二次函数知识点(大全)

第 1 页 二次函数知识点归纳及提高训练二次函数知识点归纳及提高训练 1 1 定义 定义 一般地 如果是常数 那么叫做的二次函数 cbacbxaxy 2 0 ayx 2 2 二次函数二次函数的性质的性质 2 axy 1 抛物线的顶点是坐标原点 对称轴是轴 2 函数的图像与的符号关系 2 axy 0 ay 2 axy a 当时抛物线开口向上顶点为其最低点 当时抛物线开口向下顶点为其最高点0 a 0 a 3 3 二次函数二次函数 的图像是对称轴平行于 包括重合 轴的抛物线 cbxaxy 2 y 4 二二次次函函数数用配方法可化成 的形式 其中 cbxaxy 2 khxay 2 a bac k a b h 4 4 2 2 5 二次函数二次函数由特殊到一般 可分为以下几种形式 2 axy kaxy 2 2 hxay khxay 2 cbxaxy 2 6 抛物线抛物线的三要素 开口方向 对称轴 顶点 决定抛物线的开口方向 a 当时 开口向上 当时 开口向下 相等 抛物线的开口大小 形状相同 0 a0 aa 平行于轴 或重合 的直线记作 特别地 轴记作直线 yhx y0 x 7 顶点决定抛物顶点决定抛物线的位置 几个不同的二次函数 如果二次项系数相同 那么抛物线的开口方向 开口a 大小完全相同 只是顶点的位置不同 8 求抛物线求抛物线的顶点 对称轴的方法 1 公式法公式法 顶点是 对称轴是直线 a bac a b xacbxaxy 4 4 2 2 2 2 a bac a b 4 4 2 2 a b x 2 2 配配方方法法 运用配方 法将抛物线的解析式化为的形式 得到顶点为 对称轴是 khxay 2 h khx 3 运用抛物线的对称性 由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形 所以对称轴的连线的垂直平分线是 抛物线的对称轴 对称轴与抛物线的交点是顶点 用配方法求得的顶点 再用公式法或对称性进行验证 才能做到万无一失 9 抛物线抛物线中 的作用cbxaxy 2 cba 1 决定开口方向及开口大小 这与中的完全一样 a 2 axy a 2 和共同决定抛物线对称轴的位置 由于抛物线的对称轴是直线 故 bacbxaxy 2 a b x 2 时 对称轴为轴 即 同号 时 对称轴在轴左侧 0 by 0 a b aby 即 异号 时 对称轴在轴右侧 0 a b aby 3 的大小决定抛物线与轴交点的位置 ccbxaxy 2 y 当时 抛物线与轴有且只有一个交点 0 0 xcy cbxaxy 2 yc 抛物线经过原点 与轴交于正半轴 与轴交于负半轴 0 c0 cy0 cy 以上三点中 当结论和条件互换时 仍成立 如抛物线的对称轴在轴右侧 则 y 0 a b 10 几种特殊的二次函数的图像特征如下 几种特殊的二次函数的图像特征如下 函数解析式开口方向对称轴顶点坐标 2 axy 轴 0 xy 0 0 kaxy 2 轴 0 xy 0 k 2 hxay hx 0 h khxay 2 当时0 a 开口向上 当时0 a 开口向下 hx h k 第 2 页 cbxaxy 2 a b x 2 a bac a b 4 4 2 2 第 3 页 11 用待定系数法求二次函数的解析式用待定系数法求二次函数的解析式 1 一般式 已知图像上三点或三对 的值 通常选择一般式 cbxaxy 2 xy 2 顶点式 已知图像的顶点或对称轴 通常选择顶点式 khxay 2 3 交点式 已知图像与轴的交点坐标 通常选用交点式 x 1 x 2 x 21 xxxxay 12 直线与抛物线的交点直线与抛物线的交点 1 轴与抛物线得交点为 ycbxaxy 2 c 0 2 与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点 yhx cbxaxy 2 hcbhah 2 3 抛物线与轴的交点x 二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标 是对应一元二次方程cbxaxy 