函数恒成立、能成立问题及课后练习(含答案)

函数专题四 1 第 1 页 恒成立 能成立问题专题 一 基础理论回顾 1 恒成立问题的转化 恒成立 af x maxaf x minaf xaf x 恒成立 2 能成立问题的转化 能成立 af x minaf x maxaf xaf x 能成立 3 恰成立问题的转化 在 M 上恰成立的解集为 M af x af x R af xM af xC M 在上恒成立 在上恒成立 另一转化方法 若在 D 上恰成立 等价于在 D 上的最小值AxfDx xf 若 Axf min 在 D 上恰成立 则等价于在 D 上的最大值 Dx Bxf xfBxf max 4 设函数 对任意的 存在 使得 则 xf xg bax 1 dcx 2 21 xgxf xgxf minmin 5 设函数 对任意的 存在 使得 则 xf xg bax 1 dcx 2 21 xgxf xgxf maxmax 6 设函数 存在 存在 使得 则 xf xg bax 1 dcx 2 21 xgxf xgxf minmax 7 设函数 存在 存在 使得 则 xf xg bax 1 dcx 2 21 xgxf xgxf maxmin 8 若不等式在区间 D 上恒成立 等价于在区间 D 上函数和图象在函 f xg x yf x 数图象上方 yg x 9 若不等式在区间 D 上恒成立 等价于在区间 D 上函数和图象在函 f xg x yf x 数图象下方 yg x 函数专题四 2 第 2 页 二 经典题型解析 题型一 简单型题型一 简单型 例例 1 1 已知函数 其中 12 2 axxxf x a xg 0 a0 x 1 对任意 都有恒成立 求实数的取值范围 构造新函数 2 1 x xgxf a 2 对任意 都有恒成立 求实数的取值范围 转化 4 2 2 1 21 xx 21 xgxf a 简解 1 由成立 只需满足的最小值大于 12 012 2 3 2 x xx a x a axx 12 2 3 x xx x 即可 对求导 故在是增函数 a12 2 3 x xx x 0 12 12 22 24 x xx x x 2 1 x 所以的取值范围是 3 2 1 min x a3 2 0 a 例例 2 2 设函数 对任意 都有在恒成立 求实数 bx x a xh 2 2 1 a 10 xh 1 4 1 x 的范围 b 分析 思路 解决双参数问题一般是先解决一个参数 再处理另一个参数 以本题为例 实 质还是通过函数求最值解决 方法 1 化归最值 10 10 max xhxh 方法 2 变量分离 或 10 x x a b xbxa 10 2 方法 3 变更主元 新函数 010 1 bxa x a 2 2 1 a 简解 方法 1 对求导 单调函数 bx x a xh 22 1 x axax x a xh 由此可知 在上的最大值为与中的较大者 xh 1 4 1 4 1 h 1 h 函数专题四 3 第 3 页 对于任意 得的取值范围是 ab ab ba ba h h 9 4 4 39 101 10 4 1 4 10 1 10 4 1 2 2 1 a b4 7 b 例例 3 3 已知两函数 对任意 存在 使得 2 xxf mxg x 2 1 2 0 1 x 2 1 2 x 则实数 m 的取值范围为 21 xgxf 答案 4 1 m 题型二 更换主元和换元法题型二 更换主元和换元法 例例 1 1 已知函数是实数集上的奇函数 函数是 ln x f xea a 为常数 R sing xf xx 区间上的减函数 求 的值 若上恒成立 求 的取值 1 1 a 2 11 1g xttx 在 t 范围 分析 在不等式中出现了两个字母 及 关键在于该把哪个字母看成是一个变量 另 t 一个作为常数 显然可将 视作自变量 则上述问题即可转化为在内关于 的一次函数 1 大于等于 0 恒成立的问题 略解 由 知 在上单调 f xx sing xxx g x 11 递减 在上恒成立 只需 cos0g xx cosx 1 1 1 max 1 sin1g xg 其中 恒成立 由上述 结论 可令 2 sin11tt 2 1 sin1 10tt 1 则 而恒成立 2 1 sin1 10 1ftt 2 t10 1sin1 10tt 2 1 sin10 t tt 2 sin10tt 1t 例例 2 2 已知二次函数对恒有 求的取值范围 1 2 