一元二次方程知识点总结与易错题

千里之行 始于足下 一元二次方程与二次函数讲 解 学习是自己的事 别人替代不了 2013 7 27 一元二次方程知识点总结一元二次方程知识点总结 考点一 一元二次方程考点一 一元二次方程 1 一元二次方程 含有一个未知数 并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方 程 2 一元二次方程的一般形式 它的特征是 等式左边十一个关于未知 0 0 2 acbxax 数 x 的二次 多项式 等式右边是零 其中叫做二次项 a 叫做二次项系数 bx 叫做一次项 b 叫做一 2 ax 次项系数 c 叫做常数项 考点二 一元二次方程的解法考点二 一元二次方程的解法 1 1 直接开平方法 直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法 直接开平方法适 用于解形如的一元二次方程 根据平方根的定义可知 是 b 的平方根 当bax 2 ax 时 当 b0 时 一元二次方程有 2 个不相等的实数根 II 当 0 时 一元二次方程有 2 个相同的实数根 III 当 0 h0 k0 h0 h0 k0 k 0 k y a x h 2 k y a x h 2 y ax2 ky ax2 2 平移规律 在原有函数的基础上 h值正右移 负左移 k值正上移 负下移 概括成八个字 左加左加 右减 上加下减右减 上加下减 方法二 a的符号 开口方向顶点坐标对称轴性质 0a 向上 0h X h xh 时 y 随x的增大而增大 x h 时 y 随 x的增大而减小 xh 时 y 有最小值0 0a 向下 0h X h xh 时 y 随x的增大而减小 x h 时 y 随 x的增大而增大 xh 时 y 有最大值0 a的符号 开口方向顶点坐标对称轴性质 0a 向上 hk X h xh 时 y 随x的增大而增大 x h 时 y 随 x的增大而减小 xh 时 y 有最小值k 0a 向下 hk X h xh 时 y 随x的增大而减小 x h 时 y 随 x的增大而增大 xh 时 y 有最大值k 千里之行 始于足下 一元二次方程与二次函数讲 解 学习是自己的事 别人替代不了 2013 7 27 cbxaxy 2 沿 y 轴平移 向上 下 平移m个单位 cbxaxy 2 变成 mcbxaxy 2 或 mcbxaxy 2 cbxaxy 2 沿轴平移 向左 右 平移m个单位 cbxaxy 2 变成 cmxbmxay 2 或 cmxbmxay 2 四 二次函数四 二次函数 2 ya xhk 与与 2 yaxbxc 的比较的比较 从解析式上看 2 ya xhk 与 2 yaxbxc 是两种不同的表达形式 后者通过配方可以得到 前者 即 2 2 4 24 bacb ya x aa 其中 2 4 24 bacb hk aa 五 二次函数五 二次函数 2 yaxbxc 图象的画法图象的画法 五点绘图法五点绘图法 利用配方法将二次函数 2 yaxbxc 化为顶点式 2 ya xhk 确定其开口方向 对称轴及顶点坐标 然后在对称轴两侧 左右对称地描点画图 一般我们选取的五点为 顶点 与 y 轴的交点 0c 以及 0c 关于对称轴对称的点 2hc 与x轴的交点 1 0 x 2 0 x 若与x轴没有交点 则取两组关于对称轴对称的点 画草图时应抓住以下几点 开口方向 对称轴 顶点 与x轴的交点 与 y 轴的交点 六 二次函数六 二次函数 2 yaxbxc 的性质的性质 1 当 0a 时 抛物线开口向上 对称轴为 2 b x a 顶点坐标为 2 4 24 bacb aa 当 2 b x a 时 y 随x的增大而减小 当 2 b x a 时 y 随x的增大而增大 当 2 b x a 时 y 有最 小值 2 4 4 acb a 2 当 0a 时 抛物线开口向下 对称轴为 2 b x a 顶点坐标为 2 4 24 bacb aa 当 2 b x a 时 y 随x的增大而增大 当 2 b x a 时 y 随x的增大而减小 当 2 b x a 时 y 有最大值 2 4 4 acb a 七 二次函数解析式的表示方法七 二次函数解析式的表示方法 1 一般式 2 yaxbxc a b c为常数 0a 2 顶点式 2 ya xhk a h k为常数 0a 千里之行 始于足下 一元二次方程与二次函数讲 