数学直线方程和圆的方程重点知识

第三章第三章 直线与方程直线与方程 3 1 直线的倾斜角和斜率直线的倾斜角和斜率 3 1 1 倾斜角和斜率倾斜角和斜率 1 直线的倾斜角的概念 当直线 l 与 x 轴相交时 取 x 轴作为基准 x 轴正向 与直线 l 向上方向之间所成的角 叫做直线 l 的倾斜角 特别地 当直线 l 与 x 轴平行或重合时 规定 0 2 倾斜角 的取值范围 0 180 当直线 l 与 x 轴垂直时 90 3 直线的斜率 一条直线的倾斜角 90 的正切值叫做这条直线的斜率 斜率常用 小写字母 k 表示 也就是 k tan 当直线 l 与 x 轴平行或重合时 0 k tan0 0 当直线 l 与 x 轴垂直时 90 k 不存在 由此可知 一条直线 l 的倾斜角 一定存在 但是斜率 k 不一定存在 4 直线的斜率公式 给定两点 P P1 1 x1 y1 P P2 2 x2 y2 x1 x2 用两点的坐标来表示直线 P P1 1P P2 2的 斜率 斜率公式斜率公式 k k y y2 2 y y1 1 x x2 2 x x1 1 3 1 2 两条直线的平行与垂直两条直线的平行与垂直 1 两条直线都有斜率而且不重合 如果它们平行 那么它们的斜率相等 反之 如果它们的斜率相等 那么它们平行 即 注意 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的 缺少这上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的 缺少这 个前提 结论并不成立 即如果个前提 结论并不成立 即如果 k1 k2 k1 k2 那么一定有那么一定有 L1 L2L1 L2 2 两条直线都有斜率 如果它们互相垂直 那么它们的斜率互为负倒数 反之 如果它们的斜率互为负倒数 那么它们互相垂直 即 1 b y a x 3 23 2 直线的方程直线的方程 1 直线的点斜式点斜式方程 直线 经过点 且斜率为 l 000 yxPk 00 xxkyy 2 直线的斜截式斜截式方程 已知直线 的斜率为 且与轴的交点为 lky 0 b bkxy 3 直线的两点式方程 已知两点 其中 222211 yxPxxP 2121 yyxx 21 2 21 2 y y y xx xxy 4 直线的截距式方程 已知直线 与 轴的交点为 A 与轴的交点为 Blx 0 ay 其中 0 b0 0 ba 5 直线的一般式方程 关于的二元一次方程 A B 不yx 0 CByAx 同时为 0 掌握各种直线方程之间的互化 3 3 直线的交点坐标与距离公式直线的交点坐标与距离公式 3 3 1 两直线的交点坐标两直线的交点坐标 1 给出例题 两直线交点坐标 L1 3x 4y 2 0 L1 2x y 2 0 解 解方程组 3420 2220 xy xy 得 x 2 y 2 所以 L1 与 L2 的交点坐标为 M 2 2 3 3 2 两点间距离两点间距离 22 122221 PPxxyy 两点间的距离公式 3 3 3 点到直线的距离公式点到直线的距离公式 1 点到直线距离公式 点到直线的距离为 00 yxP0 CByAxl 22 00 BA CByAx d 2 2 两平行线间的距离公式 已知两条平行线直线 和的一般式方程为 1 l 2 l 1 l0 1 CByAx 则与的距离为 2 l0 2 CByAx 1 l 2 l 22 21 BA CC d 圆与方程圆与方程 4 1 1 圆的标准方程圆的标准方程 1 圆的标准方程 222 xaybr 圆心为 A a b 半径为 r 的圆的方程 2 点与圆的关系的判断方法 00 M xy 222 xaybr 1 点在圆外 2 点在圆 22 00 xayb 2 r 22 00 xayb 2 r 上 3 点在圆内 22 00 xayb 2 r 4 1 2 圆的一般方程圆的一般方程 1 圆的一般方程 0 22 FEyDxyx 2 圆的一般方程的特点 1 x2和 y2的系数相同 不等于 0 没有 xy 这样的二次项 2 圆的一般方程中有三个特定的系数 D E F 因之只要求出这三个系 数 圆的方程就确定了 3 与圆的标准方程相比较 它是一种特殊的二元二次方程 代数特征 明显 圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小 几何特征较明显 4 2 1 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 1 用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系 设直线 圆 圆的半径为 圆l0 cbyaxC0 22 FEyDxyxr 心到直线的距离为 则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几 2 2 ED d 点 1 当时 直线 与圆相离 2 当时 直线 与圆相切 rd lCrd lC 3 当时 直线 与圆相交 rd lC 4 2 2 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系 两圆的位置关系 设两圆的连心线长为 则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点 l 1 当时 圆与圆相离 2 当时 圆与圆 21 rrl 1 C 2 C 21 rrl 1 C 外切 2 C 3 当时 圆与圆相交 21 rr 21 rrl 1 C 2 C 4 当时 圆与圆内切 5 当时 圆与圆 21 rrl 1 C 2 C 21 rrl 1 C 内含 2 C 4 2 3 直线与圆的方程的应用直线与圆的方程的应用 1 利用平面直角坐标系解决直线与圆的位