必修1知识点(集合函数)

必修 1 1 必修一知识点必修一知识点 一 集合部分一 集合部分 1 2 3 4 12n xAxBABAB AnA 元素与集合的关系 属于 和不属于 集合中元素的特性 确定性 互异性 无序性 集合与元素 集合的分类 按集合中元素的个数多少分为 有限集 无限集 空集 集合的表示方法 列举法 描述法 自然语言描述 特征性质描述 图示法 区间法 子集 若 则 即是的子集 若集合中有个元素 则集合的子集有个 注 关系 集合 集合与集合 00 2 1 2 3 4 n AA A B CABBCAC ABABxBxAAB ABABAB ABx xAxB AAA AABBA AB 真子集有个 任何一个集合是它本身的子集 即 对于集合如果 且那么 空集是任何集合的 真 子集 真子集 若且 即至少存在但 则是的真子集 集合相等 且 定义 且 交集 性质 运算 U UUUUUUU A ABBABABA ABx xAxB AAA AA ABBA ABA ABBABABB Card ABCard ACard BCard AB C Ax xUxAA C AAC AAUCC AA CABC AC B 定义 或 并集 性质 定义 且 补集性质 UUU CABC AC B 二 函数部分二 函数部分 1 映射定义 设 A B 是两个非空集合 如果按某一个确定的对应关系 使对于集合 A 中的任 何元素 x 在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应 那么就称对应 BAf 为从集合 A 到集合 B 的一个映射 x 叫做原象 y 叫做象 注 A 中的每一个元素在 B 中必有象 且象可相同 B 中的每一个元素在 A 中未必都有原象 2 函数 设 A B 是两个非空数集 如果按某一个确定的对应关系 使对于集合 A 中的任何数 x 在集合 B 中都有唯一确定的数 y 与之对应 那么就称对应 BAf 为从数集 A 到数集 B 的函数 x 叫做自变量 y 叫做变量 3 函数的三要素 定义域 值域 对应法则 4 区间概念 定 义名 称符 号数 轴 表 示 x axb 闭区间 a b x a x b 开区间 a b x ax b 左闭右开区间 a b x a xb 左开右闭区间 a b 5 解析式确定定义域常见形式 若 f x 是分式 则函数的定义域是使分母不等于 0 的实数集 若 f x 是二次根式 则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于 0 的实数集合 若 f x 是由几个部分的数学式子构成的 则函数的定义域是使各部分式子都有意义的数交集 由定义域 求定义域 由的定义域 求定义域 xf xgf xgf xf 例 定义域 1 3 求定义域 例 定义域 1 3 求定义域 xf 1 xf 1 xf xf 解 解 31 x 311 x31 x 412 x 所以定义域为 0 2 所以定义域为 2 4 20 x 1 xf42 x xf 6 求值域常用方法 例题见后 本部分方法多且灵活 常用方法有 1 换元法 2 配方 法 3 判别式法 4 几何法 5 不等式法 6 单调性法 7 直接法 7 求解析式常用方法 1 待定系数法 待定系数法 已知函数的形式如 xf 是一次函数 二次函数 例 已知二次函数 f x 满足 1 1f 1 5f 图象过原点 求 f x 2 代入法代入法 已知 xf 求 xgf 由简单函数求复合函数 例 2 43f xxx 求 1 f x 3 配凑法与换元法配凑法与换元法 已知 xgf 求 xf 由复合函数求简单函数 例 1 已知 2 1 2f xxx 求 f x 2 已知 1 2fxxx 求 1 f x 4 构造方程法构造方程法 已知与 或与之间的关系式 求的解析 xf xf xf 1 x f xf 式 可通过 互换 关系构造方程的方法 消去或 解出 xf 1 x f xf 例 已知 f x 满足 1 2 3f xfx x 求 f x 8 函数的表示方法 解析法即代数式 列表法 图象法 9 函数的单调性定义 在区间上 若 且 则区间上单调递增 ba bxxa 21 21 xfxf xf ba 在区间上 若 且 则区间上单调递减 ba bxxa 21 21 xfxf xf ba 判断函数在区间上单调性方法一 必修 1 2 定义法 步骤 1 区间内任取两自变量 2 作差bxxa 21 21 xfxf 3 变形 变成连乘积或完全平方 或平方和等形式注 2222 4 3 2 b b ababa 4 定正负号 确定增减 函数单调性的常用结论 1 若 f x g x 均为某区间上的增 减 函数 则 f xg x 在这个区间上也为增 减 函数 2 若 f x 为增 减 函数 则 f x 为减 增 函数 3 若 f x 与 g x 的单调性相同 则 yf g x 是增函数 若 f x 与 g x 的单调性不同 则 yf g x 是减函数 4 奇函数在对称区间上的单调性相同 偶函数在对称区间上的单调性相反 方法二 导数 具体方法步骤见导数部分 10 函数的奇偶性 函数函数的定义域关于的定义域关于O对称对称 否则为非奇非偶函数 xf 若 则为偶函数 图象关于 y 轴对称 xfxf xf 如 xyxy 2 xycos 若 则为奇函数 图象关于 O 轴对称 xfxf xf 如 双勾曲线 3 xy x y 1 x xy 1 xyxytan sin 结论 如果一个奇函数在处有定义 则 如果一个函数既是奇函数又0 x 0 0f yf x 是偶函数 则 反之不成立 