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简单形式的柯西不等式 1 2 设为任意实数 联想 3 4 5 证法一 如图 设是平面上任意的两个向量 的夹角为 那么 上式两边同时取绝对值 得 又 所以 显然 等号成立的条件是 向量共线 将 式用坐标表示 可得 即 6 7 证法 三 利用比较法 所以 显然 上式当且仅当时 号成立 8 9 10 二维形式的柯西不等式是向量形式的柯西不等式的坐标表示 11 12 13 14 例题讲解 15 例题讲解 16 规律方法1 二维形式的柯西不等式可以理解为四个数对应的一种不等关系 对谁与谁组合是有顺序的 不是任意的搭配 因此要仔细体会 加强记忆 例如 a2 b2 d2 c2 ac bd 2是错误的 而应有 a2 b2 d2 c2 ad bc 2 2 柯西不等式取等号的条件也不容易记忆 如 a2 b2 c2 d2 ac bd 2等号成立的条件是ad bc 可以把a b c d看作成等比 则ad bc来联想记忆 17 例题讲解 18 规律方法2利用柯西不等式求最值 先变形凑成柯西不等式的结构特征 是利用柯西不等式求解的先决条件 有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式 但只要适当添加上常数项或和为常数的各项 就可以应用柯西不等式来解 这也是运用柯西不等式解题的技巧 而有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的 但在运用过程中 每运用一次前后等号成立的条件必须一致 不能自相矛盾 否则就会出现错误 多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一 19 例4已知a b R 且a b 1 求证 ax by 2 ax2 by2 例题讲解 20 定理1 简单形式的柯西不等式 定理2 柯西不等式的向量形式 小结 定理3 二维形式的三角不等式
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