掘进工作面围岩散热的有限体积法计算

掘进工作面围岩散热的有限体积法计算 摘摘 要要 作者根据掘进工作面围岩温度场的特点 分析了移动柱坐标下的导热微分方程 合理地确定了温度场边界 划分了单元格 推导了该特定导热微分方程的变分方程 阐述 了有限体积法解算的原理 论述了由温度场解算结果计算围岩散热量的方法 由此原理和 方法 编制了计算机程序 关键词关键词 掘进工作面 温度场 围岩散热 有限体积法 一 问题的提出 热传递是一种复杂的热物理过程 在具体研究地壳中的热传递时 我们以地壳的结构 体作为温度传递介质 因而地壳结构体的热物理性质将是控制地壳中温度场分布的一个主 要因素 一般情况下温度 T 在温度介质中的分布可以看作空间位置 x y z 和时间过程 t 的函 数 即 T T x y z t 1 在地壳内部这种温度场的空间分布称为地热温度场 在特定情况下 当温度 T 只与空 间坐标 x y z 有关而与时间过程 无关时 把这种不随时间变化的温度场称为稳定温度 场 随时间变化的温度场称为非稳定温度场 从空间分布来说 温度场又可以分为一维温 度场 二维温度场和三维温度场 无论是一维温度场 二维温度场或三维温度场 它们都 分别有稳定温度场和非稳定温度场之分 当巷道一经开凿必有风流掠过壁面 二者直接接触时将发生对流换热 当空气温度低 于地温时 围岩被冷却 地热将从壁面传给风流 使与风流接触的壁面失去热量 温度降 低 此时 壁面与其相临的岩体间产生温差 在温差作用下 岩体内的热量以导热形式传 向壁面 而后又以对流形式传给风流 如此进行下去 随通风时间的增长 在巷道径向的 围岩体内的温度分布将是靠近壁面低 远离壁面高 接近于原始岩温 这样就在巷道周围 岩体内形成了一个调热圈 调热圈内的岩温是空间和时间的函数 是非稳定温度场 为了便于求解计算 可忽略一些次要因素 以便抓住主要矛盾 使无法求解的复杂问 题得到简化 因此 本文也首先将掘进工作面围岩温度场做如下假设 1 掘进巷道是轴对称的 2 掘进工作面是均匀向前推进的 3 岩层是均质的 4 岩体内沿工作面长度方向无热流传递 5 工作面上任一横断面上的气温不随时间而变化 有限体积法自 1982 年被提出以来 作为守恒型问题的离散方法具有较长的历史 已经 获得了较大的发展 其基本思路是 将计算区域划分为一系列不重复的控制体积 并使每 个网格点周围有一个控制体积 将待解的微分方程对每一个控制体积积分 然后对积分式 进行离散化处理 再导出离散化方程 二 内部控制点的选取二 内部控制点的选取 1 内部节点能量守恒方程 内部节点能量守恒方程 在 1 式温度场中某一点 M 任取包含点 M 内部的一封闭曲面 F 其所围区域记作 V 边界为 为 F 的外法线方向上的单位矢量 在封闭曲面 F 上任取一面积微元 dF 根n 据傅里叶定律 单位时间内通过曲面 F 流入区域 V 的全部热量为 1 Q 2 区域 V 内各点温度从 T x y z t 变化到 T x y z t t 于是单位时间内温度变化所 需热量为 2 Q 3 2p V T QCdV t 根据热力学第一定律 即能量守恒与转化定律 导入与导出围岩微元体的净热量 微元体中内热源发热量 围岩微元体内能增 1 Q 3 Q 量 即 2 Q 132 QQQ 4 vp FVV T qdFq dVCdV t A 对于二维问题 式 4 可以表示为 5 vp FF T qdVq dFCdF t AAA 根据傅立叶定律 在一个温度连续分布的介质体内部 介质空间某点 x y z 上在 时间他时的温度梯度与热流通量可以表示为 6 q x y z tgradT 由于温度梯度式是一个矢量函数 所以温度介质体内的热流通量也是一个矢量 对于 二维平面来看 热流通量向量沿 x y 轴的分量应为 7 x y T q x T q y 式中 材料的导热系数 WmC gradT 温度梯度 C m 但是要确定热流通量的大小 还应进一步知道物体内的温度场 为此目的 象其它数学 物理问题一样 首先要找到上式的微分方程 将式 7 代入式 5 得 8 xyvp FF T q dyq dxq dFCdF t AAAA 1 F QqdF A 式中 沿 x y 轴方向的热流密度 xy q q 2 Wm 材料的内热源强度 v q 3 Wm 材料的密度 3 kg m 材料的比热容 p C J kgC T 温度 C t 时间 s 2 内部节点能量方程离散化 内部节点能量方程离散化 把区域 V 划分成若干个单元 单元形状为三角形 每个单元与三个节点相关联 几个 单元拼接起来形成一个控制体 如图 1 所示 图 1 现以对图 1 中的内部节点 7 任意 进行热质量平衡分析 多边形 ABCDEF 控制体为 分析对象 此时 式 8 中的控制体为图 1 中的 n n 6 个小三角形拼接的多边形 ABCDEF 边界为边界 A B C D E F A 于是式 8 可以表示为 6666 1111 xlkylkvlkplk kkkk T qyqxq SCS t 9 式中 节点 7 的第 k 个小控制体的对边在 x y 轴摄影长度 m kk yx 节点 7 的第 k 个小控制体的面积 k S 2 m 根据式 9 任取一内部节点 l 建立如下热平衡方程 1111 nnnn xlkylkvlkplk kkkk T qyqxq SCS t 10 式中 节点 l 的第 k 个小控制体的对边在 x y 轴摄影长度 m lklk yx 节点 l 的第 k 个小控制体的面积 lk S 2 m 式 10 可写成 11 1111 0 nnnn xlkylkvlkplk kkkk T qyqxq SCS t 即 1 0 n lk k J 12 图 1 