数 列【概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结】

概念 方法 题型 易误点及应试技巧总结概念 方法 题型 易误点及应试技巧总结 数列数列 一 数列的概念一 数列的概念 数列是一个定义域为正整数集 N 或它的有限子集 1 2 3 n 的特殊函数 数列的通项公式也就是相应函数的解析式 如如 1 1 已知 则在数列的最大项为 2 156 n n anN n n a 答 1 25 2 2 数列的通项为 其中均为正数 则与的大小关系为 n a 1 bn an anba n a 1 n a 答 n a 1 n a 3 3 已知数列中 且是递增数列 求实数的取值范围 n a 2 n ann n a 答 3 4 4 一给定函数的图象在下列图中 并且对任意 由关系式 xfy 1 0 1 a 得到的数列满足 则该函数的图象是 1nn afa n a 1 Nnaa nn 答 A A B C D 二 等差数列的有关概念二 等差数列的有关概念 1 1 等差数列的判断方法 等差数列的判断方法 定义法或 如如 1 nn aad d 为常数 11 2 nnnn aaaan 设 是等差数列 求证 以 bn 为通项公式的数列为 n a n aaa n 21 nN n b 等差数列 2 2 等差数列的通项 等差数列的通项 或 如如 1 1 n aand nm aanm d 1 1 等差数列中 则通项 n a 10 30a 20 50a n a 答 210n 2 2 首项为 24 的等差数列 从第 10 项起开始为正数 则公差的取值范围是 答 8 3 3 d 3 3 等差数列的前等差数列的前和 和 如如n 1 2 n n n aa S 1 1 2 n n n Snad 1 1 数列 中 前 n 项和 则 n a 1 1 2 2 nn aannN 3 2 n a 15 2 n S 1 an 答 1 3a 10n 2 2 已知数列 的前 n 项和 求数列的前项和 n a 2 12 n Snn n an n T 答 2 2 12 6 1272 6 n nnnnN T nnnnN 4 4 等差中项 等差中项 若成等差数列 则 A 叫做与的等差中项 且 a A bab 2 ab A 提醒提醒 1 1 等差数列的通项公式及前和公式中 涉及到 5 个元素 及n 1 adn n a 其中 称作为基本元素 只要已知这 5 个元素中的任意 3 个 便可求出其余 2 n S 1 ad 个 即知 3 求 2 2 2 为减少运算量 要注意设元的技巧 如奇数个数成等差 可设为 公差为 偶数个数成等差 可设为 2 2ad ad a ad ad d 公差为 2 3 3ad ad ad ad d 三 等差数列的性质三 等差数列的性质 1 当公差时 等差数列的通项公式是关于的一次函数 0d 11 1 n aanddnad n 且斜率为公差 前和是关于的二次函数且dn 2 11 1 222 n n ndd Snadnan n 常数项为 0 2 若公差 则为递增等差数列 若公差 则为递减等差数列 若公差 0d 0d 0d 则为常数列 3 当时 则有 特别地 当时 则有mnpq qpnm aaaa 2mnp 如如2 mnp aaa 1 1 等差数列中 则 n a 123 18 3 1 nnnn SaaaS n 答 27 2 2 在等差数列中 且 是其前项和 则 n a 1011 0 0aa 1110 aa n Sn A 都小于 0 都大于 0 1210 S SS 1112 SS B 都小于 0 都大于 0 1219 S SS 2021 SS C 都小于 0 都大于 0 125 S SS 67 S S D 都小于 0 都大于 0 1220 S SS 2122 SS 答 B 4 若 是等差数列 则 是非零常数 n a n b n ka nn kapb kp 也成等差数列 而成等比数列 若 p nq ap qN 232 nnnnn SSSSS n a a 是等比数列 且 则是等差数列 如如 n a0 n a lg n a 等差数列的前 n 项和为 25 前 2n 项和为 100 则它的前 3n 和为 答 225 5 在等差数列中 当项数为偶数时 项数为奇数时 n a2nSSnd 偶奇 21n 这里即 如如SSa 奇偶中21 21 n Sna 中 a中 n a 1 奇偶 SSkk 1 1 在等差数列中 S11 22 则 6 a 答 2 2 2 项数为奇数的等差数列中 奇数项和为 80 偶数项和为 75 求此数列的 n a 中间项与项数 答 5 31 6 若等差数列 的前和分别为 且 则 n a n bn n A n B n n A f n B 如如 21 21 21 21 21 nnn nnn anaA fn bnbB 设 与 是两个等差数列 它们的前项和分别为和 若 n a n bn n S n T 34 13 n n T S n n 那么 n n b a 答 62 87 n n 7 首正 的递减等差数列中 前 项和的最大值是所有非负项之和 首负 的递增n 等差数列中 前 项和的最小值是所有非正项之和 法一 由不等式组n 确定出前多少项为非负 或非正 法二 因等差数列前项 0 0 0 0 11n n n n a a a a 或 n 是关于的二次函数 故可转化为求二次函数的最值 但要注意数列的特殊性n 上述两种方法是运用了哪种数学思想 函数思想 由此你能求一般数 nN 列中的最大或最小项吗 