(甘志国)数列求和的七种基本方法

数列求和的七种基本方法数列求和的七种基本方法 甘志国部分内容 已发表于 数理天地 高中 2014 11 14 15 数列求和是数列问题中的基本题型 但具有复杂多变 综合性强 解法灵活等特点 本文将通过例题 这些例题涵盖了 2014 年高考卷中的数列求和大题 简单介绍数列求和的七 种基本方法 1 运用公式法运用公式法 很多数列的前项和的求法 就是套等差 等比数列的公式 因此以下常用公n n S n S 式应当熟记 2 21 23 1 123 1 2 1 35 21 122221 11111 1 22222 nn nn nn n nn 还要记住一些正整数的幂和公式 223333 2222 1 4 1 321 12 1 6 1 321 nnn nnnn 例例 1 已知数列的前项和 求数列的前项和 n an 2 32nnSn n an n T 解解 由 可得 所以 2 32nnSn nan233 160 nan 1 当时 16 n n T 2 32nnSn 2 当时 17 n 51232 2 2 16 1616 18171621 21 nn SS SSS aaaaaa aaaT n n n nn 所以 2 2 32 1 2 16 32512 17 n nnn T nnnn N 且 例例 2 求 1 2 3 1 21 nnnnSn 解解 设 本题即求数列的前项和 2 1 1 knkknkak k an 2 1 6 1 12 1 6 1 1 1 2 1 321 1 321 2222 nnn nnnnnn nnnSn 高考题高考题 1 2014 年高考浙江卷文科第 19 题 部分 求数列的前项和 21n n n S 答案 2 n Sn 高考题高考题 2 2014 年高考四川卷理科第 19 题 部分 求数列的前项和 24n n n S 答案 2 3 n Snn 高考题高考题 3 2014 年高考福建卷文科第 17 题 在等比数列中 n a 25 3 81aa 1 求 n a 2 设 求数列的前项和 3 log nn ba n bn n S 答案 1 2 1 3n n a 2 2 n nn S 高考题高考题 4 2014 年高考重庆卷文科第 16 题 已知是首项为 1 公差为 2 的等差数 n a 列 表示的前项和 n S n an 1 求及 n a n S 2 设是首项为 2 的等比数列 公比满足 求的通 n bq 2 44 1 0qaqS n b 项公式及其前项和 n n T 答案 1 2 2 21 nn anSn 21 2 2 41 3 nn nn bT 2 倒序相加法倒序相加法 事实上 等差数列的前项和的公式推导方法就是倒序相加法 n n S 例例 3 求正整数与之间的分母为 3 的所有既约分数的和 m n mn S 解解 显然 这些既约分数为 3 1 3 2 3 4 3 4 3 2 3 1 nnnmmm 有 3 1 3 2 3 4 3 4 3 2 3 1 nnnmmmS 也有 3 1 3 2 3 4 3 4 3 2 3 1 mmmnnnS 所以 2222 2 2 2mnSmnmnnmS 例例 4 设 求和 4 42 x x f x 1232001 2002200220022002 ffff 解解 可先证得 由此结论用倒序相加法可求得答案为 1 1f xfx 2001 2 3 裂项相消法裂项相消法 例例 5 若是各项均不为 0 的等差数列 求证 n a 1113221 111 nnn aa n aaaaaa 证明证明 设等差数列的公差为 若 要证结论显然成立 若 得 n ad0d 0 d 11 11 11 nnnn aadaa 111111 13221 13221 1111 11 11 11 1 111 nnn nn nn aa n aa nd daad aaaaaad aaaaaa 例例 8 证明且 2222 1111 2 123 n n N 2 n 证明证明 2222 1 3 1 2 1 1 1 n 111 1 1 22 3 1 111111 1 12231 11 12 1 nn nn n 高考题高考题 5 2014 年高考全国大纲卷理科第 18 题 等差数列的前项和为 已 n an n S 知 为整数 且 1 10a 2 a 4n SS 1 求的通项公式 n a 2 设 求数列的前项和 1 1 n nn b a a n bn n T 答案 1 2 133 n an 10 103 n