xaxxf 2 0 x0 xfa 解 对恒有即变形为 2 0 x0 xf01 2 xax 1 2 xax 当时对任意的都满足只须考虑的情况0 xa0 xf0 x 即 要满足题意只要保证比右边的最大值大就行 2 1 x x a 2 11 xx a a 现求在上的最大值 令 2 11 xx 2 0 x 2 11 t x t 4 1 2 1 22 ttttg 函数专题四 4 第 4 页 2 1 t 所以 4 3 2 1 max gtg 4 3 a 又是二次函数所以且1 2 xaxxf0 a 4 3 a0 a 例例 3 3 对于满足 0a4 的所有实数 a 求使不等式都成立的 x 的取值范围 34 2 axaxx 答案 或1 x3 x 题型三 分离参数法 欲求某个参数的范围 就把这个参数分离出来 题型三 分离参数法 欲求某个参数的范围 就把这个参数分离出来 此类问题可把要求的参变量分离出来 单独放在不等式的一侧 将另一侧看成新函数 于是将问题转化成新函数的最值问题 若对于取值范围内的任一个数都有恒成x f xg a 立 则 若对于取值范围内的任一个数都有恒成立 则 min g af x x f xg a max g af x 例例 1 1 当时 不等式恒成立 则的取值范围是 1 2x 2 40 xmx m 解析 当时 由得 1 2 x 2 40 xmx 2 4x m x 5m 例例 2 2 已知函数 为常数 是实数集上的奇函数 函数 ln x f xea aR 在区间上是减函数 cosg xxx 2 33 求的值与的范围 a 若对 中的任意实数都有在上恒成立 求实数 的取值范围 1g xt 2 33 t 若 试讨论关于的方程的根的个数 0m x 2 ln 2 x xexm f x 解 略 由题意知 函数在区间上是减函数 cosg xxx 2 33 函数专题四 5 第 5 页 在上恒成立 max 1 332 g xg 1g xt 2 33 1 1 32 t 1 32 t 1 1 32 t 题型四 数形结合 恒成立问题与二次函数联系 零点 根的分布法 题型四 数形结合 恒成立问题与二次函数联系 零点 根的分布法 例例 1 1 若对任意 不等式恒成立 则实数的取值范围是 xR xax a 解析 yx yx yax yax x y O 对 不等式恒成立 则由一次函数性质及图像知 即 xR xax 11a 11a 例例 2 2 不等式在内恒成立 求实数 a 的取值范围 4 xxax 3 0 x 解 画出两个凼数和在上的图象axy 4 xxy 3 0 x 如图 x y 03 axy 知当时 3 3 a3 x3 y 当时总有所以 3 3 a 3 0 x 4 xxax 3 3 a 函数专题四 6 第 6 页 yx yx yax yax x y O 例例 4 4 已知函数若不等式恒成立 则实数的取值范 36 2 63 2 xx yf x x x 2f xxm m 围是 解 在同一个平面直角坐标系中分别作出函数 及的图象 由于不等式恒2yxm yf x 2f xxm 成立 所以函数的图象应总在函数的图2yxm yf x 象下方 因此 当时 所以故的取值范围是2x 40 ym 4 m m 4 题型五 其它 最值 处理方法题型五 其它 最值 处理方法 若在区间 D 上存在实数使不等式成立 则等价于在区间 D 上 x f xA max f xA 若在区间 D 上存在实数使不等式成立 则等价于在区间 D 上的 x f xB minf xB 利用不等式性质 1 1 存在实数 使得不等式有解 则实数 的取值范围为 x 2 313xxaa a 解 设 由有解 31f xxx 2 3f xaa 2 min 3aaf x 又 解得 31314xxxx 2 34aa 41aa 或 2 2 若关于的不等式恒成立 试求 a 的范围xaxx 32 解 由题意知只须 a 比的最小值相同或比其最小值小即可 得32 xx min 32 xxa 由 所以 5 3 232 xxxx5 a Ox y yf x 2yxm 2 函数专题四 7 第 7 页 利用分类讨论 1 1 已知函数在区间 1 2 上都不小于 2 求 a 的值 42 2 axxxf 解 由函数的对称轴为 x a42 2 axxxf 所以必须考察 a 与 1 2 的大小 显然要进行三种分类讨论 1 当 a2 时 f x 在 1 2 上是减函数此时 f 2 4 4a 4 min xf2 