如如 1 1 等差数列中 问此数列前多少项和最大 并求此最大值 n a 1 25a 917 SS 答 前 13 项和最大 最大值为 169 2 2 若是等差数列 首项 n a 1 0 a 20032004 0aa 则使前 n 项和成立的最大正整数 n 是 20032004 0aa 0 n S 答 4006 8 如果两等差数列有公共项 那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列 且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数 注意注意 公共项仅是公共的项 其项数不一定相同 即研究 nm ab 四 等比数列的有关概念四 等比数列的有关概念 1 等比数列的判断方法 等比数列的判断方法 定义法 其中或 1 n n a q q a 为常数 0 0 n qa 1 1 nn nn aa aa 如如 2 n 1 1 一个等比数列 共有项 奇数项之积为 100 偶数项之积为 120 则 n a21n 为 1n a 答 5 6 2 2 数列中 4 1 且 1 若 求证 数列 n a n S 1n a 2n 1 a nnn aab2 1 是等比数列 n b 2 2 等比数列的通项 等比数列的通项 或 如如 1 1 n n aa q n m nm aa q 设等比数列中 前项和 126 求和公比 n a 1 66 n aa 21 128 n a a n n S nq 答 或 2 6n 1 2 q 3 等比数列的前等比数列的前和 和 当时 当时 如如n1q 1n Sna 1q 1 1 1 n n aq S q 1 1 n aa q q 1 1 等比数列中 2 S99 77 求q 9963 aaa 答 44 2 2 的值为 10 10 n n k k n C 答 2046 特别提醒 特别提醒 等比数列前项和公式有两种形式 为此在求等比数列前项和时 首nn 先要判断公比是否为 1 再由的情况选择求和公式的形式 当不能判断公比是否为qqq 1 时 要对分和两种情形讨论求解 q1q 1q 4 4 等比中项 等比中项 若成等比数列 那么 A 叫做与的等比中项 提醒提醒 不是任何两 a A bab 数都有等比中项 只有同号两数才存在等比中项 且有两个 如已知两个正数ab 的等差中项为 A 等比中项为 B 则 A 与 B 的大小关系为 答 A B a b ab 提醒提醒 1 1 等比数列的通项公式及前和公式中 涉及到 5 个元素 n 1 aqn 及 其中 称作为基本元素 只要已知这 5 个元素中的任意 3 个 便可求出其 n a n S 1 aq 余 2 个 即知 3 求 2 2 2 为减少运算量 要注意设元的技巧 如奇数个数成等比 可 设为 公比为 但偶数个数成等比时 不能设为 2 2 aa a aq aq qq q 因公比不一定为正数 只有公比为正时才可如此设 且公比为 3 3 aqaq q a q a 2 q 如如有四个数 其中前三个数成等差数列 后三个成等比数列 且第一个数与第四个数的 和是 16 第二个数与第三个数的和为 12 求此四个数 答 15 9 3 1 或 0 4 8 16 5 5 等比数列的性质等比数列的性质 1 当时 则有 特别地 当时 则有mnpq mnpq aaaa AA2mnp 如如 2 mnp aaa A 1 1 在等比数列中 公比 q 是整数 则 n a 3847 124 512aaa a 10 a 答 512 2 2 各项均为正数的等比数列中 若 则 n a 56 9aa 3132310 logloglogaaa 答 10 2 若是等比数列 则 成等比数列 若 n a n a p nq ap qN n ka 成等比数列 则 成等比数列 若是等比数列 且公比 nn ab nn a b n n a b n a1q 则数列 也是等比数列 当 且为偶数时 数列 232 nnnnn SSSSS 1q n 是常数数列 0 它不是等比数列 如如 232 nnnnn SSSSS 1 1 已知且 设数列满足 且0a 1a n x 1 log1log anan xx nN 则 12100 100 xxx 101102200 xxx 答 100 100a 2 2 在等比数列中 为其前 n 项和 若 则 n a n S140 13 30101030 SSSS 的值为 20 S 答 40 3 若 则为递增数列 若 则为递减数列 若 1 0 1aq n a 1 0 1aq n a 则为递减数列 若 则为递增数列 若 1 0 01aq n a 1 0 01aq n a0q 则为摆动数列 若 则为常数列 n a1q n a 4 当时 这里 但 这是1q baq q a q q a S nn n 11 11 0ab 0 0ab 等比数列前项和公式的一个特征 据此很容易根据 判断数列是否为等比数列 n n S n a 如如若是等比数列 且 则 n a3n n Sr r 答 1 5 如如设等比数列的公比为 前项和为 若 mn m nmnnm SSq SSq S n aqn n S 成等差数列 则的值为 12 nnn SSS q 答 2 6 在等比数列中 当项数为偶数时 项数为奇数时 n a2nSqS 偶奇 21n 1 SaqS 奇偶 7 如果数列既成等差数列又成等比数列 那么数列是非零常数数列 故常 n a n a 数数列仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件 