中考数学必做压轴题分类之——二次函数与几何综合

二次函数与几何综合二次函数与几何综合 二次函数与几何综合是中考压轴题的考查重点 常考查函数解析式 交点坐标 图形面积 或周长的最值 存在性问题 图形的平移 对称 旋转等 压轴题的综合性强 难度大 复习时应加强训练 它是突破高分瓶颈的关键 1 如图 已知抛物线 y ax2 bx c a 0 的对称轴为直线 x 1 且抛物线经过 A 1 0 C 0 3 两点 与 x 轴交于点 B 1 若直线 y mx n 经过 B C 两点 求直线 BC 和抛物线的解析式 2 在抛物线的对称轴 x 1 上找一点 M 使点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小 求出点 M 的坐标 3 设点 P 为抛物线的对称轴 x 1 上的一个动点 求使 BPC 为直角三角形的点 P 的坐 标 2 如图 已知抛物线 y x2 bx c 与 x 轴交于 A 1 0 B 3 0 两点 与 y 轴交于 点 C 抛物线的对称轴与抛物线交于点 P 与直线 BC 相交于点 M 连接 PB 1 求抛物线的解析式 2 在 1 中位于第一象限内的抛物线上是否存在点 D 使得 BCD 的面积最大 若存在 求 出 D 点坐标及 BCD 面积的最大值 若不存在 请说明理由 3 在 1 中的抛物线上是否存在点 Q 使得 QMB 与 PMB 的面积相等 若存在 求出点 Q 的坐标 若不存在 请说明理由 3 如图 二次函数 y ax2 bx c 的图象的顶点 C 的坐标为 0 2 交 x 轴于 A B 两 点 其中 A 1 0 直线 l x m m 1 与 x 轴交于 D 1 求二次函数的解析式和 B 的坐标 2 在直线 l 上找点 P P 在第一象限 使得以 P D B 为顶点的三角形与以 B C O 为顶 点 的三角形相似 求点 P 的坐标 用含 m 的代数式表示 3 在 2 成立的条件下 在抛物线上是否存在第一象限内的点 Q 使 BPQ 是以 P 为直角顶 点的等腰直角三角形 如果存在 请求出点 Q 的坐标 如果不存在 请说明理由 4 已知抛物线 y x2 2x a a 0 与 y 轴相交于 A 点 顶点为 M 直线 y x a 分别 1 2 与 x 轴 y 轴相交于 B C 两点 并且与直线 MA 相交于点 N 点 1 若直线 BC 和抛物线有两个不同交点 求 a 的取值范围 并用 a 表示交点 M A 的坐标 2 将 NAC 沿着 y 轴翻折 若点 N 的对称点 P 恰好落在抛物线上 AP 与抛物线的对称轴相 交于点 D 连接 CD 求 a 的值及 PCD 的面积 3 在抛物线 y x2 2x a a 0 上是否存在点 P 使得以 P A C N 为顶点的四边形 是 平行四边形 若存在 求出点 P 的坐标 若不存在 请说明理由 5 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 直线 l y 轴于点 B 0 2 A 为 OB 的中点 以 A 为顶点的抛物线 y ax2 c a 0 与 x 轴分别交于 C D 两点 且 CD 4 点 P 为抛物线 上的一个动点 以 P 为圆心 PO 为半径画圆 1 求抛物线的解析式 2 若 P 与 y 轴的另一交点为 E 且 OE 2 求点 P 的坐标 3 判断直线 l 与 P 的位置关系 并说明理由 6 如图 抛物线 y ax2 bx c a 0 的图象过点 M 2 顶点坐标为 N 1 3 43 3 且与 x 轴交于 A B 两点 与 y 轴交于 C 点 1 求抛物线的解析式 2 点 P 为抛物线对称轴上的动点 当 PBC 为等腰三角形时 求点 P 的坐标 3 在直线 AC 上是否存在一点 Q 使 QBM 的周长最小 若存在 求出 Q 点坐标 若不存在 请说明理由 7 如图 二次函数 y x2 bx 3b 3 的图象与 x 轴交于 A B 两点 点 A 在点 