中考二次函数压轴题解题通法

第 1 页 共 45 页 中考二次函数压轴题中考二次函数压轴题 解题通法研究解题通法研究 二次函数在全国中考数学中常常作为压轴题 同时在省级 国家级数学竞赛中也有二 次函数大题 在宜宾市的拔尖人才考试中同样有二次函数大题 在成都 绵阳 泸县二中 等地的外地招生考试中也有二次函数大题 很多学生在有限的时间内都不能很好完成 由 于在高中和大学中很多数学知识都与函数知识或函数的思想有关 学生在初中阶段函数知 识和函数思维方法学得好否 直接关系到未来数学的学习 所以二次函数综合题自然就成 了相关出题老师和专家的必选内容 我通过近 年的研究 思考和演算了上 1000 道二次函 数大题 总结出了解决二次函数压轴题的通法 供大家参考 几个自定义概念 1 三角形基本模型 有一边在 X 轴或 Y 上 或有一边平行于 X 轴或 Y 轴的三角形称 为三角形基本模型 2 动点 或不确定点 坐标 一母示 借助于动点或不确定点所在函数图象的解析 式 用一个字母把该点坐标表示出来 简称 设横表纵 如 动点 P 在 y 2x 1 上 就 可设 P t 2t 1 若动点 在 则可设为 当然 2 321xx 2 321tt 若动点 M 在 X 轴上 则设为 t 0 若动点 M 在 轴上 设为 3 动三角形 至少有一边的长度是不确定的 是运动变化的 或至少有一个顶点是运 动 变化的三角形称为动三角形 4 动线段 其长度是运动 变化 不确定的线段称为动线段 5 定三角形 三边的长度固定 或三个顶点固定的三角形称为定三角形 6 定直线 其函数关系式是确定的 不含参数的直线称为定直线 如 7 X 标 Y 标 为了记忆和阐述某些问题的方便 我们把横坐标称为 x 标 纵坐标称 为 y 标 8 直接动点 相关平面图形 如三角形 四边形 梯形等 上的动点称为直接动点 与之共线的问题中的点叫间接动点 动点坐标 一母示 是针对直接动点坐标而言的 1 求证求证 两线段相等两线段相等 的问题 的问题 借助于函数解析式 先把动点坐标用一个字母表示出来 然后看两线段的长度是什么距离 即是 点点 距离 还是 点轴距离 还是 点线 距离 再运用两点之间的距离公式或点到 x 轴 y 轴 的距离公式或点到直线的距离公式 分别把两条线段的长度表示出来 分别把它们进行化简 即可证得两线段相等 平行于平行于 y y 轴的动线段长度的最大值轴的动线段长度的最大值 的问题 的问题 由于平行于 y 轴的线段上各个点的横坐标相等 常设为 t 借助于两个端点所在的函 数图象解析式 把两个端点的纵坐标分别用含有字母 t 的代数式表示出来 再由两个端点 第 2 页 共 45 页 的高低情况 运用平行于 y 轴的线段长度计算公式 把动线段的长度就表示成 yy下 上 为一个自变量为 t 且开口向下的二次函数解析式 利用二次函数的性质 即可求得动线段 长度的最大值及端点坐标 3 求一个已知点关于一条已知直线的对称点的坐标问题 求一个已知点关于一条已知直线的对称点的坐标问题 先用点斜式 或称 K 点法 求出过已知点 且与已知直线垂直的直线解析式 再 求出两直线的交点坐标 最后用中点坐标公式即可 4 抛物线上是否存在一点 使之到定直线的距离最大抛物线上是否存在一点 使之到定直线的距离最大 的问题 的问题 方法 1 先求出定直线的斜率 由此可设出与定直线平行且与抛物线相切的直 线的解析式 注意该直线与定直线的斜率相等 因为平行直线斜率 k 相等 再由 该直线与抛物线的解析式组成方程组 用代入法把字母 y 消掉 得到一个关于 x 的的 一元二次方程 由题有 4ac 0 因为该直线与抛物线相切 只有一个交点 所 2 b 以 4ac 0 从而就可求出该切线的解析式 再把该切线解析式与抛物线的解析式组 2 b 成方程组 求出 x y 的值 即为切点坐标 然后再利用点到直线的距离公式 计算该 切点到定直线的距离 即为最大距离 方法 2 该问题等价于相应动三角形的面积最大问题 从而可先求出该三角形取得 最大面积时 动点的坐标 再用点到直线的距离公式 求出其最大距离 方法 3 先把抛物线的方程对自变量求导 运用导数的几何意义 当该导数等于定 直线的斜率时 求出的点的坐标即为符合题意的点 其最大距离运用点到直线的距离公式 可以轻松求出 5 5 常数问题 常数问题 1 点到直线的距离中的常数问题 抛物线上是否存在一点 使之到定直线的距离等于一个 固定常数 的问题 先借助于抛物线的解析式 把动点坐标用一个字母表示出来 再利用点到直线的距离 公式建立一个方程 解此方程 即可求出动点的横坐标 进而利用抛物线解析式 求出动 点的纵坐标 从而抛物线上的动点坐标就求出来了 2 三角形面积中的常数问题 抛物线上是否存在一点 使之与定线段构成的动三角形的面积等于一个定常数 的问题 先求出定线段的长度 再表示出动点 