如如设 n a 数列的前项和为 关于数列有下列三个命题 若 n an n SN n n a 则既是等差数列又是等比数列 若 则 1 N naa nn n a R banbnaSn 2 是等差数列 若 则是等比数列 这些命题中 真命题的序号 n a n n S11 n a 是 答 五五 数列的通项的求法数列的通项的求法 公式法 等差数列通项公式 等比数列通项公式 如如已知数列 试写出其一个通项公式 32 1 9 16 1 7 8 1 5 4 1 3 答 1 1 21 2 n n an 已知 即 求 用作差法 如如 n S 12 n aaaf n n a 1 1 1 2 n nn Sn a SSn 已知的前项和满足 求 n an 2 log 1 1 n Sn n a 答 3 1 2 2 n n n a n 数列满足 求 n a 12 2 111 25 222 n n aaan n a 答 1 14 1 2 2 n n n a n 已知求 用作商法 如如数列中 12 n a aaf n A A A n a 1 1 2 1 n fn f na n f n n a 对所有的都有 则 1 1 a2 n 2 321 naaaa n 53 aa 答 61 16 若求用累加法 1 nn aaf n n a 11221 nnnnn aaaaaaa 如如已知数列满足 则 1 a 2 n n a 1 1a nn aa nn 1 1 1 2 n n a 答 121 n an 已知求 用累乘法 如如已知数列 1 n n a f n a n a 12 1 121 nn n nn aaa aa aaa 2 n 中 前项和 若 求 n a2 1 an n S nn anS 2 n a 答 4 1 n a n n 已知递推关系求 用构造法 构造等差 等比数列 特别地 1 1 形如 形如 n a 为常数 的递推数列都可以用待定系数法转化为公比 1nn akab 1 n nn akab k b 为的等比数列后 再求 如如 已知 求 答 k n a 11 1 32 nn aaa n a 1 2 31 n n a A 已知 求 答 2 2 形如 形如的递 11 1 32n nn aaa n a 11 5 32 nn n a A 1 1 n n n a a kab 推数列都可以用倒数法求通项 如如 已知 求 答 1 1 1 1 31 n n n a aa a n a 1 32 n a n 已知数列满足 1 求 答 1 a 11nnnn aaa a n a 2 1 n a n 注意注意 1 1 用求数列的通项公式时 你注意到此等式成立的条件了 1 nnn SSa 吗 当时 2 2 一般地当已知条件中含有与的混合关系2n 1n 11 Sa n a n S 时 常需运用关系式 先将已知条件转化为只含或的关系式 然后再 1 nnn SSa n a n S 求解 如如数列满足 求 答 n a 111 5 4 3 nnn aSSa n a 1 4 1 3 4 2 n n n a n A 六六 数列求和的常用方法数列求和的常用方法 1 公式法公式法 等差数列求和公式 等比数列求和公式 特别声明特别声明 运用等比数 列求和公式 务必检查其公比与 1 的关系 必要时需分类讨论 常用公式 1 123 1 2 nn n 2221 12 1 21 6 nn nn 如如 33332 1 123 2 n n n 1 1 等比数列的前项和 S 2 则 n an 22 3 2 2 2 1n aaaa 答 41 3 n 2 2 计算机是将信息转换成二进制数进行处理的 二进制即 逢 2 进 1 如 表示二进制数 将它转换成十进制形式是 那么将二 2 1101 1321202121 0123 进制转换成十进制数是 12005 2 11111 个 答 2005 21 2 分组求和法分组求和法 在直接运用公式法求和有困难时 常将 和式 中 同类项 先 合并在一起 再运用公式法求和 如如求 答 1 357 1 21 n n Sn 1 nn 3 倒序相加法倒序相加法 若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合 数相关联 则常可考虑选用倒序相加法 发挥其共性的作用求和 这也是等差数列前 和公式的推导方法 如如n 求证 012 35 21 1 2 nn nnnn CCCnCn A 已知 则 2 2 1 x f x x 111 1 2 3 4 234 fffffff 答 7 2 4 错位相减法错位相减法 如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项 相乘构成 那么常选用错位相减法 这也是等比数列前和公式的推导方法 n 如 如 1 1 设为等比数列 已知 n a 121 1 2 nnn Tnanaaa 1 1T 求数列的首项和公比 求数列的通项公式 答 2 4T n a n T 1 1a 2q 1 22 n n Tn 2 2 设函数 数列满足 1 4 1 2 xxgxxf n a 1 2 n af a n a 求证 数列是等比数列 令 1 Nnaga nn 1 n a 2 12 1 1 h xaxax 求函数在点处的导数 并比较与的大小 1 n n ax xh 3 8 x 3 8 h 3 8 h nn 2 2 答 略 当时 当时 nn 2 23n 3 8 h nn 2 2 5 裂项相消法裂项相消法 如果数