B 的左边 交 y 轴于点 C 且经过点 b 2 2b2 5b 1 1 求这条抛物线的解析式 2 M 过 A B C 三点 交 y 轴于另一点 D 求点 M 的坐标 3 连接 AM DM 将 AMD 绕点 M 顺时针旋转 两边 MA MD 与 x 轴 y 轴分别交于点 E F 若 DMF 为等腰三角形 求点 E 的坐标 8 如图 1 二次函数 y ax2 bx c 的图象与 x 轴分别交于 A B 两点 与 y 轴交于点 C 若 tan ABC 3 一元二次方程 ax2 bx c 0 的两根为 8 2 1 求二次函数的解析式 2 直线 l 以 AB 为起始位置 绕点 A 顺时针旋转到 AC 位置停止 l 与线段 BC 交于点 D P 是 AD 的中点 求点 P 的运动路程 如图 2 过点 D 作 DE 垂直 x 轴于点 E 作 DF AC 所在直线于点 F 连接 PE PF 在 l 运 动过程中 EPF 的大小是否改变 请说明理由 3 在 2 的条件下 连接 EF 求 PEF 周长的最小值 9 已知抛物线 C1 y x2 平移抛物线 y x2 使其顶点 D 落在抛物线 C1位于 y 轴 1 2 右侧的图象上 设平移后的抛物线为 C2 且 C2与 y 轴交于 C 0 2 1 求抛物线 C2的解析式 2 抛物线 C2与 x 轴交于 A B 两点 点 B 在点 A 的右方 求点 A B 的坐标及过点 A B C 的圆的圆心 E 的坐标 3 在过点 0 且平行于 x 轴的直线上是否存在点 F 使四边形 CEBF 为菱形 若存在 1 2 求 出点 F 的坐标 若不存在 请说明理由 10 如图 已知直线 y 3x 3 与 x 轴交于点 A 与 y 轴交于点 C 抛物线 y ax2 bx c 经过点 A 和点 C 对称轴为直线 l x 1 该抛物线与 x 轴的另一个交点为 B 1 求此抛物线的解析式 2 点 P 在直线 l 上 求出使 PAC 的周长最小的点 P 的坐标 3 点 M 在此抛物线上 点 N 在 y 轴上 以 A B M N 为顶点的四边形能否为平行四边形 若能 直接写出所有满足要求的点 M 的坐标 若不能 请说明理由 11 如图 已知抛物线 y ax2 bx c a 0 与 x 轴交于点 A 1 0 和点 B 3 0 与 y 轴正半轴交于点 C 且 OC OB 1 求此抛物线的解析式 2 若点 E 为第二象限抛物线上一动点 连接 BE CE 求四边形 BOCE 面积最大值 并求出 此时点 E 的坐标 3 点 P 在抛物线的对称轴上 若线段 PA 绕点 P 逆时针方向旋转 90 后 点 A 的对应点 A 恰好也落在此抛物线上 求点 P 的坐标 12 如图 已知抛物线 y x 2 x 4 k 为常数 且 k 0 与 x 轴从左至右依次交于 k 8 A B 两点 与 y 轴交于点 C 经过点 B 的直线 y x b 与抛物线的另一交点为 D 3 3 1 若点 D 的横坐标为 5 求抛物线的函数表达式 2 若在第一象限内的抛物线上有点 P 使得以 A B P 为顶点的三角形与 ABC 相似 求 k 的值 3 在 1 的条件下 设 F 为线段 BD 上一点 不含端点 连接 AF 一动点 M 从点 A 出发 沿 线段 AF 以每秒 1 个单位的速度运动到 F 再沿线段 FD 以每秒 2 个单位的速度运动到 D 后停止 当点 F 的坐标是多少时 点 M 在整个运动过程中用时最少 13 已知抛物线 y x2 bx c 与 x 轴交于点 A m 2 0 和 B 2m 1 0 点 A 在点 B 的 左 侧 与 y 轴相交于点 C 顶点为 P 对称轴为 l x 1 1 求抛物线解析式 2 直线 y kx 2 k 0 与抛物线相交于两点 M x1 y1 N x2 y2 x1 x2 当 x1 x2 最 小 时 求抛物线与直线的交点 M 和 N 的坐标 3 首尾顺次连接点 O B P C 构成多边形的周长为 L 若线段 OB 在 x 轴上移动 