2 x 1 x 2 x 的两个实数根 抛物线与 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定 0 2 cbxaxx 有两个交点抛物线与轴相交 0 x 有一个交点 顶点在轴上 抛物线与轴相切 x 0 x 没有交点抛物线与轴相离 0 x 4 平行于轴的直线与抛物线的交点x 同 3 一样可能有 0 个交点 1 个交点 2 个交点 当有 2 个交点时 两交点的纵坐标相等 设纵坐标 为 则横坐标是的两个实数根 kkcbxax 2 5 一次函数的图像 与二次函数的图像的交点 由方程组 0 knkxyl 0 2 acbxaxyG 的解的数目来确定 cbxaxy nkxy 2 方程组有两组不同的解时与有两个交点 lG 方程组只有一组解时与只有一个交点 方程组无解时与没有交点 lG lG 6 抛物线与轴两交点之间的距离 若抛物线与轴两交点为 由于xcbxaxy 2 x 00 21 xBxA 是方程的两个根 故 1 x 2 x0 2 cbxax a c xx a b xx 2121 aa acb a c a b xxxxxxxxAB 44 4 2 2 21 2 21 2 2121 13 二次函数与一元二次方程的关系二次函数与一元二次方程的关系 1 一元二次方程就是二次函数当函数 y 的值为 0 时的情况 cbxaxy 2 cbxaxy 2 2 二次函数的图象与轴的交点有三种情况 有两个交点 有一个交点 没有交点 cbxaxy 2 x 当二次函数的图象与轴有交点时 交点的横坐标就是当时自变量的值 cbxaxy 2 x0 yx 即一元二次方程的根 0 2 cbxax 3 当二次函数的图象与轴有两个交点时 则一元二次方程有两个不cbxaxy 2 xcbxaxy 2 相等的实数根 当二次函数的图象与轴有一个交点时 则一元二次方程cbxaxy 2 x 有两个相等的实数根 当二次函数的图象与轴没有交点时 则一0 2 cbxaxcbxaxy 2 x 元二次方程没有实数根0 2 cbxax 14 二次函数的应用 二次函数的应用 1 二次函数常用来解决最优化问题 这类问题实际上就是求函数的最大 小 值 2 二次函数的应用包括以下方面 分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系 运用二次函数的知识解决实际问题中的最大 小 值 15 解决实际问题时的基本思路 解决实际问题时的基本思路 1 理解问题 2 分析问题中的变量和常量 3 用函数表达式表示出 第 4 页 它们之间的关系 4 利用二次函数的有关性质进行求解 5 检验结果的合理性 对问题加以拓展 等 提高训练提高训练 一 填空题 1 已知函数 y m 2 xm m 1 是二次函数 则 m 2 二次函数 y x2 2x 的对称轴是 x 3 函数 s 2t t2 当 t 时有最大值 最大值是 4 已知抛物线 y ax2 x c 与 x 轴交点的横坐标为 1 则 a c 5 抛物线 y 5x 5x2 m 的顶点在 x 轴上 则 m 6 已知抛物线 y ax2 bx c 的图象与 x 轴有两个交点 那么一元二次方程 ax2 bx c 0 的根的情况是 7 已知二次函数 y x2 2x 3 的图象与 x 轴交于 A B 两点 在 x 轴上方的抛物线上有一点 C 且 ABC 的面 积等于 10 则点 C 的坐标为 8 把抛物线 y 2 x 1 2向下平移 单位后 所得抛物线在 x 轴上截得的线段长为 5 9 如果二次函数 y x2 3x 2k 不论 x 取任何实数 都有 y 0 则 k 的取值范围是 10 函数 y ax2 bx c a b c 是常数 问当 a b c 满足什么条件时 l 它是二次函数 2 它是一次函数 3 它是正比例函数 二 选择题 13 抛物线 y x 1 2 1 的顶点坐标是 A 1 1 B 1 1 C 1 1 D 1 1 14 抛物线 y x2 x 7 与坐标轴的交点个数为 A 3 个 B 2 个 C 1 个 D 0 个 15 