0f x 11 函数的周期性 在函数的定义域上恒有 则叫做周期函数 T 为周期 xf 0 TxfTxf xf T 的最小正值叫做的最小正周期 简称周期 xf 12 函数图象画法 1 列表 描点 连线 2 变换法 平移变换 左移个单位 右移 个单位 axfxf 0 a xfa0 a xfa 上移个单位 下移 个单位axfxf 0 a xfa0 a xfa 伸缩变换 见 4 4 知识点部分 对称变换 先画图象 再把 x 轴下方图象以 x 为对称轴作对称 xfxf xf 先画 y 轴以右部分的图象 再以 y 为对称轴做对称 图为偶函数 xfxf 关于 y 轴对称 13 指对数运算 n m nm aa p p a a 1 rr r rs s rsrsr baabaaaaa 1log a a 01log a MnM a n a loglog b n m b a m an loglog NMMN aaa logloglog NM N M aaa logloglog Ma M a log 换底公式 a b b c c a log log log 14 指对幂函数图象与性质 表表 1 指数函数 0 1 x yaaa 对数数函数 log0 1 a yx aa 定 义 域 xR 0 x 值 域 0 y yR 图 象 过定点 0 1 过定点 1 0 减函数增函数减函数增函数 0 1 0 0 1 xy xy 时 时 0 0 1 0 1 xy xy 时 时 0 1 0 1 0 xy xy 时 时 0 1 0 1 0 xy xy 时 时 性 质 ab 必修 1 3 ab ab ab 表表 2幂函数 yxR p q 0 01 1 1 p q 为奇数 为奇数 奇函 数 p q 为奇数 为偶数 p q 为偶数 为奇数 偶函 数 第一象限 性质 减函数增函数 过定 点 01 三 函数应用部分三 函数应用部分 零点 对于函数 我们把使的实数 x 叫做函数的零点 xfy 0 xf xfy 定理 如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线 并且有 xfy ba 0 bfaf 那么在区间内有零点 即存在 使得 这个 c 也是方程 xfy ba c ba 0 cf 的根 反之不成立 0 xf 零点与根的关系 方程有实数根函数有零点函数的图象与 x 轴有交点0 xf xfy xfy 值域常见方法 一 直接法一 直接法 例 1 已知函数 11 2 xy 2 1 0 1 x 求函数的值域 解 因为 2 1 0 1 x 而 331 ff 020 ff 11 f 所以 3 0 1 y 注意 求函数的值域时 不能忽视定义域 如果该例的定义域为 Rx 则函数的值域为 1 yy 请体会两者的区别 例 2 求函数 11 1yxxx 的值域 2 二 图象法 二 图象法 如果可能做出函数的图象 可根据图象直观地得出函数的值域 求某些分段函 数的值域常用此方法 例 1 求函数 31yxx 的值域 34 3122 14 x xx x y 由图象可知函数的值域为 4 4 三 配方法 三 配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时 可以利用配方法求函 数值域 例 1 求函数 2 2yxx 的值域 解 由 2 20 xx 可知函数的定义域为 x 1 2 此时 22 199 2 0 244 xxx 2 2xx 3 0 2 函数的值域是 3 0 2 四 反解法 四 反解法 形如 0 a bax dcx y 的函数的值域 可使用反解法 这类型的函数值域也 可使用 分离常数法 求解 当然代数式中含三角 平方类的亦可借助三角平方的有界性反解 例 1 求函数 2 1 x x y 的值域 1 1 21 yy y y xx原函数值域为观察得解出 必修 1 4 例 2 函数的值域是 解 由得 则 解得 即 五 换元法 五 换元法 带有根式 高次等式子常用 运用代数或三角代换 将所给函数转化成值域容 易确定的另一个函数 从而求得原函数的值域 例 1 求函数 xxy 12 的值域 解 令 xt 1 则 2 1tx 0 t 2121 2 2 ttty 当 0 t 时 10201 2 max t 所以值域为 1 例 2 求函数 21 45 125 22 xxxxy 的值域 解 令 4 9 2 5 45 2 2 xxxt 则 4 9 t 54218218 2 2 ttttty 当 4 9 t 时 16 1 854 4 9 2 min y 值域为 16 1 8 yy 六 利用单调性法六 利用单调性法 例 1 求函数 11yxx 的值域 解 2 11 y xx 1x 1 1xx 都是增函数 故 11yxx 是减函 数 因此当 1x 时 max 2y 又 0y 0 2y 例 2 求函数 x xy 1 在区间 0 x 上的值域 解 任取 0 21 xx 且 21 xx 则 21 2121 21 1 xx xxxx xfxf 因为 21 0 xx 所以 0 0 2121 xxxx 当 21 1xx 时 01 21 xx 则 21 xfxf 当 10 21 xx 时 01 21 xx 则 21 xfxf 而当 1 x 时 2 min y 于是 函数 x xy 1 在区间 0 x 上的值域为 2 七 利用函数最值 七 利用函数最值 对闭区间的连续函数 利用求函数最大值 最小值的办法求值域 例 1 当时 函数的值域是 A B C D 解 函数在区间 0 1 上是减函数 在区间上是增函数 则在区间上 当时 当 x 1 时 在区间 1 3 上 当 x