用函数的观点看一元二次方程 (2)

用函数的观点看一元二次方程 一 教学目标 1 知识技能 1 经历探索二次函数与 一元二次方程的关系的过程体会方程与函数之间的联 系 2 理解抛物线交 x 轴的点的个数与一元二次方程 的根的个数之间的关系理解何时方程有两个不等的实 根 两个相等的实数和没有实根 2 过程与方法 通 过观察二次函数图象与 x 轴的交点个数讨论一元二次 方程的根的情况进一步培养学生的数形结合思想 3 情感态度与价值观 从学生感兴趣的问题入手让学 生亲自体会学习数学的价值从而提高学生学习数学的 好奇心和求知欲 通过学生共同观察和讨论培养大家 的合作交流意识 二 教学重点 难点 教学重点 1 体会方程与函数之间的联系 2 能够根据一元二次 方程根的情况判断抛物线与 x 轴交点的个数 教学难 点 1 探索方程与函数之间关系的过程 2 理解二次 函数与 x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之 间的关系 三 教学方法启发引导 合作交流 四教 具 课件 五 教学过程 一导入复习 1 已知一次函 数 y3x3 的图象 如图所示你能说出方程 3x30 的解吗 2 你能说出一次函数 ykxb 与一元一次方程 kxb0 的关 系吗 师生行为指名回答师生共同回顾旧知教师做出 适当总结和评价 教师重点关注学生回答问题结论 准确性能否把前后知识联系起来 师前面我们学习了 用一次函数与一元一次方程的关系在学了二次函数之 后我们是否可以用二次函数的观点看一元二次方程呢 那么这堂课我们就一起来探讨这个问题 展示课题 31 2 用函数观点看一元二次方程 O 1 x y 设计意 图这两道题目是对旧知识的回顾为本课的教学起到铺 垫的作用 让学生从数和形的两个角度回顾一次函数 与一次方程的关系从中感悟方法不仅对学生学习这一 节内容有很大帮助而且还有利于学生学习方法进一步 掌握和学习能力的提高 二目标导学 1 学习二次 函数与一元二次方程的关系 2 会用一元二次方程解 决二次函数图象 与 x 轴的交点问题 三自学展示 问 题一的提出 如图以 40 m s 的速度将小球沿与地面 成 30 角的方向击出时球的飞行路线是一条抛物线 如果不考虑空气阻力球的飞行高度 h 单位 m 与飞 行时间 t 单位 s 之间具有关系 2520tth 1 球的飞 行高度能否达到 15 m 若能需要多少时间 2 球的飞行 高度能否达到 20 m 若能需要多少时间 3 球的飞行高 度能否达到 20 5 m 若能需要多少时间 4 球从飞出到 落地要用多少时间 出示问题学生分析理解注意学生 对高度 时间的理解分析 1h 是 t 的二次函数 2 当 h 取具体值时得到关于 t 的一元二次方程如何求解一元 二次方程的根呢结合图形指出为什么有两个时间球的 高度是 15m 或 0m 为什么只在一个时间球的高度是 20m 3 如何理解一元二次方程与二次函数的关系 在 本次活动中教师应关注 1 学生对问题从函数到方程 的转换 2 一元二次方程的解法学生对根的理解 3 函 数图象的应用 4 方程与函数的联系 四合作交流 二 次函数 yax2bxca 0 与 x 轴的交点坐标的横坐标与对 应的一元二次方程 ax2bxc0a 0 的根有什么关系 1 幻灯片上事先已画好三条抛物线 这三条抛物分别是 1yx2x 2 2yx2 6x9 3 y x2 x1 并且前两条抛物线与 x 轴的交点坐标已标有 2 给学生观察后提问让学生 一一说出这三种抛物线与 x 轴的交点坐标 3 师板 书接着又让学生分别解出三个对应一元二次方程的根 师分别板书如下 1yx2x 2 20 10 x2x 20 x 2 x1 2yx2 6x9 30 x2 6x9 0 x x3 3 y x2 x1 没有交点 x2 x10 方程没有根 归纳二次函数 yax2bxc 的图象和 x 轴公共点的横坐标与一元二次方程 ax2bxc0 的根有 什么关系 4 让学生观察归纳并填写下表 二次函数 与一元二次方程 有下面的关系 二次函数 yax2bxc 的 图象和 x 轴交点 一元二次方程 ax2bxc0 的根 一元二 次方程 ax2bxc0 根的判别式 b24ac 两个交点 两个 相异的实数根 b24ac 0 一个交点 两个相等的实数根 b24ac 0 没有交点 没有实数根 b24ac 0 教师重点关 注 1 学生能否把实际问题准确地转化为数学问题 2 学生在思考问题时能否注重数形结合思想的应用 3 学生在探究问题的过程中能否经历独立思考 认真倾 听 获得信息 梳理归纳的过程使解决问题的方法更 准确 设计意图这一片段的内容比较抽象 教学设 计由浅入深 通过教师有针对性的板书让学生观察思 考 比较 归纳 这样学生很容易看出抛物线与 x 轴 的交点横坐标其实就是与 x 轴的交点坐标 与 x 轴的 交点坐标 对应一元二次方程的根 最后设计这这个 表格与学生一起分析探讨与归纳能让学生把思考得出 的很零碎结论加以归纳整理引导学生进一步观察分析 得出结论一元二次方程中 acb42 的值决定了方程根的 个数也决定了对应抛物线与 x 轴的交点的个数反之也 成立 能让学生能从数和形两个角度去理解二次函数 与一元二次方程根的关系到达真正理解问题本质的目 的 既让学生能清晰领悟二次函数与一元二方程的内 在关系又能培养学生掌握用 类比法 解决数学问题 的方法促进学生的能力发展 师一元二次方程的另一 种解法 图像解法是从另一个角度来研究方程的根 师生行为教师提出问题引导学生独立完成师生互相 订正 教师关注 1 解题的方法与步骤并比较那种方 法更简便 2 学生在解题过程中格式是否规范 3 学 生所画图象是否准确估算方法是否得当 五反馈提 升 学生做小卷上的练习题 师生行为教师提出问题学 生独立思考后写出答案师生共同评价教师关注学生能 否准确应用本节课的知识解决问题学生解题时候暴露 的共性问题作针对性的点评积累解题经验 设计意 图这个题目就是对本节课知识的巩固应用让新知识内 化升华培养数学思维的严谨性