其坐标需用一个字母表示 到定直线的距离 再运用三角形的面积公式建立方程 解此方程 即可求出动点的横坐标 再利用抛物线的 解析式 可求出动点纵坐标 从而抛物线上的动点坐标就求出来了 3 几条线段的齐次幂的商为常数的问题 用 K 点法设出直线方程 求出与抛物线 或其它直线 的交点坐标 再运用两点间的 距离公式和根与系数的关系 把问题中的所有线段表示出来 并化解即可 第 3 页 共 45 页 6 6 在定直线 常为抛物线的对称轴 或在定直线 常为抛物线的对称轴 或 x x 轴或轴或 y y 轴或其它的定直线 上是否存在一轴或其它的定直线 上是否存在一 点 使之到两定点的距离之和最小点 使之到两定点的距离之和最小 的问题 的问题 先求出两个定点中的任一个定点关于定直线的对称点的坐标 再把该对称点和另一个 定点连结得到一条线段 该线段的长度 应用两点间的距离公式计算 即为符合题中要求 的最小距离 而该线段与定直线的交点就是符合距离之和最小的点 其坐标很易求出 利 用求交点坐标的方法 7 三角形周长的三角形周长的 最值最值 最大值或最小值最大值或最小值 问题 问题 1 在定直线上是否存在一点 使之和两个定点构成的三角形周长最小 的问题 简 称 一边固定两边动的问题 由于有两个定点 所以该三角形有一定边 其长度可利用两点间距离公式计算 只需另两边的和最小即可 2 在抛物线上是否存在一点 使之到定直线的垂线 与 y 轴的平行线和定直线 这 三线构成的动直角三角形的周长最大 的问题 简称 三边均动的问题 在图中寻找一个和动直角三角形相似的定直角三角形 在动点坐标一母示后 运 用 把动三角形的周长转化为一个开口向下的抛物线来破解 C C AA AA 动动 定定 斜边 斜边 8 8 三角形面积的最大值问题 三角形面积的最大值问题 1 抛物线上是否存在一点 使之和一条定线段构成的三角形面积最大 的问题 简 称 一边固定两边动的问题 方法 1 先利用两点间的距离公式求出定线段的长度 然后再利用上面 的方法 求出抛物线上的动点到该定直线的最大距离 最后利用三角形的面积公式 底 高 1 2 即可求出该三角形面积的最大值 同时在求解过程中 切点即为符合题意要求的点 方法 2 过动点向 y 轴作平行线找到与定线段 或所在直线 的交点 从而把 动三角形分割成两个基本模型的三角形 动点坐标一母示后 进一步可得到 转化为一个开口向下的二次函数 1 x 2 Syy 动三角形上 动 下 动 右 定 左 定 x 问题来求出最大值 2 三边均动的动三角形面积最大 的问题 简称 三边均动 的问题 先把动三角形分割成两个基本模型的三角形 有一边在 x 轴或 y 轴上的三角形 或者 有一边平行于 x 轴或 y 轴的三角形 称为基本模型的三角形 面积之差 设出动点在 x 轴 或 y 轴上的点的坐标 而此类题型 题中一定含有一组平行线 从而可以得出分割后的一 个三角形与图中另一个三角形相似 常为图中最大的那一个三角形 利用相似三角形的性 质 对应边的比等于对应高的比 可表示出分割后的一个三角形的高 从而可以表示出动 三角形的面积的一个开口向下的二次函数关系式 相应问题也就轻松解决了 9 9 一抛物线上是否存在一点 使之和另外三个定点构成的四边形面积最大的问题一抛物线上是否存在一点 使之和另外三个定点构成的四边形面积最大的问题 由于该四边形有三个定点 从而可把动四边形分割成一个动三角形与一个定三角形 连结两个定点 即可得到一个定三角形 的面积之和 所以只需动三角形的面积最大 就会使动四边形的面积最大 而动三角形面积最大值的求法及抛物线上动点坐标求法与 7 相同 第 4 页 共 45 页 1010 定四边形面积的求解定四边形面积的求解 问题 问题 有两种常见解决的方案 方案 一 连接一条对角线 分成两个三角形面积之和 方案 二 过不在 x 轴或 y 轴上的四边形的一个顶点 向 x 轴 或 y 轴 作垂线 或者把该点与原点连结起来 分割成一个梯形 常为直角梯形 和一些三角形的面积之和 或差 或几个基本模型的三角形面积的和 差 11 11 两个三角形相似两个三角形相似 的问题 的问题 两个定三角形是否相似 1 已知有一个角相等的情形 运用两点间的距离公式求出已知角的两条夹边 看看 是否成比例 若成比例 则相似 否则不相似 2 不知道是否有一个角相等的情形 运用两点间的距离公式求出两个三角形各边的 长 看看是否成比例 若成比例 则相似 否则不相似 一个定三角形和动三角形相似 1 已知有一个角相等的情形 先借助于相应的函数关系式 把动点坐标表示出来 一母示 然后把两个目标三角形 题中要相似的那两个三角形 中相等的那个已知角作为夹角 分别计算或表示出夹角的 两边 让形成相等的夹角的那两边对应成比例 要注意是否有两种情况 列出方程 解此 方程即可求出动点的横坐标 进而求出纵坐标 注意去掉不合题意的点 