所示的第 k 个三角形单元对 m 点能量方程的贡献 mkxmkymkvkpk T Jqyqxq SCS t 13 3 温度插值函数 温度插值函数 任取一个三角形单元 其顶点分别为 i j m 如图 2 所示 图 2 设单元中温度 T 沿 x 轴和 y 轴均呈线性变化 则 1 2 iiiijjjjmmmm Tab xc y Tab xc y Tab xc y T S 14 式中 ijmmj ax yx y ijm byy imj cxx jmiim ax yx y jmi byx jim cxx mijji ax yx y mij byy mji cxx 1 2 ijji Sbcb c 根据式 7 14 得 2 2 xiijjmm yiijjmm T qbTb Tb T xS T qcTc Tc T yS 15 由温度插值函数得 21 33 Aim TTT 21 33 Bjm TTT 因此 1225 3999 j mimAB T TTTTTT ttttttt 16 将式 10 和式 16 代入式 15 得 22 224 23239 225 999 485 39812 mki ijjm miji ijjm mjiv j im p j im i mi mij mj mjmmmv JbTb Tb TyycTc Tc TxxqS S T TT C ttt T TTSS bbccTb bc cTbcTqC Sttt 17 同理可得 22 485 39812 j im jkijijijjjj mj mmv T TTSS Jbbcc TbcTb bc cTqC Sttt 18 22 485 39812 j im ikiiiijijji mi mmv T TTSS JbcTbbcc TbbccTqC Sttt 19 由式 17 18 19 可得单元 k 对其三个节点的能量方程的贡献矩阵表达式 i ikkiiiiijimiiijim j jkjijjjmkjjjijjjm mimjmmmimjmm mkkmm m T t Jtpkkknnn T Jkkktpnnn t kkknnn Jtp T t 20 式中 22 ln ln 20 81 8 81 3 llll nllnln ll nl kbc kkbbc c S nC S nnC S 三 边界节点控制体三 边界节点控制体 1 边界节点能量守恒方程 图 3 如图 3 所示 根据能量守恒定律对任意边界点 5 进行分析 可得 4xyvp FF T q dyq dxQq dFCdF t AAAA 21 式中 外界导入与导出控制体的热量差 4 Q 2 边界节点能量守恒方程离散化 1 第一类边界点 边界 s 上温度为已知值 所以不必求解 2 第二类边界点 边界 s 上的热流密度为已知 则 2 q 42 jm Qq ds 带入式 21 可得 33333 2 11111 xkykkvkpk kkkkk T qyqxqsq SCS t 22 式中 节点 5 的第 k 个小控制体的对边在 x y 轴的摄影长度 m kk yx 节点 5 的第 k 个小控制体的面积 k S 2 m 节点 5 的第 k 个小控制体的边界 jm 的长度 m k s 任取一边界节点 l 设其与 n 个单元相关联 则可建立如下热平衡方程 2 11111 nnnnn xlkylklkvlkplk kkkkk T qyqxqsq SCS t 23 式中 节点 l 的第 k 个小控制体的对边在 x y 轴的摄影长度 m lklk yx 节点 l 的第 k 个小控制体的面积 lk S 2 m 节点 l 的第 k 个小控制体的边界 jm 的长度 m lk s 将式 23 可写成 24 2 11111 0 nnnnn xlkylklkvlkplk kkkkk T qyqxqsq SCS t 即 1 0 n lk k J 25 图 3 所示的第 k 个三角形单元对 m 点能量方程的贡献 2mkxmkymkvkikpk T Jqyqxq Sq sCS t 26 将式 10 和式 16 代入式 25 得 2 22 2 224 23239 2225 3999 4285 393812 mki ijjm miji ijjm mjiv j im ip j im i mi mij mj mjmmmvi JbTb Tb TyycTc Tc TxxqS S T TT qsC ttt T TTSS bbccTb bc cTbcTqqsC Sttt 27 同理可得 22 2 4285 393812 j im jkijijijjjj mj mmvi T TTSS Jbbcc Tbc Tb bc cTqq sC Sttt 28 22 485 39812 j im ikiiiijijji mi mmv T TTSS JbcTbbcc TbbccTqC Sttt 29 由式 27 28 29 可得单元 k 对其三个节点的能量方程的贡献矩阵表达式 30 i ik kiiiiijimiiijim j jkjijjjmkjjjijjjm mimjmmmimjmm kmm mk m T t J tpkkknnn T Jkkktpnnn t kkknnn tp J T t 式中 22 ln ln 20 81 8 81 3 llll nllnln ll nl kbc kkbbc c S nC S nnC S 3 第 3 类边界节点 与围岩接触的流体介质的温度和换热系数为已知 则 f T 42 2 2 33 33 2 j m j j m fff jmjmjmjm T T T T T Qq dsTTdsTdsTds 31 式中 为对流换热系数 2 W mC A 单元 k 对其三个节点的能量