求 L 最 小 时点 O B 移动后的坐标及 L 的最小值 14 如图 抛物线 y ax2 8ax 12a a 0 与 x 轴交于 A B 两点 A 在 B 的左侧 与 y 轴 交于点 C 点 D 的坐标为 6 0 且 ACD 90 1 请直接写出 A B 两点的坐标 2 求抛物线的解析式 3 抛物线的对称轴上是否存在点 P 使得 PAC 的周长最小 若存在 求出点 P 的坐标及 周 长的最小值 若不存在 说明理由 4 平行于 y 轴的直线 m 从点 D 出发沿 x 轴向右平行移动 到点 A 停止 设直线 m 与折线 DCA 的交点为 G 与 x 轴的交点为 H t 0 记 ACD 在直线 m 左侧部分的面积为 S 求 S 关 于 t 的函数关系式及自变量 t 的取值范围 15 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 抛物线 y ax2 2ax 3a a 0 与 x 轴交于 A B 两 点 点 A 在点 B 的左侧 经过点 A 的直线 l y kx b 与 y 轴负半轴交于点 C 与抛物 线 的另一个交点为 D 且 CD 4AC 1 直接写出点 A 的坐标 并求直线 l 的函数表达式 其中 k b 用含 a 的式子表示 2 点 E 是直线 l 上方的抛物线上的动点 若 ACE 的面积的最大值为 4 5 求 a 的值 3 设 P 是抛物线的对称轴上的一点 点 Q 在抛物线上 以点 A D P Q 为顶点的四边形 能 否成为矩形 若能 求出点 P 的坐标 若不能 请说明理由 参考答案参考答案 1 思路点拨 1 利用待定系数法求二次函数与一次函数的解析式 2 利用抛物线的轴对称性 BC 与对称轴的交点即为 M 继而求出其坐标 3 设 P 1 t 用含 t 的代数式表示 PB PC 对直角顶点分三种情况讨论 利用勾股定 理建立方程可求得 t 的值 解答 1 依题意 得 解得 b 2a 1 a b c 0 c 3 a 1 b 2 c 3 抛物线解析式为 y x2 2x 3 对称轴为 x 1 且抛物线经过 A 1 0 B 3 0 把 B 3 0 C 0 3 分别代入直线 y mx n 得 解得 3m n 0 n 3 m 1 n 3 直线 y mx n 的解析式为 y x 3 2 设直线 BC 与对称轴 x 1 的交点为 M 则此时 MA MC 的值最小 把 x 1 代入直线 y x 3 得 y 2 M 1 2 即当点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小时 M 的坐标为 1 2 3 设 P 1 t 又 B 3 0 C 0 3 BC2 18 PB2 1 3 2 t2 4 t2 PC2 1 2 t 3 2 t2 6t 10 若点 B 为直角顶点 则 BC2 PB2 PC2 即 18 4 t2 t2 6t 10 解得 t 2 若点 C 为直角顶点 则 BC2 PC2 PB2 即 18 t2 6t 10 4 t2 解得 t 4 若点 P 为直角顶点 则 PB2 PC2 BC2 即 4 t2 t2 6t 10 18 解得 t1 t2 3 17 2 3 17 2 综上所述 P 的坐标为 1 2 或 1 4 或 1 或 1 3 17 2 3 17 2 2 思路点拨 1 把 A 1 0 B 3 0 两点的坐标代入 y x2 bx c 即可求出 b 和 c 的值 进而求出抛物线的解析式 2 设 D t t2 2t 3 作 DH x 轴 则 S BCD S梯形 DCOH S BDH S BOC 进而得到 S 关 于 t 的二次函数 利用二次函数的性质 确定 D 点坐标与 S BCD的最大值 3 因为两三角形的底边 MB 相同 所以只需满足 MB 上的高相等即可满足题意 解答 1 由解得 1 b c 0 9 3b c 0 b 2 c 3 抛物线解析式为 y x2 2x 3 2 设 D t t2 2t 3 作 DH