把抛物线 y x2 bx c 的图象向右平移 3 个单位 再向下平移 2 个单位 所得图象的解析式是 y x2 3x 5 则 有 A b 3 c 7 B b 9 c 15 C b 3 c 3 D b 9 c 21 16 若二次函数 y ax2 c 当 x 取 x1 x2 x1 x2 时 函数值相等 则当 x 取 x1 x2时 函数值为 A a c B a c C c D c 17 当 a b 为实数 二次函数 y a x 1 2 b 的最小值为 1 时有 A ab D a b 18 已知函数 y 3x2 6x k k 为常数 的图象经过点 A 0 85 y1 B 1 1 y2 C y3 则有 2 A y1 y2y2 y3 C y3 y1 y2 D y1 y3 y2 19 如果二次函数 y ax2 bx c 的顶点在 y 2x2 x 1 的图象的对称轴上 那么一定有 A a 2 或 2 B a 2b C a 2b D a 2 b 1 c 1 20 抛物线 y ax2 bx c a0 以下结论 1 a b 0 2 a c 0 3 a b c 0 4 b2 2ac 5a2其中正确的个数有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 三解答题 22 已知抛物线 y x2 2x 8 1 求证 该抛物线与 x 轴一定有两个交点 第 5 页 2 若该抛物线与 x 轴的两个交点分别为 A B 且它的顶点为 P 求 ABP 的面积 23 抛物线 y ax2 bx c 经过 A 1 4 B 1 0 C 2 5 三点 1 求抛物线的解析式并画出这条抛物线 2 直角坐标系中点的横坐标与纵坐标均为整数的点称为整点 试结合图象 写出在第四象限内抛物 线上的所有整点的坐标 24 某公司推出了一种高效环保型洗涤用品 年初上市后 公司经历了从亏损到盈利 过程 下面的二次函数图象 部分 刻画了该公司年初以来累积利润 s 万元 与 销售时间 t 月 之间的关系 即前 t 个月的利润总和 s 和 t 之间的关系 根据图象提供的信息 解答下列问题 1 由已知图象上的三点坐标 求累积利润 s 万元 与时间 t 月 之间的函数关系式 2 求截止到几月末公司累积利润可达到 30 万元 3 求第 8 个月公司所获利润是多少万元 1 1 2 4 3 1 1 2 3 4 5 6 t 月 S 万元 第 24 题 25 已知抛物线 y ax2 bx c 开口向下 并且经过 A 0 1 和 M 2 3 两点 1 若抛物线的对称轴为直线 x 1 求此抛物线的解析式 2 如果抛物线的对称轴在 y 轴的左侧 试求 a 的取值范围 第 6 页 A 4 B 4 C 2 D 2 7 零不是 A 非负数 B 有理数 C 正数 D 整数 8 下列说法错误的是 A 0 5 是分数 B 0 不是正数也不是负数 C 2 74 是负分数 D 非负数就是正数 9 下列说法正确的是 A 一个数的平方必是非负数 B 一个数的平方必大于这个数 C 一个数的奇次方是负数 D 一个数的奇次方是正数 三 计算 14 1 0 5 2 3 2 36 12 1 4 3 6 1 3 1 20 2 10 10 3 2 1 3 4 12 1 4 1 3 2 2 100 12 12 1 814 3 1214 3 514 3 10 2 3 1 2 1 36 9 1 4 1 0 5 2 3 2 2 用 填空 1 若 a b 0 c 则 0 cba 2 若 a 0 b c 则 0 cba 3 观察算式 113 921 33 36321 333 1004321 3333 第 7 页 按规律填空 10 4321 33333 4321 33333 n 4 小吃店一周中每天的盈亏情况如下 盈余为正 128 3 元 25 6 元 15 元 27 元 7 元 36 5 元 100 元 一周总的盈亏情况如何 测得某小组 10 位同学身高如下 单位 厘米 162 160 157 161 156 153 165 157 162 178 请用简便方法计算 10 位同学的平均身高