人教版初三数学旋转模型(含详细解析)

1 15 旋转模型旋转模型 授课日期授课日期时时 间间 主主 题题 教学内容教学内容 1 巩固并掌握旋转的性质 2 结合辅助线的构造 更深刻的认识旋转的性质 知知识识结结构构知知识识结结构构 1 在平面内 将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度 这样的图形运动称为旋转 2 旋转具有以下特征 1 图形中的每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度 2 对应点到旋转中心的距离相等 3 对应角 对应线段相等 4 图形的形状和大小都不变 3 旋转的思想 旋转的思想 旋转也是图形的一种基本变换 通过图形旋转变换 从而将一些简单的平面图形按 要求旋转到适当的位置 使问题获得简单的解决 它是一种要的解题方法 4 旋转不同类型 旋转不同类型 一 正三角形类型 一 正三角形类型 在正中 为内一点 将绕点按逆时针方向旋转 使得与ABC PABC ABP A60 AB 重合 经过这样旋转变化 将图 1 1 a 中的 三条线段集中于图 1 1 b 中的ACPAPBPC 一个中 此时也为正三角形 PCP PCP 2 15 例题例题 如图 1 1 设是等边内的一点 PA 3 PB 4 PC 5 的度数是PABC APB 1509060 3 PBPAPPAPB RTPBPAPPCAPBAP BPAPAPCAPBAPABC 为为正三角形 易证 则 连结且的外侧 作简解 在 二 正方形类型 二 正方形类型 在正方形中 P 为正方形内一点 将绕点按顺时针方向旋转 使ABCDABCDABP B90 得与重合 经过旋转变化 将图 2 1 a 中的 三条线段集中于图 2 1 b BABCPAPBPC 中的中 此时为等腰直角三角形 CPP CPP 例题例题 如图 2 1 是正方形内一点 点到正方形的三个顶点 的距离分PABCDPABC 3 15 别为 PA 1 PB 2 PC 3 求此正方形 ABCD 面 8 2 9 2 1 3 2324 422 1809090 90 23 2 1 SSSS PFCRTEPARTEPFRTABCD RTEPF FPEPEFEPF DFDFEDEF FDE ADCFDCEDAEDF PBCPBA PBCFDCPBAEDA PFPE APEAP BPCDFCDFC ABPADEEPAPAEBAPDAEAED 正方形 为可知 由勾股定理的逆定理 中 在 在一条直线上 点 又 同理 为等腰三角形 又易证 且有 同样方法 作 则 连结使作 简解 三 等腰直角三角形类型 三 等腰直角三角形类型 在等腰直角三角形中 为内一点 将绕点按逆时针ABC 90C PABC APC C 方向旋转 使得与重合 经过这样旋转变化 在图 3 1 b 中的一个为等腰直角90 ACBC PCP 三角形 4 15 例题例题 如图 在中 ACB 900 BC AC P 为内一点 且 PA 3 PB 1 PC 2 ABC ABC 求的度数 BPC 1359045 90 2213 2 PBPCPPBPC PBPRTPBP PPBPBPPBP CPPRTACPBCP PPCPCPACPBCPABCRT 为知 由勾股定理的逆定理可 中 在 为等腰直角三角形 易证 则 连结且的外侧 作 简解 在 典型例题典型例题 利用旋转的特征 可巧妙解决很多数学问题 如 一一 求线段长求线段长 例例 1 如图 已知长方形 ABCD 的周长为 20 AB 4 点 E 在 BC 上 且 AE EF AE EF 求 CF 的长 解析 将 ABE以点 E 为旋转中心 顺时针旋转90 此时点 B 旋转到点B 处 AE 与 EF 重合 5 15 由旋转特征知 B E BC 四边形B ECF 为长方形 CE BF AB CF CE B E CE BE EC BC 6 CF BC CE 6 4 2 二二 求角的大小求角的大小 例例 2 如图 在等边 中 点 分别为 上的两点 且 与交ABC EDABBCBECD ADCE 于点 求的大小 MAME 解析 因为 BCAC 60ABCACD BECD 所以以的中心 等边三角形三条中线的交点 为旋转ABC O 中心 将顺时针旋转就得到了 ADC 120 CEB AME 180 AMC 180 120 60 三三 进行几何推理进行几何推理 例例 