x 轴 令 x 0 则 y 3 C 0 3 则 S BCD S梯形 DCOH S BDH S BOC t2 2t 3 3 t 3 t t2 2t 3 3 3 1 2 1 2 1 2 t2 t 3 2 9 2 0 3 2 当 t 时 即 D 时 S BCD有最大值 且最大面积为 9 2 2 3 2 3 2 3 2 15 4 27 8 3 P 1 4 过点 P 且与 BC 平行的直线与抛物线的交点即为所求 Q 点之一 直线 BC 为 y x 3 过点 P 且与 BC 平行的直线为 y x 5 由解得 Q1 2 3 y x 5 y x2 2x 3 直线 PM 为 x 1 直线 BC 为 y x 3 M 1 2 设 PM 与 x 轴交于 E 点 PM EM 2 过点 E 且与 BC 平行的直线为 y x 1 从而过点 E 且与 BC 平行的直线与抛物线的交点也为所求 Q 点之一 由解得 Q2 Q3 y x 1 y x2 2x 3 3 17 2 1 17 2 3 17 2 1 17 2 满足条件的 Q 点为 Q1 2 3 Q2 Q3 3 17 2 1 17 2 3 17 2 1 17 2 3 解答 1 抛物线 y ax2 bx c 的顶点坐标为 C 0 2 b 0 c 2 y ax2 bx c 过点 A 1 0 0 a 0 2 a 2 抛物线的解析式为 y 2x2 2 当 y 0 时 2x2 2 0 解得 x 1 点 B 的坐标为 1 0 2 连接 BC 设 P m n PDB BOC 90 当以 P D B 为顶点的三角形与以 B C O 为顶点的三角形相似时 分两种情况 若 OCB DBP 则 即 解得 n OB DP OC DB 1 n 2 m 1 m 1 2 此时点 P 坐标为 m m 1 2 若 OCB DPB 则 即 解得 n 2m 2 OB DB OC DP 1 m 1 2 n 此时点 P 坐标为 m 2m 2 综上所述 满足条件的点 P 的坐标为 m 或 m 2m 2 m 1 2 3 假设在抛物线上存在第一象限内的点 Q x 2x2 2 使 BPQ 是以 P 为直角顶点的等腰 直角三角形 如图 过点 Q 作 QE l 于点 E DBP BPD 90 QPE BPD 90 DBP QPE 在 DBP 与 EPQ 中 BDP PEQ 90 DBP EPQ BP PQ DBP EPQ BD PE DP EQ 分两种情况 当 P m 时 m 1 2 B 1 0 D m 0 E m 2x2 2 m 1 2x2 2 m 1 2 m 1 2 m x 解得 均不合题意 舍去 x1 1 m1 1 x2 1 2 m2 0 当 P m 2m 2 时 B 1 0 D m 0 E m 2x2 2 m 1 2x2 2 2 m 1 2 m 1 m x 解得 均不合题意 舍去 x1 1 m1 1 x2 5 2 m2 9 2 综上所述 不存在满足条件的点 Q 4 思路点拨 1 把两个解析式联立 利用一元二次方程根的判别式求出 a 的取值范 围 利用二次函数解析式求得 M A 的坐标 2 求出两直线的交点 N 从而求出其对称点 P 利用面积之差得 PCD 的面积 3 分两种情况进行讨论 当 P 在 y 轴左侧时 利用平行四边形对角线互相平分得 P 点坐 标 代入二次函数解析式 求得 a 当 P 在 y 轴右侧时 利用平行四边形的对边平行且 相等得 P 点坐标 代入二次函数解析式 求得 a 解答 1 由题意联立 y x2 2x a y 1 2x a 整理得 2x2 5x 4a 0 由 25 32a 0 解得 a 25 32 a 0 a 且 a 0 25 32 令 x 0 得 y a A 0 a 由 y x 1 2 1 a 得 M 1 1 a 2 设直线 MA 的解析式为 y kx b 代入 A 0 a M 1 1 a 得 解得 1 a k b a b k 1 b a 故直线 MA 的解析式为 y x a 联立解得 y x a y 1 2x a