2 不知道是否有一个角相等的情形 这种情形在相似性中属于高端问题 破解方法是 在定三角形中 由各个顶点坐标求 出定三角形三边的长度 用观察法得出某一个角可能是特殊角 再为该角寻找一个直角三 角形 用三角函数的方法得出特殊角的度数 在动点坐标 一母示 后 分析在动三角形 中哪个角可以和定三角形中的那个特殊角相等 借助于特殊角 为动点寻找一个直角三角 形 求出动点坐标 从而转化为已知有一个角相等的两个定三角形是否相似的问题了 只 需再验证已知角的两边是否成比例 若成比例 则所求动点坐标符合题意 否则这样的点 不存在 简称 找特角 求 动 点标 再验证 或称为 一找角 二求标 三验证 2 某函数图象上是否存在一点 使之与另两个定点构成等腰三角形某函数图象上是否存在一点 使之与另两个定点构成等腰三角形 的问题 的问题 首先弄清题中是否规定了哪个点为等腰三角形的顶点 若某边底 则只有一种情况 若某边为腰 有两种情况 若只说该三点构成等腰三角形 则有三种情况 先借助于动点 所在图象的解析式 表示出动点的坐标 一母示 按分类的情况 分别利用相应类别下两 腰相等 使用两点间的距离公式 建立方程 解出此方程 即可求出动点的横坐标 再借 助动点所在图象的函数关系式 可求出动点纵坐标 注意去掉不合题意的点 就是不能构 成三角形这个题意 3 某图象上是否存在一点 使之与另外三个点构成平行四边形某图象上是否存在一点 使之与另外三个点构成平行四边形 问题 问题 这类问题 在题中的四个点中 至少有两个定点 用动点坐标 一母示 分别设出余 下所有动点的坐标 若有两个动点 显然每个动点应各选用一个参数字母来 一母示 出 动点坐标 任选一个已知点作为对角线的起点 列出所有可能的对角线 显然最多有 3 条 此时与之对应的另一条对角线也就确定了 然后运用中点坐标公式 求出每一种情况两 条对角线的中点坐标 由平行四边形的判定定理可知 两中点重合 其坐标对应相等 列 出两个方程 求解即可 进一步有 1 若是否存在这样的动点构成矩形呢 先让动点构成平行四边形 再验证两条对角线 相等否 若相等 则所求动点能构成矩形 否则这样的动点不存在 第 5 页 共 45 页 2 若是否存在这样的动点构成棱形呢 先让动点构成平行四边形 再验证任意一组邻 边相等否 若相等 则所求动点能构成棱形 否则这样的动点不存在 3 若是否存在这样的动点构成正方形呢 先让动点构成平行四边形 再验证任意一组 邻边是否相等 和两条对角线是否相等 若都相等 则所求动点能构成正方形 否则这样 的动点不存在 4 抛物线上是否存在一点 使两个图形的面积之间存在和差倍分关系抛物线上是否存在一点 使两个图形的面积之间存在和差倍分关系 的问题 的问题 此为 单动问题 即定解析式和动图形相结合的问题 后面的 19 实为本类型的特殊情 形 先用动点坐标 一母示 的方法设出直接动点坐标 分别表示 如果图形是动图 形就只能表示出其面积 或计算 如果图形是定图形就计算出它的具体面积 然后由题意 建立两个图形面积关系的一个方程 解之即可 注意去掉不合题意的点 如果问题中求 的是间接动点坐标 那么在求出直接动点坐标后 再往下继续求解即可 5 某图形某图形 直线或抛物线直线或抛物线 上是否存在一点 使之与另两定点构成直角三角形上是否存在一点 使之与另两定点构成直角三角形 的问题 的问题 若夹直角的两边与 y 轴都不平行 先设出动点坐标 一母示 视题目分类的情况 分 别用斜率公式算出夹直角的两边的斜率 再运用两直线 没有与 y 轴平行的直线 垂直的 斜率结论 两直线的斜率相乘等于 1 得到一个方程 解之即可 若夹直角的两边中有一边与 y 轴平行 此时不能使用斜率公式 补救措施是 过余下 的那一个点 没在平行于 y 轴的那条直线上的点 直接向平行于 y 的直线作垂线或过直角 点作平行于 y 轴的直线的垂线与另一相关图象相交 则相关点的坐标可轻松搞定 6 某图象上是否存在一点 使之与另两定点构成等腰直角三角形某图象上是否存在一点 使之与另两定点构成等腰直角三角形 的问题 的问题 1 若定点为直角顶点 先用 k 点法求出另一直角边所在直线的解析式 如斜率不存在 根据定直角点 可以直接写出另一直角边所在直线的方程 利用该解析式与所求点所在的 图象的解析式组成方程组 求出交点坐标 再用两点间的距离公式计算出两条直角边等否 若等 该交点合题 反之不合题 舍去 2 若动点为直角顶点 先利用 k 点法求出定线段的中垂线的解析式 再把该解析式与 所求点所在图象的解析式组成方程组 求出交点坐标 再分别计算出该点与两定点所在的 两条直线的斜率 把这两个斜率相乘 看其结果是否为 1 若为 1 则就说明所求交点合 题 反之 舍去 7 题中含有两角相等 求相关点的坐标或线段长度题中含有两角相等 求相关点的坐标或线段长度 等的问题 等的问题 题中含有两角相等 