3 如图 点在正方形的边上 平分 请说明成立的理FABCDBCAEDAF DEAFBF 由 6 15 数学思想是解数学题的精髓和重要的指导方法 在平移和旋转中的应用也相当的广泛 一般可以归 结为两种思想 对称的思想和旋转的思想 具体的分析如下 例例 4 4 如图 正方形 ABCD 内一点 P PAD PDA 15 连结 PB PC 请问 PBC 是等边三角 形吗 为什么 分析分析 本题关键是说明 PCD PBA 30 利用条件可以设想将 APD 绕点 D 逆时针方向旋转 90 而使 A 与 C 重合 此时问题得到解决 解析解析 将 APD 绕点 D 逆时针旋转 90 得 DP C 再作 DP C 关于 DC 的轴对称图形 DQC 得 CDQ 与 ADP 经过对折后能够重合 PD QD PDQ 90 15 15 60 PDQ 为等边三角形 PQD 60 DQC APD 180 15 15 150 PQC 360 60 150 150 DQC PQ QD CQ PCQ DCQ 15 PCD 30 PCB 60 7 15 PC BC CD PBC 为等边三角形 例 5 已知 如图 E 是正方形 ABCD 的边 BC 上一点 AF 平分 EAD 交 CD 于点 F 说明 AE BE DF 的理由 分析分析 由于要证的 3 条线段 AB BE DF 分散在两个三角形中 可利用旋转变换 将其放到一 个三角形中 解析解析 把 ADF 绕点 A 顺时针旋转 90 则点 D 转到了点 B 的位置 点 F 转到了点 F 的位置 根据旋转的性质得 3 1 F B FD AF B AFD ABCD 为正方形 D ABF 90 F B E C 在一条直线上 又 1 2 EAB 90 3 2 EAB 90 F AE 2 90 又 AFD 1 90 AF B 1 90 1 2 F AE AF B AE F E F B BE FD BE 例例 6 如图 P 是正方形 ABCD 内一点 将 ABP 绕点 B 顺时针旋转 90 使 AB 与 CB 重合 BP 到达 BP 处 AP 到达 CP 处 若 AP 的延长线正好经过 P 求 APB 的度数 分析分析 此题运用旋转将 ABP 绕点 B 顺时针旋转 90 根据旋转性质求出 BP C 的度数即可 8 15 而 BP C 又是 BP P 与 CP P 之和 可各个击破 从而得解 解析解析 由旋转的性质及特征可知 PBP 90 AP P C BP BP 在 BPP 中 BP PBPP 1 2 1809045 又 AP 的延长线正好经过 P 点 AP C 90 BP C AP C BP P 135 从而可得 APB 135 例例 7 已知 如图 E F G 分别是正方形 ABCD 中 BC AB CD 上的点 且 AE FG 求证 AE FG 分析分析 AE FG 所在位置不易证明相等 可将其一改变位置 如可用平移 旋转将其位置改变后 再进行证明 证明证明 延长 AB 至 F 使 BF BE 连结 CF 正方形 ABCD AB CB ABC 90 又 CBF 90 BE BF ABE 绕点 B 顺时针旋转 90 可得 CBF AE CF AE CF FG AE FG CF 又 正方形 ABCD AB CD 四边形 GFF C 为平行四边形 CF FG AE FG 例 8 如图 P 是正方形 ABCD 中 AC 上一点 PE AD 于 E PF CD 于 F 求证 1 OE OF 2 OE OF 9 15 分析分析 充分利用正方形的中心对称性及旋转变换 证明证明 正方形 ABCD ADC 90 DAC 45 DE AD PED 90 PF CD PFD 90 四边形 EPFD 为矩形 PE DF 又 PED 90 DAC 45 APE 45 AEP 中 AE PE AE DF 正方形 ABCD 为中心对称图形 AOD 绕点 O 顺时针旋转 90 与 DOC 重合 A 与 D 为对应点 又 AE DF E 与 F 为对应点 由旋转变换的特征知 OE OF OE OF 例例 9 ABC 为等边三角形 点 D E F 分别在边 AC AB BC 上 且 AE BF CD 连结 AF BD CE 分别交于点 G H M 1 求 1 的度数 2 判断 GMH 的形状 分析分析 等边三角形是旋转对称图形 且每个角都是 60 1 是 BCH 的外角 可知 1 2 3 10 15 而 2 