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课题 二次函数复习 图象与性质 交点情况 解析式的确定 一 定义 二次函数 二次函数的定义 形如y ax2 bx c a b c是常数 a 0 的函数叫做二次函数 注意 1 等号左边是变量y 右边是关于自变量x的整式 3 等式的右边最高次数为2次 可以没有一次项和常数项 但不能没有二次项 2 a b c为常数 且a 0 4 函数的自变量x的取值范围 任意实数 当二次函数表示某个实际问题时 还必须根据题意确定自变量的取值范围 二次函数的一般形式 函数y ax2 bx c其中a b c是常数切记 a 0右边一个x的二次多项式 不能是分式或根式 二次函数的特殊形式 当b 0时 y ax2 c当c 0时 y ax2 bx当b 0 c 0时 y ax2 知识运用 下列函数中 哪些是二次函数 1 y 3x 1 2 y 3x2 3 y 3x3 2x2 4 y 2x2 2x 1 5 y x 2 x 6 y x2 x 1 x 当m取何值时 函数是y m 2 x分别是一次函数 反比例函数 知识运用 m2 2 二次函数 二 图象与性质 二次函数 一 形如y ax2 a 0 的二次函数 向上 向下 直线X 0 0 0 二 形如y ax2 k a 0 的二次函数 直线X 0 0 K 向上 向下 直线X h h 0 三 形如y a x h 2 a 0 的二次函数 或y轴 或y轴 四 形如y a x h 2 k a 0 的二次函数 a 0 a 0 直线X h h k 图象的平移规律 对于抛物线y a x h 2 k的平移有以下规律 1 平移不改变a的值 2 h决定图象沿x轴方向左右平移 左 右 3 k决定图象沿y轴方向上下平移 上 下 1 抛物线y x2的开口向 对称轴是 顶点坐标是 图象过第象限 上 Y轴 0 0 一 二 2 抛物线y x2 3的开口向 对称轴是 顶点坐标是 是由抛物线y x2向平移个单位得到的 上 直线X 0 0 3 上 3 3 已知 如图 抛物线y ax2 k的图象 则a0 k0 若图象过A 0 2 和B 2 0 则a k 函数关系式是y 0 5 2 0 5x2 2 知识运用 4 抛物线y 2 x 2 1的开口向 对称轴 顶点坐标是 5 若抛物线y a x m 2 n开口向下 顶点在第四象限 则a0 m0 n0 上 X 1 0 1 由y 2x2的图象向左平移两个单位 再向下平移三个单位 得到的图象的函数解析式为 2 由函数y 3 x 1 2 2的图象向右平移4个单位 再向上平移3个单位 得到的图象的函数解析式为 y 2 x 2 2 3 2x2 8x 5 y 3 x 1 4 2 2 3 3x2 30 x 70 3 抛物线y ax2向左平移一个单位 再向下平移8个单位且y ax2过点 1 2 则平移后的解析式为 y 2 x 1 2 8 4 将抛物线y x2 6x 4如何移动才能得到y x2 逆向思考 由y x2 6x 4 x 3 2 5知 先向左平移3个单位 再向上平移5个单位 知识运用 二次函数y ax2 bx c a 0 的图象和性质 1 二次函数y x2 8x 12图象的开口向 对称轴是 顶点坐标为 直线x 4 4 上 2 函数的顶点坐标是 对称轴 开口方向 当x时 y随x的增大而增大 当x时 y随x的增大而减小 当x时 y有最大值或最小最 最大或最小值是 抛物线与x轴交点坐标为 抛物线与y轴的交点坐标为 知识运用 归纳知识点 抛物线y ax2 bx c的符号问题 1 a的符号 由抛物线的开口方向确定 开口向上 a 0 开口向下 a 0 2 C的符号 由抛物线与y轴的交点位置确定 交点在x轴上方 c 0 交点在x轴下方 c 0 经过坐标原点 c 0 3 a b的符号 由对称轴的位置确定 对称轴在y轴左侧 a b同号 对称轴在y轴右侧 a b异号 对称轴是y轴 b 0 4 b2 4ac的符号 由抛物线与x轴的交点个数确定 与x轴有两个交点 b2 4ac 0 与x轴有一个交点 b2 4ac 0 与x轴无交点 b2 4ac 0 小明从右边的二次函数y ax2 bx c的图象观察得出下面的五条信息 a 0 c 0 函数的最小值为 3 当x 0时 y 0 当0 x1 x2 2时 y1 y2你认为其中正确的个数有 A 2B 3C 4D 5 C 已知y ax2 bx c的图象如图所示 a 0 b 0 c 0 