则意味着应该运用三角形相似来解决 此时寻找三角形相似中的 基本模型 A 或 X 是关键和突破口 18 在相关函数的解析式已知或易求出的情况下 题中又含有某动图形 常为动三角在相关函数的解析式已知或易求出的情况下 题中又含有某动图形 常为动三角 形或动四边形 的面积为定常数 求相关点的坐标或线段长形或动四边形 的面积为定常数 求相关点的坐标或线段长 的问题 的问题 此为 单动问题 即定解析式和动图形相结合的问题 本类型实际上是前面 14 的 特殊情形 先把动图形化为一些直角梯形或基本模型的三角形 有一边在 x 轴或 轴上 或者有 一边平行于 x 轴或 y 轴 面积的和或差 设出相关点的坐标 一母示 按化分后的图形建 立一个面积关系的方程 解之即可 一句话 该问题简称 单动问题 解题方法是 设点 动点 标 图形转化 分割 列出面积方程 19 19 在相关函数解析式不确定 系数中还含有某一个参数字母 的情况下 题中又含在相关函数解析式不确定 系数中还含有某一个参数字母 的情况下 题中又含 有动图形 常为动三角形或动四边形 的面积为定常数 求相关点的坐标或参数的值有动图形 常为动三角形或动四边形 的面积为定常数 求相关点的坐标或参数的值 的的 问题 问题 此为 双动问题 即动解析式和动图形相结合的问题 第 6 页 共 45 页 如果动图形不是基本模型 就先把动图形的面积进行转化或分割 转化或分割后的图 形须为基本模型 设出动点坐标 一母示 利用转化或分割后的图形建立面积关系的方 程 或方程组 解此方程 求出相应点的横坐标 再利用该点所在函数图象的解析式 表 示出该点的纵坐标 注意 此时 一定不能把该点坐标再代入对应函数图象的解析式 这 样会把所有字母消掉 再注意图中另一个点与该点的位置关系 或其它关系 方法是常由 已知或利用 2 问的结论 从几何知识的角度进行判断 表示出另一个点的坐标 最后把 刚表示出来的这个点的坐标再代入相应解析式 得到仅含一个字母的方程 解之即可 如 果动图形是基本模型 就无须分割 或转化 了 直接先设出动点坐标 一母式 然后列 出面积方程 往下操作方式就与不是基本模型的情况完全相同 一句话 该问题简称 双 动问题 解题方法是 转化 分割 设点标 建方程 再代入 得结论 常用公式或结论 常用公式或结论 1 横线段的长 横标之差的绝对值 xx 大小 xx 右左 纵线段的长 纵标之差的绝对值 yy大小 yy下 上 2 点轴距离 点 P 到 X 轴的距离为 到 Y 轴的距离为 0 x 0 y 0 y o x 3 两点间的距离公式 若 A B 则 11 x y 2 2 x y AB 22 1212 xxyy 4 点到直线的距离 点 P 到直线 Ax By C 0 其中常数 A B C 最好化为整系数 也方便计算 的 00 xy 距离为 00 22 AxByC d AB 或 00 2 1 kxyb d k 5 中点坐标公式 若 A B 则线段 AB 的中点坐标为 1 1 x y 22 xy 1212 22 xxyy 第 7 页 共 45 页 6 直线的斜率公式 若 A B 则直线 AB 的斜率为 11 x y 22 xy 1 2 xx 12 12 AB yy k xx 1212 AByxxxx 注 当时 直线与轴平行 斜率不存在 7 两直线平行的结论 已知直线 111222 lyk xb lyk xb 1 若 1212 llkk A 2 若 1 12212 kkbbll A且 8 两直线垂直的结论 已知直线1 11222 lyk xb lyk xb 1 若 1212 1 llk k 2 若 1212 1 k kll 9 由特殊数据得到或猜想的结论 1 已知点的坐标或线段的长度中若含有等敏感数字信息 那很可能有特殊角23 出现 2 在抛物线的解析式求出后 要高度关注交点三角形和顶点三角形的形状 若有特 殊角出现 那很多问题就好解决 3 还要高度关注已知或求出的直线解析式中的斜率 K 的值 若 则直线 3 K 3 与 X 轴的夹角为 若 则直线与 X 轴的夹角为 若 则直线与 0 30K 1 0 45K 3 X 轴的夹角为 这对计算线段长度或或点的坐标或三角形相似等问题创造条件 0 60 二次函数基本公式训练 二次函数基本公式训练 破解函数难题的基石 1 横线段的长度计算 特点 两端点的 y 标相等 长度 xx 大小 1 若 A 2 0 B 10 0 则 AB 2 若 A 2 0 B 4 0 则 AB 3 若 M 3 0 N 10 0 则 MN 第 8 页 共 45 页 4 若 O 0 0 A 6 0 则 OA 5 若 O 0 0 A 4 0 则 OA 6 若 O 0 0 A t 0 且 A 在 O 的右端 则 OA 7 若 O 0 0 A t 0 且 A 在 O 的右端 则 OA 8 若 A 2t 6 B 