4 1 4 3 60 从而得证 解析解析 1 等边 ABC 是旋转对称图形 且 AE BF CD 所以 ABC 绕旋转中心旋转 120 后 AEC BFA CDB 能够重合 2 4 由 1 2 3 1 4 3 60 2 同理可得 GMH MGH 60 GMH 是等边三角形 观察思考 旋转是几何变换中的基本变换 它一般先对给定的图形或其中一部分 通过旋转 改变位观察思考 旋转是几何变换中的基本变换 它一般先对给定的图形或其中一部分 通过旋转 改变位 置后得新组合 然后在新的图形中分析有关图形之间的关系 进而揭示条件与结论之间的内在联系 置后得新组合 然后在新的图形中分析有关图形之间的关系 进而揭示条件与结论之间的内在联系 找出证题途径 找出证题途径 一 选择题一 选择题 1 在下列图形中 既是轴对称图形 又是中心对称图形的是 2 如图 该图形围绕自己的旋转中心 按下列角度旋转后 不能与其自身重合的是 72 108 144 216 3 在线段 等腰梯形 平行四边形 矩形 正五角星 圆 正方形和等边三角形中 既 是轴对称图形 又是中心对称图形的图形有 A 3 个 B 4 个 C 5 个 D 6 个 4 下列命题中的真命题是 A 全等的两个图形是中心对称图形 B 关于中心对称的两个图形全等 C 中心对称图形都是轴对称图形 D 轴对称图形都是中心对称图形 5 如右图 四边形 ABCD 是正方形 ADE 绕着点 A 旋转 900后到达 ABF 的位置 连接 EF 则 AEF 的形状是 A B C D 11 15 A 等腰三角形 B 直角三角形 C 等腰直角三角形 D 等边三角形 6 如图是万花筒的一个图案 图中所有小三角形均是全等三角形 其中把菱形 ABCD 以 A 为中心旋转多少度后可得图中另一阴影的菱形 A 顺时针旋转 60 B 顺时针旋转 120 C 逆时针旋转 60 D 逆时针 旋转 120 二 填空题二 填空题 7 如图 一块等腰直角的三角板ABC 在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到 A B C 的位置 使AC B 三点共线 那么旋转角度的大小为 8 如图 COD 是 AOB 绕点 O 顺时针方向旋转 40 后所得的图形 点 C 恰好在 AB 上 AOD 90 则 D 的度数是 9 如图 将矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转 90 后 得到矩形 AB C D 如果 CD 2DA 2 那么 CC 第 9 题 F E D CB A A B A C B 第 12 题 O D C B A 第 13 题 B D C D CB A 第 14 题 第 15 题 C A B D 第 10 题 12 15 10 如图是中国共产主义青年团团旗上的图案 图案本身没有字母 则至 少旋转 度后能与原来图形重合 三 解答题三 解答题 11 画出下列图形关于点 O 的对称图形 10 分 12 如图所示 方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位长度的正方形 在建立平面 直角坐标系后 的顶点均在格点上 15 分 ABC 1 把 向上平移 个单位后得到对应的 画出 ABC5 111 CBA 111 CBA 2 以原点为对称中心 再画出与 关于原点对称的 O 111 CBAO 222 CBA 3 写出点坐标 222 CBA 探究题 1 已知正方形 ABCD 和正方形 AEFG 有一个公共点 A 点 G E 分别在线段 AD AB 上 15 分 第 13 题 AB C O x y 第 17 题 O B C A 第 16 题 图 1 G F E D C BA D 图 2 G F E C BA 第 18 题 13 15 若将正方形 AEFG 绕点 A 按顺时针方向旋转 连接 DG 在旋转的过程中 你能否从线段 AE BE 和 AB 中找到一条线段的长与线段 DG 的长始终相等 并以图 2 为例说明理由 2 一位同学拿了两块45 三角尺MNK ACB 做了一个探究活动 将MNK 的直角顶点 M放在ABC 的斜边AB的中点处 设4ACBC 15 分 1 如图 1 两三角尺的重叠部分为ACM 则重叠部分的面积为 周长为 2 将图 1 中的MNK 绕顶点M逆时针旋转45 得到图 2 此时重叠部分的面积为 周长为 3