三角函数的积化和差与和差化积

三角函数的积化和差与和差化积三角函数的积化和差与和差化积 一 课标要求 一 课标要求 利用两角和与差的正弦 余弦公式推导导出积化和差 和差化积公式 但不要求记忆 二 知识提要 二 知识提要 三角函数的积化和差公式 三角函数的积化和差公式 积化和差公式是由正弦或余弦的和角公式与差角公式通过加减运算推导而得 其中前两 个公式可合并为一个 三角函数的和差化积公式 三角函数的和差化积公式 和差化积公式是积化和差公式的逆用形式 要注意的是 其中前两个公式可合并为一个 sin sin 2 sincos 积化和差公式的推导用了 解方程组 的思想 和差化积公式的推导用了 换元 思想 只有系数绝对值相同的同名函数的和与差 才能直接运用公式化成积的形式 如果 一个正弦与一个 余弦的和或差 则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式化积 合一变形也是一种和差化积 三角函数的和差化积 可以理解为代数中的因式分解 因此 因式分解在代数中起 什么作用 和差化 积公式在三角中就起什么作用 积化和差与积差化积是一种孪生兄弟 不可分离 在解题过程中 要切实注意两者的 交替使用 如在一般情况下 遇有正 余弦函数的平方 要先考虑降幂公式 然后应用和差 化积 积化和差公式交替使用进行化简或计算 和积互化公式其基本功能在于 当和 积互 化时 角度要重新组合 因此有可能产生特殊角 结构将变化 因此有可能产生互消项或 互约因式 从而利于化简求值 正因为如此 和 积互化 是三角恒等变形的一种基本手段 三 典型例题 三 典型例题 1 把下列各式化为和或差的形式 解 解 2 求值 sin6 sin42 sin66 sin78 解 解 法一 sin6 sin42 sin66 sin78 法二 sin6 sin42 sin66 sin78 3 解 解 4 求值 cos24 sin6 cos72 解 解 原式 sin66 sin6 cos72 2cos36 sin30 cos72 cos36 cos72 2sin54 sin18 2cos36 cos72 5 求 tan20 4sin20 的值 6 求值 解 解 原式 7 已知 sin A B sin A B 求值 解 解 原式 1 sin22A sin2B 1 sin22A sin2B sin2B sin A B sin A B 8 求 sin220 cos280 sin20 cos80 的值 解 解 原式 1 cos160 cos40 sin100 sin100 sin60 sin100 9 试证 cos2 A cos2 B 2cos A B cos A cos B 的值与无关 证明 证明 cos2 A cos2 B 2cos A B cos A cos B 2cos A B cos A cos B 1 cos A B cos A B 2 2cos A B cos A cos B 1 cos A B cos A B 2 2cos A cos B 1 cos A B cos A B 2 cos A B 2 cos A B 1 cos2 A B sin2 A B 原式的值只与 A B 的值有关 而与的值无关 参考答案 参考答案 一 单选题 1 B