即 a 结合 a2 所以 a2 2 3 2 当 a 时 f x 在 1 2 上是增函数 此时 f 1 1 2a 41 2 f 1 1 2a 4结合 a 即 a min xf2 1 2 3 3 当 1 a 2 时 f a min xf24 2 2 2 ax 即 a或 a 所以2 2 22 a 综上 1 2 3 满足条件的 a 的范围为 a或 a 2 3 2 利用导数迂回处理 1 1 已知 若当时在 0 1 恒成立 求实数 1lg 2 1 xxf 2lg txxg 1 0 x xgxf t 的取值范围 解 在 0 1 上恒成立 即在 0 1 上恒成立 xgxf 021 txx 即在 0 1 上的最大值小于或等于 0021 txx 令所以txxxF 21 又所以即在 0 1 上单调递减 12 141 2 12 1 x x x xF 1 0 x0 xF xF 所以 即 得 0 max FxF 01 0 tFxF1 t 2 2 已知函数存在单调递减区间 求的取值范围 2 1 ln20 2 f xxaxx a a 解 因为函数存在单调递减区间 所以 f x 2 121 20 axx fxax xx 函数专题四 8 第 8 页 有解 即能成立 设 0 2 12 0 ax x x 2 12 u x x x 由得 于是 2 2 121 11u x xx x min 1ux 1 a 由题设 所以 a 的取值范围是 0 a 00 1 3 3 已知函数 3 ln 3 a f xxxm g xxx 当时 求的单调区间 2m f x 若时 不等式恒成立 求实数的取值范围 3 2 m g xf x a 解 略 当时 不等式即恒成立 由于 3 2 m g xf x 3 3 ln 32 a xxxx 0 x 亦即 所以 令 则 2 3 1ln 32 a xx 2 1 ln 32 a xx 2 1 3 ln 2 x a x h x 2 1 3 ln 2 x x 由得 且当时 当时 即 3 6ln x h x x 0h x 1x 01x 0h x 1x 0h x 在上单调递增 在上单调递减 所以在处取得极大值 也 h x 0 1 1 h x1x 3 1 2 h 就是函数在定义域上的最大值 因此要使恒成立 需要 所以的取 h x 2 1 3 ln 2 x a x 3 2 a a 值范围为 3 2 注 恒成立问题多与参数的取值范围问题联系在一起 是近几年高考的一个热门题型 往往与函数的单调性 极值 最值等有关 小结 恒成立与有解的区别 小结 恒成立与有解的区别 不等式对时恒成立 即的上界小于或等于 f xM xI max fxM xI f x M 不等式对时有解 或的下界小于或等于 f xM xI min fxM xI f x M 不等式对时恒成立 即的下界大于或等于 f xM xI min fxM xI f x M 函数专题四 9 第 9 页 不等式对时有解 或的上界大于或等于 f xM xI max fxM xI f x M 函数专题四 10 第 10 页 三 恒成立 能成立问题专题练习恒成立 能成立问题专题练习 1 已知两函数 2 728f xxxc 32 2440g xxxx 1 对任意 都有 成立 求实数 的取值范围 3 3x f xg x c 2 存在 使成立 求实数 的取值范围 3 3x f xg x c 3 对任意 都有 求实数 的取值范围 12 3 3xx 12 f xg x c 4 存在 都有 求实数 的取值范围 12 3 3xx 12 f xg x c 2 设 若对于任意的 都有满足方程 这时的 1a 2 xaa 2 ya a loglog3 aa xy a 取值集合为 A B C D 2 1 aa 2a a 3 2 aa 2 3 3 若任意满足的实数 不等式恒成立 则实数的最大值 0 50 30 xy xy y x y 222 a xyxy a 是 4 不等式有解 则 的取值范围是 2 sin4sin10 xxa a 5 不等式在内恒成立 求实数 a 的取值范围 4axxx 0 3x 6 设函数 322 1 23 01 3 f xxaxa xbabR 求函数的单调区间和极值 f x 若对任意的不等式成立 求 a 的取值范围 2 1 aax fxa 函数专题四 11 第 11 页 7 已知 A B C 是直线 上的三点 向量 满足 OA OB OC 0OC1xlnOB1f2yOA 1 求函数 y