x 4 3a y a 3 N 4a 3 a 3 由于 P 点是 N 点关于 y 轴的对称点 P 4a 3 a 3 代入 y x2 2x a 得 a2 a a a 3 16 9 8 3 解得 a 或 a 0 舍去 9 4 A 0 C 0 M 1 AC 9 4 9 4 13 4 9 2 S PCD S PAC S DAC AC xP AC xD 1 2 1 2 3 1 1 2 9 2 9 2 3 当点 P 在 y 轴左侧时 四边形 APCN 为平行四边形 则 AC 与 PN 相互平分 点 P 与 N 关于原点 0 0 中心对称 而 N 故 P 4a 3 a 3 4a 3 a 3 代入 y x2 2x a 得 a2 a a a 3 16 9 8 3 解得 a 或 a 0 舍去 P 15 8 5 2 5 8 当点 P 在 y 轴右侧时 四边形 ACPN 为平行四边形 则 NP AC 且 NP AC 而 N 4a 3 a 3 A 0 a C 0 a 故 P 4a 3 7a 3 代入 y x2 2x a 得 a2 a a 7a 3 16 9 8 3 解得 a 或 a 0 舍去 P 3 8 1 2 7 8 当 P 点为 或 时 以 A C P N 为顶点能构成平行四边形 5 2 5 8 1 2 7 8 1 1 A 为 OB 的中点 B 0 2 A 0 1 抛物线 y ax2 c 对称轴为 y 轴 CD 4 C 2 0 D 2 0 把 A 0 1 D 2 0 代入抛物线 y ax2 c 得解得 c 1 4a c 0 a 1 4 c 1 抛物线的解析式为 y 1 x2 4 2 设点 P x 1 过 P 作 PM y 轴于点 M 则 OM OE 1 x2 4 1 2 1 1 1 1 或 1 1 x2 4 x2 4 x2 4 解得 x1 2 x2 2 x3 0 22 点 P 坐标是 P1 2 1 P2 2 1 P3 0 1 22 3 直线 l 与 P 相切 设点 P x 1 过 P 作 PN l 于点 N 交 x 轴于点 Q x2 4 在 Rt POQ 中 PO2 x2 1 2 x2 1 1 PN2 1 2 2 x2 4 x4 16 x2 2 x4 16 x2 2 x2 4 1 x4 16 x2 2 PN PO 直线 l 与 P 相切 2 1 由抛物线顶点坐标为 N 1 可设其解析式为 y a x 1 2 将 M 2 43 3 43 3 代入 得 a 2 1 2 解得 a 33 43 3 3 3 故所求抛物线的解析式为 y x2 x 3 3 23 33 2 y x2 x x 0 时 y C 0 3 3 23 3333 y 0 时 x2 x 0 解得 x 1 或 x 3 3 3 23 33 A 1 0 B 3 0 BC 2 OB2 OC23 设 P 1 m 当 CP CB 时 有 CP 2 解得 m 1 m 3 23311 当 BP BC 时 有 BP 2 解得 m 2 1 3 2 m232 当 PB PC 时 解得 m 0 1 3 2 m21 m 3 2 综上所述 当 PBC 为等腰三角形时 点 P 的坐标为 1 1 311311 1 2 1 2 1 0 22 3 由 2 知 BC 2 AC 2 AB 4 所以 BC2 AC2 AB2 即 BC AC 连接 BC 并延长至 3 B 使 B C BC 连接 B M 交直线 AC 于点 Q 连接 BQ BM B B 关于直线 AC 对称 QB QB QB QM QB QM MB 又 BM 2 所以此时 QBM 的周长最小 由 B 3 0 C 0 易得 B 3 2 33 设直线 MB 的解析式为 y kx n 将 M 2 B 3 2 代入 得 33 解得 2k n 3 3k n 23 k 3 5 n 7 3 5 即直线 MB 的解析式为 y x 3 5 73 5 同理可求得直线 AC 的解析式为 y x 由解得 33 y 3 5 x 7 3 5 y 3x 3 即 Q x 1 3 y 4 3 