3t 6 且 A 在 B 的右端 则 AB 9 若 A 4t m B 1 2t m 且 B 在 A 的左端 则 AB 10 若 P 2m 3 a M 1 m a 且 P 在 B 的右端 则 PM 注意 横线段上任意两点的 y 标是相等的 反之 y 标相等的任意两个点都在横线段上 2 纵线段的长度计算 特点 两端点的 x 标相等 长度 yy 大小 1 若 A 0 5 B 0 7 则 AB 2 若 A 0 4 B 0 8 则 AB 3 若 A 0 2 B 0 6 则 AB 4 若 A 0 0 B 0 9 则 AB 5 若 A 0 0 B 0 6 则 AB 6 若 O 0 0 A 0 t 且 A 在 O 的上端 则 OA 7 若 O 0 0 A 0 t 且 A 在 O 的下端 则 OA 8 若 A 6 4t B 6 3t 且 A 在 B 的上端 则 AB 9 若 M m 1 2t N m 3 4t 且 M 在 N 的下端 则 MN 10 若 P t 3n 2 M t 1 2n 且 P 在 M 的上端 则 PM 注意 纵线段上任意两点的 x 标是相等的 反之 x 标相等的任意两个点都在纵线段上 3 点轴距离 一个点到 x 轴的的距离等于该点的 y 标的绝对值 即 到 xy 标标 y标 y 轴的距离等于该点的 x 标的绝对值 即 x标 1 点 4 3 到 x 轴的距离为 到 y 轴的距离为 2 若点 A 1 2t 在第一象限 则点 A 到 x 轴的距离为 到 y 轴的 2 23tt 距离为 第 9 页 共 45 页 3 若点 M t 在第二象限 则点 M 到 x 轴的距离为 到 y 轴 2 43tt 的距离为 4 若点 A t 2t 1 在第三象限 则点 A 到 x 轴的距离为 到 y 轴的距离 为 5 若点 N t 点在第四象限 则点 N 到 x 轴的距离为 2 23tt 到 y 轴的距离为 6 若点 P t 在 x 轴上方 则点 到 轴的距离为 2 23tt 7 若点 在 轴下方 则点 到 轴的距离为 2 26tt 8 若点 在 轴左侧 则点 到 轴的距离为 2 45tt 9 若点 在 轴的右侧 则点 到 轴的距离为 10 若动点 在 轴上方 且在 轴的左侧 则点 到 轴的距 2 23tt 离为 到 轴的距离为 11 若动点 在 轴上方 且在 轴的右侧 则点 到 轴的距 2 23tt 离为 到 轴的距离为 12 若动点 在 轴下方 且在 轴的左侧 则点 到 轴的距 2 23tt 离为 到 轴的距离为 13 若动点 在 轴下方 且在 轴的右侧 则点 到 轴的距 2 23tt 离为 到 轴的距离为 注意 在涉及抛物线 直线 双曲线等上的动点问题中 在动点坐标 一母示 后 还要高度关注动点运动变化的区域 例如 动点 在抛物线 上位于 轴下 2 23xx 方 轴右侧的图象上运动 以便准确写出动点坐标中参数字母的取值范围 以及点轴距 离是等于相应的相反数 还是其本身 x标标 或y 中点坐标的计算 若 则线段 的中点坐标为 11 x y 22 xy 1212 22 xxyy 1 若 则 中点为 2 若 M 0 6 N 6 4 则 MN 的中点坐标为 第 10 页 共 45 页 3 若 P Q 则 PQ 的中点坐标为 1 3 2 1 1 3 2 4 若 A 1 2 B 3 4 且 B 为 AM 的中点 则 M 点的坐标为 5 若 A 1 3 B 0 2 且 A 为 中点 则 点坐标为 6 点 关于直线 的对称点的坐标为 7 点 关于直线 的对称点的坐标为 8 点 关于直线 的对称点的坐标为 9 点 关于直线 的对称点的坐标为 10 点 关于直线 的对称点的坐标为 11 点 关于直线 的对称点的坐标为 12 点 关于直线 的对称点的坐标为 13 点 关于直线 的对称点的坐标为 14 点 关于 轴的对称点的坐标为 15 点 关于 轴的对称点的坐标为 5 由两直线平行或垂直 求直线解析式 两直线平行 则两个 k 值相等 两直 线垂直 则两个 k 值之积为 1 1 某直线与直线 y 2x 3 平行 且过点 1 1 求此直线的解析式 2 某直线与直线 y x 1 平行 且过点 2 3 求此直线的解析式 1 2 3 某直线与直线 y 平行 且过点 3 0 求此直线的解析式 2 5 3 x 4 某直线与 y 轴交于点 P 0 3 且与直线 y 平行 求此直线的解析式 1 1 2 x 5 某直线与 x 轴交于点 P 2 0 且与直线 y 平行 求此直线的解析式 1 4 2 x 6 某直线与直线 y 2x 1 垂直 且过点 2 1 求此直线的解析式 7 某直线与直线 y 3x 2 垂直 且过点 3 2 求此直线的解析式 8 某直线与直线 y 垂直 且过点 2 1 求此直线的解析式 2 1 3 x 9 某直线与直线 y 垂直 且过点 1 2 求此直线的解析式 