n S n 高考题高考题 6 2014 年高考广东卷文科第 19 题 设各项均为正数的数列 n a的前n项和为 n S 且 n S满足 NnnnSnnS nn 033 222 1 求 1 a的值 2 求数列 n a的通项公式 3 证明 对一切正整数n 有 3 1 1 1 1 1 1 1 2211 nn aaaaaa 答案 1 2 3 当时 可得欲证成立 当时 1 2a 2 n an 1n 2n 再用裂项相消法可得欲 111111 1 2 21 21 21 2 2121 nn a annnnnn 证 高考题高考题 7 2014 年高考山东卷理科第 19 题 已知等差数列的公差为 2 前项和 n an 为 且 成等比数列 n S 1 S 2 S 4 S 1 求数列的通项公式 n a 2 令 求数列的前项和 n b 4 1 1 1 nn n aa n n bn n T 答案 1 21 n an 22 21 2 21 n n n n T n n n 为奇数 为偶数 4 分组求和法分组求和法 例例 9 求 1 111111 1111 22424 2 n n S 解解 设 得 1 111 1 24 2 n n a 1 1 2 2 n n a 所以本题即求数列的前项和 1 1 2 2 n n 1 1 1111 21222 242 2 n nn n Snnan 例例 10 设数列的前项和满足 又 求数列 n an n S 2 2 1 n n a S n n n Sb 1 的前项和 n bn n T 解解 在中 令可求得 2 2 1 n n a S1n 1 1 a 还可得 22 11 4 1 4 1 nnnn SaSa 相减 得 2 0 2 224 1 11 1 22 11 nn nnnn nnnnn aa aaaa aaaaa 所以是首项为 1 公差为 2 的等差数列 得 n a 12 nan 所以 22 2 1 2 1 nbn a S n n n n 当为偶数时 n 2 1 12 1173 1 43 21 222222 nn nnnTn 当为奇数时 n 2 1 2 1 2 1 nn n nn bTT nnn 用以上结论 总之 2 1 1 nn T n n 高考题高考题 8 2014 年高考北京卷文科第 15 题 已知是等差数列 满足 n a 1 3a 数列满足 且是等比数列 4 12a n b 1 4b 4 20b nn ba 1 求数列和的通项公式 n a n b 2 求数列的前项和 n bn 答案 1 2 1 3 32n nn an bn 3 1 21 2 n n n 高考题高考题 9 2014 年高考山东卷文科第 19 题 在等差数列中 已知公差 n a2d 是与的等比中项 2 a 1 a 4 a 1 求数列的通项公式 n a 2 设 记 求 1 2 nn n ba 1234 1 n nn Tbbbbb n T 答案 1 2 n an 2 1 2 1 2 n n n T n n n 为奇数 为偶数 高考题高考题 10 2014 年高考浙江卷理科第 19 题 部分 求数列的前项和 1 2 1 n n n n n S 答案 1 22 1 n n n 5 错位相减法错位相减法 高考题高考题 11 2014 年高考江西卷理科第 17 题 已知首项都是 1 的两个数列 N 满足 nbba nnn 0 02 111 nnnnnn bbbaba 1 令 求数列的通项公式 n n n b a c n c 2 若 求数列的前项和 1 3 n n b n an n S 解解 1 12 ncn 2 得 先写出的表达式 1 3 12 n nnn ncba n S 1321 3 12 37353311 n n nS 把此式两边都乘以公比 3 得 nn n nnS3 12 3 32 3533313 1321 得 nn n nS3 12 3232323212 1321 13 12 3232323232 2 13210 nn n nS 由等比数列的前项和公式 得n 13 12 132 nn n nS 23 22 13 12 132 nnn n nnS 13 1 n n nS 因为此解答确实步骤多 且有三步容易出错 1 等式 右边前项的符号都是 n 但最后一项是 2 当等式 右边的前项不组成等比数列时 须把第一项作微调 n 变成等比数列 即等式 这增加了难度 3 等式 中最后一步的变形 即合并 有难度 但 这种方法 即错位相减法 又是基本方法且程序法 