3 1 3 43 3 所以在直线 AC 上存在一点 Q 使 QBM 的周长最小 1 3 43 3 3 1 把点 b 2 2b2 5b 1 代入解析式 得 2b2 5b 1 b 2 2 b b 2 3b 3 解得 b 2 抛物线解析式为 y x2 2x 3 2 由 x2 2x 3 0 得 x 3 或 x 1 A 3 0 B 1 0 C 0 3 抛物线的对称轴是直线 x 1 圆心 M 在直线 x 1 上 设 M 1 n 作 MG x 轴于 G MH y 轴于 H 连接 MC MB MH 1 BG 2 MB MC BG2 MG2 MH2 CH2 4 n2 1 3 n 2 解得 n 1 点 M 的坐标为 1 1 3 由 M 1 1 得 MG MH MA MD Rt AMG Rt DMH MAG MDH 由旋转可知 AME DMF AME DMF 若 DMF 为等腰三角形 则 AME 为等腰三角形 设 E x 0 AME 为等腰三角形 分三种情况 当 AE AM 时 则 x 3 E 3 0 555 当 AM ME 时 M 在 AB 的垂直平分线上 MA ME MB E 1 0 当 AE ME 时 则点 E 在 AM 的垂直平分线上 AE x 3 ME2 MG2 EG2 1 1 x 2 x 3 2 1 1 x 2 解得 x E 0 所求点 E 的坐标为 3 0 7 4 7 45 1 0 或 0 7 4 4 1 函数 y ax2 bx c 与 x 轴交于 A B 两点 且一元二次方程 ax2 bx c 0 两根 为 8 2 A 8 0 B 2 0 即 OB 2 又 tan ABC 3 OC 6 即 C 0 6 将 A 8 0 B 2 0 代入 y ax2 bx 6 中 得 a b 3 8 9 4 二次函数解析式为 y x2 x 6 3 8 9 4 2 当 l 在 AB 位置时 P 即为 AB 中点 H 当 l 运动到 AC 位置时 P 即为 AC 中点 K 点 P 的运动路程为 ABC 的中位线 HK HK BC 在 Rt BOC 中 OB 2 OC 6 1 2 BC 2 HK 1010 即点 P 的运动路程为 10 EPF 的大小不会改变 理由如下 DE AB 在 Rt AED 中 P 为斜边 AD 的中点 PE AD PA PAE PEA EPD 1 2 1 2 同理可得 PAF PFA DPF EPF EPD DPF 2 PAE PAF 即 1 2 EPF 2 EAF 又 EAF 大小不变 EPF 的大小不会改变 3 设 PEF 的周长为 C 则 C PE PF EF PE AD PF AD C AD EF 1 2 1 2 在等腰三角形 PEF 中 过 P 作 PG EF 于点 G EPG EPF BAC 1 2 tan BAC tan EPG EG PE EF PE AD C AD EF 1 OC AO 3 4 EG PG 3 4 3 5 6 5 3 5 3 5 AD AD 8 5 又当 AD BC 时 AD 最小 此时 C 最小 又 S ABC 30 BC AD 30 AD 3 C 1 210 最小值为 AD 8 5 24 510 5 1 由题意 设 D a a2 则抛物线 C2的解析式为 y x a 2 a2 1 2 1 2 又 点 C 在抛物线 C2上 将 C 0 2 代入上式 解得 a 2 又因为 D 在 y 轴右侧 所以 a 2 抛物线 C2的解析式为 y x 2 2 2 2 由题意 在 y x 2 2 2 中 令 y 0 则 x 2 2 点 B 在点 A 的右侧 A 2 0 B 2 0 22 又 过点 A B C 的圆的圆心一定在线段 AB 的垂直平分线上 则设 E 2 m 且 CE AE 则 22 2 m 2 m2 2 2 2 解得 m 圆心 E 的坐标为 2 2 3 2 3 2 3 假设存在 F t 使得四边形 CEBF 为菱形 则 BF CF CE 1 2 1 2 2 2 t 2 2 2 t2 解得 t 