abc 0b 2a 2a b 0 2a b 0b2 4ac 0a b c 0 a b c 04a 2b c 0 0 1 1 2 三 抛物线与一元二次方程的关系 二次函数 有两个交点 方程有两个不相等的实数根 b2 4ac 0 只有一个交点 方程有两个相等的实数根 b2 4ac 0 没有交点 方程没有实数根 b2 4ac 0 根据下列表格中二次函数y ax2 bx c的自变量与函数值的对应值 判断方程ax2 bx c 0 a 0 a b c为常数 的一个解的范围是 A 6 17 X 6 18B 6 18 X 6 19C 0 01 X 0 02D 6 19 X 6 20 B 二次函数 四 解析式的确定 2 已知抛物线顶点坐标 h k 通常设抛物线解析式为 3 已知抛物线与x轴的两个交点 x1 0 x2 0 通常设解析式为 1 已知抛物线上的三点 通常设解析式为 y ax2 bx c a 0 y a x h 2 k a 0 y a x x1 x x2 a 0 求抛物线解析式的三种方法 练习根据下列条件 求二次函数的解析式 1 图象经过 0 0 1 2 2 3 三点 2 图象的顶点 2 3 且经过点 3 1 3 图象经过 2 0 3 0 且最高点的纵坐标是3 五 二次函数的应用 二次函数 例1 某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物 如图所示 大门地面宽AB 4m 顶部C离地面高度为4 4m 现有一辆满载货物的汽车欲通过大门 货物顶部距地面2 8m 装货宽度为2 4m 请判断这辆汽车能否顺利通过大门 例2 如图所示 某建筑工地准备利用一面旧墙建一个长方形储料场 新建墙的总长为30米 1 如图 设长方形的一条边长为x米 则另一条边长为多少米 2 设长方形的面积为y平方米 写出y与x之间的关系式 3 若要使长方形的面积为72平方米 x应取多少米 x 4 当x为多少时 长方形的面积最大 某商场销售一批名牌衬衫 平均每天可售出20件 每件盈利40元 为了扩大销售 商场决定采取适当的降价措施 经调查发现 如果每件衬衫每降价一元 商场平均每天可多售出2件 问每件衬衫降价多少元时 商场平均每天盈利最多 最大盈利为多少 某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时 身体 看成一点 在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线 在跳某个规定动作时 正常情况下 该运动员在空中的最高处距水面米 入水处距池边的距离为5米 同时 运动员在距水面5米以前 必须完成规定的翻腾动作并调整好入水姿势 否则就会出现失误 1 求这条抛物线的解析式 2 在某次试跳中 测得运动员在空中的运动路线是 1 中的抛物线 且运动员在空中调整好入水姿势时 距池边的水平距离为米 问此次跳水会不会失误 并能过计算说明理由 已知二次函数的图象与x轴交于A B两点 与y轴交于C点 顶点为D点 1 求出抛物线的对称轴和顶点坐标 2 求出A B C的坐标 3 求 ACDB的面积 y 解析式点的坐标线段长面积 已知抛物线与x轴交于点A 1 0 和B 3 0 与y轴交于点C C在y轴的正半轴上 S ABC为8 1 求这个二次函数的解析式 2 若抛物线的顶点为D 直线CD交x轴于E 则x轴上方的抛物线上是否存在点P 使S PBE 15 如图二次函数y ax2 bx c的图象经过A B C三点 1 观察图象 写出A B C三点的坐标 并求出抛物线解析式 2 求此抛物线的顶点坐标和对称轴 3 观察图象 当x取何值时 y0 y x A B O 1 4 5 C 课后练习 如图 已知正方形ABCD的边长为4 E是BC上的点 F是CD上的点 且EC AF EC x AEF的面积为y 1 求y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围 2 画出函数的图象 如图 在平面直角坐标系中 O为坐标原点 A点坐标为 8 0 B点坐标为 2 0 以AB的中点P为圆心 AB为直径作 P与y轴的负半轴交于点C 1 求图象经过A B C三点的抛物线的解析式 2 设M点为 1 中抛物线的顶点 求出顶点M的坐标和直线MC的解析式 3 判定 2 中的直线MC与 P的位置关系 并说明理由 课后训练 某瓜果基地市场部为指导该基地某种蔬菜的生产和销售