所以备受命题专家的青睐 在高考试卷 中频频出现就不足为怪了 考生在复习备考中 应彻底弄清 完全掌握 争取拿到满分 这里笔者再给出一个小技巧 检验 算得了的表达式后 一定要抽出万忙的时间检验一下是否正确 若它们均正 n S 21 S S 确 一般来说就可以确定算对了 否则就算错了 需要检查 重点是检查容易出错的三点 或重算 对于本题 已经算出了 所以 而由通项公式可知13 1 n n nS10 1 21 SS 所以求出的答案正确 1033 111 1 121 SSS 高考题高考题 12 2014 年高考课标全国卷 I 文科第 17 题 已知是递增的等差数列 n a 是方程的根 42 a a 2 560 xx 1 求的通项公式 n a 2 求数列的前项和 2 n n a n 答案 1 1 2 1 nan 2 用错位相减法可求得答案为 1 2 4 2 n n 高考题高考题 13 2014 年高考安徽卷文科第 18 题 数列满足 n a N 11 1 1 1 nn ananan nn 1 证明 数列是等差数列 n a n 2 设 求数列的前项和 3n nn ba n bn n S 答案 1 略 2 由 1 可求得 所以 再用错位相减法可求得 2 nan 3n n bn 4 33 12 1 n n n S 高考题高考题 14 2014 年高考四川卷文科第 19 题 设等差数列的公差为 点 n ad 在函数的图象上N nn a b 2xf x n 1 证明 数列为等比数列 n b 2 若 函数的图象在点处的切线在轴上的截距为 求 1 1a f x 22 a bx 1 2 ln2 数列的前项和 2 nn a bn n S 答案 1 略 2 可求得 所以 再用错位相减法可求得 2n nn an b 2 4n nn a bn 9 44 13 1 n n n S 高考题高考题 15 2014 年高考四川卷理科第 19 题 设等差数列的公差为 点 n ad 在函数的图象上N nn a b 2xf x n 1 若 点在函数的图象上 求数列的前项和 1 2a 87 4 ab f x n an n S 2 若 函数的图象在点处的切线在轴上的截距为 求 1 1a f x 22 a bx 1 2 ln2 数列的前项和 n n a b n n T 答案 1 2 3 n Snn 2 可求得 所以 再用错位相减法可求得答案为 2n nn an b 2 n n n an b n n n T 2 2 2 6 待定系数法待定系数法 例例 11 数列的前项和 3 12 n n n n S 解解 设等差数列的公差为 等比数列的公比为 得 m ad m b 1 q q 1 11 1 1 2 m mm abamdbqmn 先用错位相减法求数列的前项和 mm ab n n S 21 11111 21 11111 21 111 21 111 11 2 1 2 1 1 1 1 1 n n nn n nn n nn n Sb aad qad qand q qSba qad qand qand q q Sb adqdqdqand q bddqdqdqand qad ddq ban q 1 1 n d qad 11 1 1 11 n n qdd Sdnadqad bqq 所以有下面的结论成立 若分别是等差数列 等比数列 其公比 且均是与无关的常数 mm ab1 q 11 a bn 则数列的前项和 其中是与无关的常数 mm ab nbqbanS n n a bn 由此结论就可以用待定系数法快速求解本题 可设 其中是常数 3n n Sanbb a b 可得 所以 解得 所以 12 3 32730SS 3 3 9 2 30 abb abb 3 3 a b 33 1 1 n n nS 例例 12 求和 122 1 2 2 2 3 2 1 2 2 nnn n Snn 解解 得 0121 1111 1 2 3 22222 n n n S n 用待定系数法可求出该等式的右边为 所以 1 2 4 2n n 2 224 n n Sn 七 求导法 积分法七 求导法 积分法 例例 13 1 求证 1 1 1 1 1 32 x x x xxxx n n 2 求证 1 1 1 1 1 321 2 12 x x xnx nxxx n n 3 求数列的前项和 此即例 6 21 3nn n n S 解解 1 当时 显然成立 当时 由等比数列的前项和公式知 欲证结论0 x0 xn 也成立 2 视 1 的结论为两个函数相等