当 t 时 F 此时 2 1 2222 1 2 CE CF 17 2 22 2 1 2 2 2 9 4 17 2 CF BF BE CE 即存在点 F 使得四边形 CEBF 为菱形 2 1 2 6 1 对于 y 3x 3 当 x 0 时 y 3 当 y 0 时 x 1 点 C 0 3 点 A 1 0 解得 c 3 a b 3 0 b 2a 1 a 1 b 2 c 3 此抛物线解析式为 y x2 2x 3 2 如图 1 点 A 关于直线 l 的对称点是点 B 3 0 连接 BC 交直线 l 于点 P 连接 PA 则此时 PAC 周长最小 设 BC 的解析式为 y kx m 将点 B 3 0 点 C 0 3 代入解析式中 则 解得 3k m 0 m 3 k 1 m 3 BC 的解析式为 y x 3 当 x 1 时 y 2 点 P 为 1 2 3 如图 2 以点 A B M N 为顶点的四边形能为平行四边形 满足要求的点 M 有 3 个 分别是 M1 2 3 M2 4 5 M3 4 21 7 1 B 点坐标为 3 0 OC OB OC OB 3 C 0 3 将 A 1 0 B 3 0 C 0 3 三点的坐标分别代入 y ax2 bx c 得 解得 此抛物线解析式为 y x2 2x 3 a b c 0 9a 3b c 0 c 3 a 1 b 2 c 3 2 过点 E 作直线 EF 平行于 BC 直线 BC 过 B 3 0 C 0 3 yBC x 3 设直线 EF 的解析式为 yEF x b BOC 面积为定值 S四边形 BOCE S BOC S BCE 四边形 BOCE 面积最大时 BCE 面积最大 BC 为定值 当 BC 上的高最大时 BCE 面积最大 此时直线 EF 与抛物线有且只有一 个交点 故一元二次方程 x b x2 2x 3 有两个相等的实数根 整理得 x2 3x b 3 0 9 4 b 3 0 解得 b x1 x2 21 4 3 2 当 x 时 y 点 E 的坐标为 3 2 15 4 3 2 15 4 当 E 点的坐标为 时 S四边形 BOCE 3 3 3 2 15 4 1 2 3 2 15 4 1 2 3 2 15 4 63 8 3 抛物线 y x2 2x 3 的对称轴为 x 1 点 P 在抛物线的对称轴上 设 P 1 m 线段 PA 绕点 P 逆时针旋转 90 后 点 A 的对应点 A 恰好也落在此抛物线上 如图 PA PA APA 90 如图 过 A 作 A N 对称轴于 N 设对称轴与 x 轴交于点 M NPA MPA NA P NPA 90 NA P MPA 在 A NP 与 PMA 中 A NP PMA 90 NA P MPA PA AP A NP PMA A N PM m PN AM 2 A m 1 m 2 代入 y x2 2x 3 得 m 2 m 1 2 2 m 1 3 解得 m 1 m 2 P1 1 1 P2 1 2 8 1 抛物线解析式为 y x 2 x 4 令 y 0 解得 x 2 或 x 4 A 2 0 k 8 B 4 0 直线 y x b 经过点 B 4 0 4 b 0 解得 b 直线 BD 解析 3 3 3 3 43 3 式为 y x 3 3 43 3 当 x 5 时 y 3 D 5 3 33 点 D 5 3 在抛物线 y x 2 x 4 上 3 k 8 5 2 5 4 3 k 83 k 83 9 抛物线的函数表达式为 y x 2 x 4 83 9 2 由抛物线解析式 令 x 0 得 y k C 0 k OC k 点 P 在第一象限内的抛物线上 ABP 为钝角 因此若两个三角形相似 只可能是 ABC APB 或 ABC PAB 若 ABC APB 则 有 BAC PAB 如图 1 所示 设 P x y 过点 P 作 PN x 轴于点 N 则 ON x PN y tan BAC tan PAB 即 k 2 y x 2 y x k P x x k 代入抛物线解析式 y x 2 x 4 