并测得服用时 即时间为 0 时 每毫升血液中含药量为 0 微克 服用后 2 小时每毫升血液中含药量为 6 微克 服用后 3 小时 每毫升血液中含药量为 7 5 微克 1 试求出含药量 y 微克 与服药时间 x 小时 的函数表达式 并画出 0 x 8 内的 函数图象的示意图 2 求服药后几小时 才能使每毫升血液中含药量最大 并求出血液中的最大含药量 3 结合图象说明一次服药后的有效时间是多少小时 有效时间为血液中含药量不为 0 的总时间 2 如图 已知二次函数的图象经过点 A 和点 B 2 4yaxxc 1 求该二次函数的表达式 2 写出该抛物线的对称轴及顶点坐标 3 点P m m 与点Q 均在该函数图象上 其中m 0 且这两点关于抛物线的对称轴对 称 求m 的值及点Q 到 x 轴的距离 x y O3 9 1 1 A A B B 3 已知 AB 为 O 的直径 CD 为弦 CE CD 交 AB 于 E DF CD 交 AB 于 F 求证 AE BF 4 已知 AB 为 O 的直径 CD 为弦 AE CD 于 E BF CD