1 4 2 x 10 某直线与 x 轴交于点 P 4 0 且与直线 y 垂直 求此直线的解析式 2 5 3 x 6 两点间的距离公式 则 AB 1122 B A x yxy若 22 1212 xxy y 1 若 A 2 0 B 0 3 则 AB 第 11 页 共 45 页 2 若 P 2 3 Q 1 1 则 PQ 3 若 M 0 2 N 2 5 则 MN 4 若 P Q 则 PQ 1 0 2 1 0 3 5 若 A B 1 则 AB 1 3 2 1 2 6 若 P B 则 3 1 4 2 1 1 4 7 若 P B 则 3 1 4 2 1 1 4 8 若 P M 则 PM 1 2 4 3 1 1 2 9 若 则 2 1 5 3 12 53 10 若 则 2 1 3 1 1 2 11 若 则 12 若 P 0 4 Q 0 2 则 PQ 13 若 P 3 0 Q 4 0 则 PQ 14 若 P 1 4 Q 2 0 则 PQ 第 12 页 共 45 页 7 直线的斜率公式 注 所谓斜率 就是一次函数 y kx b 中 k 的值 可由两个 点的坐标直接求得 若 A B 则 y 标之差 11 x y 22 xy 12 xx 12 12 AB yy k xx 除以对应的 x 标之差 例题 若 A 2 3 B 1 4 则 AB k 解 A 2 3 B 1 4 AB k 3 47 2 1 3 1 A 0 2 B 3 0 kAB 若 则 2 A 1 2 B 3 kAB 若 1 则 3 MN M 3 1 N 2 k 若 4 则 4 1 4 1 kPQ 若P Q 2 则 5 11 1 k 23 CQ 若C 1 Q 则 6 211 k 332 EF 若E 1 F 则 7 211 1 k 532 MQ 若M Q 则 第 13 页 共 45 页 8 231 1 k 344 PQ 若P Q 则 8 点到直线的距离公式 到直线 Ax By C 0 为了方便计算 A B C 最好化为整系数 的距离公 00 P x点 y 式为 运用该公式时 要先把一次函数 y kx b 化为一般式 00 22 C A B AxBy d Ax By C 0 的形式 即 先写 x 项 再写 y 项 最后写常数项 等号右边必须是 0 例题 求点 P 2 3 到直线的距离 12 23 yx 解 先把直线化为一般式 12 23 yx 3x 6y 4 0 所以 22 36 44 5 3 3 6 23 d 的值就是把点对应代入代数式 Ax By C 中 00 AxByC 注 00 xy 或者把通过移项化为 同样要先写 x 项 再写 ykxb 0kxy b y 项 最后写常数项 等号右边必须是 0 从而 00 2 1 kxyb d k 另解 因为 P 2 3 12 23 yx 所以 注 由于系数中有分 2 12 2 3 423 5 31 1 2 d 第 14 页 共 45 页 数 计算比较繁杂 1 P 求点 2 1 到直线y x 2的距离 2 求点Q 1 4 到直线y 2x 1的距离 3 1 2 求点A 1 2 到直线y x 1的距离 4 1 3 求点M 0 3 到直线y x 1的距离 5 11 24 求点P 2 0 到直线y x 的距离 6 求点K 3 2 到直线y 1 3x的距离 7 11 23 求点P 3 1 到直线y x 的距离 8 111 232 求点P 1 到直线y x 的距离 9 1131 2342 求点Q 到直线y x 的距离 10 2331 3424 求点P 到直线y x 的距离 11 3112 2323 求点N 到直线y x 的距离 12 2 311 5 423 求点D 到直线y x 的距离 13 3231 5324 求点E 到直线y x的距离 第 15 页 共 45 页 在一个题中设计若干常见问题 与 y 轴交于点 B 与 x 轴 2 23yxx 如图示 已知抛物线 交于 C D C 在 D 点的左侧 点 A 为顶点 Y 2 23yxx CODX 1 判定三角形 ABD 的形状 并说明理由 Y 0 Dx B A 通法 运用两点间的距离公式 求出该三角形各边的长 第 16 页 共 45 页 2 三角形 ABD 与三角形BOD 是否相似 说明理由 Y OX D B A 通法 用两点间的距离公式分别两个三角形的各边之长 再用相似的判定方 法 第 17 页 共 45 页 3 在 x 轴上是否存在点 P 使 PB PA 最短 若存在求出点 P 的坐标 并求出最小值 若不存在 请说明理由 Y X O B 第 18 页 共 45 页 通法 在两定点中任选一个点 为了简单起见 常常取轴上的点 求出该点关于题 中的动点运动所经过的那条直线的对称点的坐标 再把此对称点与余下定点相连 4 在 y 轴上是否存在点 P 使三角形 PAD 的周长最小 若存在 求出点 P 的坐标 并 