得 x 2 x 4 k 2 k 2 k 8 k 8 x k 整理得 x2 6x 16 0 解得 x 8 或 x 2 与点 A 重合 舍去 k 2 P 8 5k ABC APB 即 AC AB AB AP k2 4 6 6 25k2 100 解得 k 45 5 若 ABC PAB 则有 ABC PAB 如图 2 所示 与 同理 可求得 k 2 综上所述 k 或 k 45 52 3 由 1 知 D 5 3 过点 D 作 DN x 轴于点 N 则 3 DN 3 ON 5 BN 4 5 9 3 tan DBA DN BN 33 9 3 3 DBA 30 过点 D 作 DK x 轴 则 KDF DBA 30 过点 F 作 FG DK 于点 G 则 FG DF 1 2 由题意 动点 M 运动的路径为折线 AF DF 所用时间为 AF FG 由垂线段最短可知 AF 1 DF 2 折线 AF FG 最小值就是点 A 到直线 DK 的垂线段 AH 的长度 所以 F 点的横坐标为 2 把 x 2 代入 y x 得 y 2 2 3 3 43 3 3 3 43 3 3 F 2 2 3 当点 F 坐标为 2 2 时 点 M 在整个运动过程中用时最少 3 9 1 由已知对称轴为 x 1 得 1 b 2 b 2 1 抛物线 y x2 bx c 与 x 轴交于点 A m 2 0 和 B 2m 1 0 x2 bx c 0 的解为 m 2 和 2m 1 m 2 2m 1 b m 2 2m 1 c m 1 c 3 抛物线解析式为 y x2 2x 3 2 由得 x2 k 2 x 1 0 x1 x2 k 2 x1x2 1 y kx 2 y x2 2x 3 x1 x2 2 x1 x2 2 4x1x2 k 2 2 4 当 k 2 时 x1 x2 2的最小值为 4 即 x1 x2 的最小值为 2 x2 1 0 x1 1 x2 1 则 y1 0 y2 4 当 x1 x2 最小时 抛物线与直线的交点为 M 1 0 N 1 4 3 由 1 得 O 0 0 B 3 0 P 1 4 C 0 3 O B P C 构成多边形的周长 L OB BP PC CO 又 线段 OB 平移过程中 OB PC 的长度不变 要使 L 最小 只需 BP CO 最短 如图 平移线段 OC 到 BC 四边形 OBC C 是矩形 C 3 3 作点 P 关于 x 轴 或 OB 的对称点 P 1 4 连接 C P 与 x 轴交于点 B 设 C P 解析式为 y ax n 解得 a n 4 3a n 3 a 7 2 n 15 2 y x 当 y 0 时 x 7 2 15 2 15 7 B 0 又 3 故点 B 向左平移 平移到 B 同时 点 O 向左平移 平移 15 7 15 7 6 7 6 7 6 7 到 O 0 6 7 即线段 OB 向左平移 时 周长 L 最短 此时 线段 BP CO 之和最短为 6 7 P C O B OB 3 CP 72 22532 当线段 OB 向左平移 即点 O 平移到 O 0 点 B 平移到 B 0 时 周长 L 6 7 6 7 15 7 最短为 3 10 1 抛物线的解析式为 y ax2 8ax 12a a 0 令 y 0 即 532 ax2 8ax 12a 0 解得 x1 2 x2 6 A 2 0 B 6 0 2 抛物线的解析式为 y ax2 8ax 12a a 0 令 x 0 得 y 12a C 0 12a OC 12a 在 Rt COD 中 由勾股定理得 CD2 OC2 OD2 12a 2 62 144a2 36 在 Rt AOC 中 由勾股定理得 AC2 OC2 OA2 12a 2 22 144a2 4 在 Rt ACD 中 由勾股定理得 DC2 AC2 AD2 即 144a2 36 144a2 4 82 解得 a 或 a 舍去 抛物线的解析式为 y x2 x 2 3 6 3 6 3 6 43 33 3 存在 对称轴为直线 x 4 8a 2a 由 2 知 C 0