f x 的表达式 2 若 x 0 证明 f x 2x x 2 3 若不等式时 及都恒成立 求实数 m 的取值 3bm2mxfx 2 1 222 1 1x 1 1b 范围 8 设 且 e 为自然对数的底数 xln2 x q pxxf 2 e p qeef I 求 p 与 q 的关系 II 若在其定义域内为单调函数 求 p 的取值范围 xf III 设 若在上至少存在一点 使得成立 求实数 p 的取值范围 x e2 xg e 1 0 x 00 xgxf 函数专题四 12 第 12 页 课后作业答案 课后作业答案 1 解析 1 设 问题转化为时 恒成立 故 32 2312h xg xf xxxxc 3 3x 0h x 令 得或 由导数知识 可知在单 min 0hx 2 66126120h xxxxx 1x 2 h x 3 1 调递增 在单调递减 在单调递增 且 1 2 2 3 345hc 17h xhc 极大值 由 得 220h xhc 极小值 39hc min 345hxhc 450c 45c 2 据题意 存在 使成立 即为 在有解 故 3 3x f xg x 0h xg xf x 3 3x 由 1 知 于是得 max 0hx max 70hxc 7c 3 它与 1 问虽然都是不等式恒成立问题 但却有很大的区别 对任意 都 12 3 3xx 有成立 不等式的左右两端函数的自变量不同 的取值在上具有任意性 12 f xg x 1 x 2 x 3 3 要使不等式恒成立的充要条件是 maxmin 3 3 fxgx x 2 7228 3 3f xxcx max 3147f xfc 在区间上只有一个解 2 6840gxxx 2 3102xx 0gx 3 3 2x 即 min 248g xg 14748c 195c 4 存在 都有 等价于 由 3 得 12 3 3xx 12 f xg x min1max2 fxgx min1 228fxfc max2 3102gxg 28102130cc 点评 本题的三个小题 表面形式非常相似 究其本质却大相径庭 应认真审题 深入思考 多加训练 准确使用其成立的充要条件 2 B 解析 由方程可得 对于任意的 可得 loglog3 aa xy 3 a y x 2 xaa 23 2 2 aa a x 依题意得 2 22 2 2 a a a aa 3 答案 解析 由不等式可得 由线性规划可得 25 13 222 a xyxy 2 1a xy yx 函数专题四 13 第 13 页 3 1 2 y x 4 解 原不等式有解有解 而 2 2 sin4sin1sin231sin1axxxx 2 min sin232x 所以 2a 5 解 画出两个凼数和在 yax 4yxx 0 3x 上的图象如图知当时 3x 3y 3 3 a 当 时总有所以 3 3 a 0 3x 4axxx 3 3 a 6 解 1 分 22 34 aaxxxf 令得的单调递增区间为 a 3a 0 x f xf 令得的单调递减区间为 a 和 3a 4 分 0 x f xf 当 x a 时 极小值 xf 4 3 3 ba 当 x 3a 时 极小值 b 6 分 xf 由 a 得 a x2 4ax 3a2 a 7 分 x f 0 a2a 上是减函数 9 分 2 1 34 22 aaaaxxxf在 4 4 2 1 2 1 minmax aafxfaafxf 于是 对任意 不等式 恒成立 等价于 2 1 aax 1 5 4 1 2 44 a aa aa 解得 又 10 a 1 5 4 a 7 解 1 y 2f 1 ln x 1 0 y 2f 1 ln x 1 OA OB OC OA OB OC 由于 A B C 三点共线 即 y 2f 1 ln x 1 1 2 分 x y 03 axy 函数专题四 14 第 14 页 y f x ln x 1 1 2f 1 f x 得 f 1 故 f x ln x 1 4 分 1 x 1 1 2 2 令 g x f x 由 g x 2x x 2 1 x 1 2 x 2 2x x 2 2 x2 x 1 x 2 2 x 0 g x 0 g x 在 0 上是增函数 6 分 故 g x g 0 0 即 f x 8 分 2x x 2 3 原不等式等价于x2 f x2 m2 2bm 3 1 2 令 h x x2 f x2 x2 ln 1 x2 由 h x x 10 分 1 2 1 2 2x 1 x2