求出周长的最小值 若不存在 请说明理由 Y D X 第 19 页 共 45 页 A 通法 注意到 AD 是定线段 其长度是个定值 因此只需 最小 5 在对称轴 上是否存在点 使三角形 是等腰三角形 若存在 求出点 的坐标 若不存在 请说明理由 Y C 第 20 页 共 45 页 OX B x 1 通法 对动点 的坐标一母示 后 分三种情况 若 为顶点 则 若 B 为顶点 则 BP 若 为顶点 则 分别用两点间 的距离公式求出或表示各线段的长度 6 若平行于 轴的动直线 与直线 交于点 与抛物线交于点 P 若三角形 ODF 为等腰三角形 求出点 P 的坐标 Y O X D l F P B 第 21 页 共 45 页 通法 分类讨论 用两点间的距离公式 7 在直线 BD 下方的抛物线上是否存在点 P 使的面积最大 若存在 求出点 P PBD sA 的坐标 若不存在 请说明理由 Y O DX P B 第 22 页 共 45 页 通法 1 x 2 PBD Syy A上 动 下 动 右 定 左 定 x 8 在直线 BD 下方的抛物线上是否存在点 P 使四边形 DOBP 的面积最大 若存在 求 出点 P 的坐标 并求出四边形面积的最大值 若不存在 请说明理由 Y O DX 第 23 页 共 45 页 P B 通法 或 DOBDBPDOBP S S S AA四边形BOPDPODOBP S S S AA四边形 9 在直线 BD 下方的抛物线上 是否存在点 P 使四边形 DCBP 的面积最大 若存在 求出点 P 的坐标 并求出四边形面积的最大值 若不存在 请说明理由 Y CD X O 第 24 页 共 45 页 P B 通法 DCBDBPDCBP S S S AA四边形 10 在直线 下方的抛物线上 是否存在点 使点 到直线 BD 的距离最大 若存 在 求出点 P 的坐标 并求出最大距离 若不存在 请说明理由 Y O D B P 第 25 页 共 45 页 通法 因为 是定线段 点 到直线 的距离最大 意味着三角形 的面 积最大 11 在抛物线上 是否存在点 使点 到直线 BD 的距离等于 若存在 求出点 2 P 的坐标 若不存在 请说明理由 Y O D X 第 26 页 共 45 页 B 通法 在动点坐标一母示后 用点到直线的距离公式 列出方程 求解即可 12 在抛物线上是否存在点 P 使 若存在 求出点 P 的坐标 若不存 PBC S 2 ABD S AA 在 请说明理由 Y O DX C 第 27 页 共 45 页 B A 通法 在动点 P 的坐标一母示后 把到图形三角形 ABD 的面积算出 借助于动点坐标 把动三角形 PBC 的面积表示出来 再代入已知中的面积等式 13 若点 P 在抛物线上 且PDB 求点 P 的坐标 90 Y OX D B 第 28 页 共 45 页 通法 利用 及点 B 的坐标 求出直线 PB 的解析式 再把此解析 1 BDPB KK 式与抛物线方程组成方程组 即可求出 P 点的坐标 14 若 Q 是线段 CD 上的一个动点 不与 C D 重合 交 BC 于点 E 当三角 QEBDA 形 QBE 的面积最大时 求动点 Q 的坐标 Y O Q CX D E B 通法 三角形 QBE 是三边均动的动三角形 把该三角形分割成两个三角形基本模型 的差 即 题中平行线的作用是有两个三角形相似 从而有对应边 QBEQCBQCE SSS AAA 的比等于对应高的比 最后该动三角形的面积方可表示为 以动点 Q t 0 的坐标有关的开 口向下的二次函数 第 29 页 共 45 页 15 若 E 为 x 轴上的一个动点 F 为抛物线上的一个动点 使 B D E F 构成平行四边 形时 求出 E 点的坐标 Y O X 通法 以其中一个已知点 如 点 B 作为起点 列出所有对角线的情况 如 BD BE BF 分别设出两个动点 点 E 点 F 运用中点坐标公式 求出每一种情况下 两条对角线的中点坐标 注意到两个中点重合 其坐标对应相等 列出方程组 求解即可 第 30 页 共 45 页 中考二次函数压轴题分析 1 2012 宜宾中考 如图 抛物线 的顶点 A 在直线 l y x 5 上 2 2yxxc 1 求抛物线顶点 A 的坐标 2 设抛物线与 y 轴交于点 B 与 x 轴交于点 C D C 点在 D 点的左侧 试判 断三角形 的形状 3 在直线 上是否存在一点 使以点 为顶点的四边形是平行 四边形 若存在 求出点 的坐标 若不存在 请说明理由 Y CO D X 第 31 页 共 45 页 A 2 2012 凉山州中考 如图 在平面直角坐标系中 直线 y x 4 与 x 轴 y 轴分别 交于 A B 两点 抛物线经过 A B 两点 并与 x 轴交于另一点 C 点 C 在 2 yxbxc 点 A 的右侧 点 P 是抛物线上一动点 1 求抛物线的解析式及点 C 的坐标 2 若点 P 在第二象限内 过点 P 作 PDx 轴于 D 交 AB 于点 E 当点 P 运动到什 么位置时 线段 PE 最长 此时 等于多少 3 如果平行于 轴的动直 线 与抛物线交于点 与直线 交于点 点 为 的中 点 那么是否存在这样的直线 使得三角形 是等腰三 角形 若存在 请求出点 的坐 标 若不存在 请说明理 Y XO B P CA 第 32 页 共 45 页 3 2012 广安市中考 在平面直角坐标系 xOy 中 AB x 轴于点 B AB 3 tan AOB 3 4 将 OAB 绕着原点 O 逆时针旋转 90o 得到 OA1B1 再将 OA1B1 绕着线段 OB1的中点旋转 180o 得到 OA2B1 抛物线 y ax2 bx c a 0 经过点 B B1 A2 1 求抛物线的解析式 2 在第三象限内 抛物线上的点 P 在什么位置时 PBB1的面积最大 求出这时点 P 的坐标 3 在第三象限内 抛物线上是否存在点 Q 使点 Q 到线段 BB1的距离为 若存 2 2 在 求出点 Q 的坐标 若不存在 请说明理由 第 33 页 共 45 页 4 2012 乐山中考 如图 在平面直角坐标系中 点 A 的坐标为 m m 点 B 的 坐标为 n n 抛物线经过 A O B 三点 连接 OA OB AB 线段 AB 交 y 轴于点 C 已知实数 m n m n 分别是方程 x2 2x 3 0 的两根 1 求抛物线的解析式 2 若点 P 为线段 OB 上的一个动点 不与点 O B 重合 直线 PC 与抛物线交于 D E 两点 点 D 在 y 轴右侧 连接 OD BD 第 34 页 共 45 页 当 OPC 为等腰三角形时 求点 P 的坐标 求 BOD 面积的最大值 并写出此时点 D 的坐标 5 2012 成都中考 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 一次函数 5 4 yxm m为常数 的图象与 x 轴交于点 A 3 0 与 y 轴交于点 C 以直线 x 1 为对称轴的抛 物线 2 yaxbxc abc 为常数 且a 0 经过 A C 两点 并与 x 轴的正半轴 交于点 B 1 求m的值及抛物线的函数表达式 2 设 E 是 y 轴右侧抛物线上一点 过点 E 作直线 AC 的平行线交 x 轴于点 F 是 否存在这样的点 E 使得以 A C E F 为顶点的四边形是平行四边形 若存在 求出点 E 的坐标及相应的平行四边形的面积 若不存在 请说明理由 第 35 页 共 45 页 3 若 P 是抛物线对称轴上使 ACP 的周长取得最小值的点 过点 P 任意作一条与 y 轴不平行的直线交抛物线于 111 M xy 222 M xy 两点 试探究 21 12 PPMM M M 是否 为定值 并写出探究过程 6 2012 黄冈中考 如图 已知抛物线的方程 m 0 1 C 1 2 yxxm m 与 x 轴相交于点 B C 与 y 轴相交于点 E 且点 B 在点 C 的左侧 1 若抛物线过点 M 2 2 求实数 m 的值 1 C 2 在 1 的条件下 求三角形 BCE 的面积 3 在 1 的条件下 在抛物线的对称轴上找一点 H 使 BH EH 最小 并求出点 第 36 页 共 45 页 的坐标 4 在第四象限内 抛物线上是否存在点 使得以点 为顶点的三角形 1 C 与三角形 BCE 相似 若存在 求 m 的值 若不存在 请说明理由 Y E B CX O 七 2013 宜宾中考 如图 抛物线经过 A 1 0 C 0 4 2 4yaxbxa 两点 与 x 轴交于另一点 B 第 37 页 共 45 页 1 求抛物线的解析式 2 已知点 D m m 1 在第一象限的抛物线上 求点 D 关于直线 BC 对称的点的坐标 3 在 2 的条件下 连接 BD 点 P 为抛物线上一点 且 求点 P 的 45DBP 坐标 Y C AOBX 八 2013 山西中考 如图 抛物线与 X 轴交于 A B 两点 点 B 2 13 4 42 yxx 在点 A 的右侧 与 y 轴交于点 C 连接 BC 以 BC 为一边 点 O 为对称中心作棱形 BDEC 点 P 是 x 轴上的一个动点 设点 P 的坐标为 m 0 过点 P 作 x 轴的垂线 l 交抛物线于点 Q 第 38 页 共 45 页 1 求点 A B C 的坐标 2 当点 P 在线段 OB 上运动时 直线 l 分别交 BD BC 于点 M N 试探究 m 为何值时 四边形 CQMD 是平行四边形 此时 请判断四边形 CQBM 的形状 并说明理由 3 当点 P 在线段 EB 上运动时 是否存在点 Q 使三角形 BDQ 为直角三角形 若存 在 请直接写出点 Q 的坐标 若不存在 请说明理由 Y D X EA