解 学习是自己的事 别人替代不了 2013 7 27 3 两根式 12 ya xxxx 0a 1 x 2 x 是抛物线与x轴两交点的横坐标 注意 注意 任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式 但并非所有的二次函数都可以 写成交点式 只有抛物线与x轴有交点 即 2 40bac 时 抛物线的解析式才可以用交点式表 示 二次函数解析式的这三种形式可以互化 八 二次函数的图象与各项系数之间的关系八 二次函数的图象与各项系数之间的关系 1 二次项系数a 二次函数 2 yaxbxc 中 a作为二次项系数 显然 0a 当 0a 时 抛物线开口向上 a的值越大 开口越小 反之a的值越小 开口越大 当 0a 时 抛物线开口向下 a的值越小 开口越小 反之a的值越大 开口越大 总结起来 a决定了抛物线开口的大小和方向 a的正负决定开口方向 a 的大小决定开 口的大小 2 一次项系数b 在二次项系数a确定的前提下 b决定了抛物线的对称轴 在 0a 的前提下 当 0b 时 0 2 b a 即抛物线的对称轴在 y 轴左侧 当 0b 时 0 2 b a 即抛物线的对称轴就是 y 轴 当 0b 时 0 2 b a 即抛物线对称轴在 y 轴的右侧 在 0a 的前提下 结论刚好与上述相反 即 当 0b 时 0 2 b a 即抛物线的对称轴在 y 轴右侧 当 0b 时 0 2 b a 即抛物线的对称轴就是 y 轴 当 0b 时 0 2 b a 即抛物线 对称轴在 y 轴的左侧 总结起来 在a确定的前提下 b决定了抛物线对称轴的位置 ab的符号的判定 的符号的判定 对称轴 a b x 2 在 y 轴左边则 0 ab 在 y 轴的右侧则 0 ab 概括的说就 是 左同右异 3 常数项c 当 0c 时 抛物线与 y 轴的交点在x轴上方 即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为正 当 0c 时 抛物线与 y 轴的交点为坐标原点 即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为0 当 0c 时 抛物线与 y 轴的交点在x轴下方 即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为负 总结起来 c决定了抛物线与 y 轴交点的位置 总之 只要a bc 都确定 那么这条抛物线就是唯一确定的 千里之行 始于足下 一元二次方程与二次函数讲 解 学习是自己的事 别人替代不了 2013 7 27 九 二次函数与一元二次方程 九 二次函数与一元二次方程 1 二次函数与一元二次方程的关系 二次函数与x轴交点情况 一元二次方程 2 0axbxc 是二次函数 2 yaxbxc 当函数值 0y 时的特殊情况 图象与x轴的交点个数 当 2 40bac 时 图象与x轴交于两点 12 00A xB x 12 xx 其中的 12 xx 是一元二 次方程 2 00axbxca 的两根 这两点间的距离 2 21 4bac ABxx a 当 0 时 图象与x轴只有一个交点 当 0 时 图象与x轴没有交点 a 当 0a 时 图象落在x轴的上方 无论x为任何实数 都有 0y b 当 0a 时 图象落在x轴的下方 无论x为任何实数 都有 0y 2 抛物线 2 yaxbxc 的图象与 y 轴一定相交 交点坐标为 0 c 3 二次函数常用解题方法总结 求二次函数的图象与x轴的交点坐标 需转化为一元二次方程 求二次函数的最大 小 值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式 根据图象的位置判断二次函数 2 yaxbxc 中a b c的符号 或由二次函数中a b c的符号判断图象的位置 要数形结合 二次函数的图象关于对称轴对称 可利用这一性质 求和已知一点对称的点坐标 或已知 与x轴的一个交点坐标 可由对称性求出另一个交点坐标 与二次函数有关的还有二次三项式 二次三项式 2 0 axbxc a 本身就是所含字母x的二次 函数 下面以 0a 时为例 揭示二次函数 二次三项式和一元二次方程之间的内在联系 图像参考 0 抛物线与x轴有两 个交点 二次三项式的值可正 可零 可负 一元二次方程有两个不相等实根 0 抛物线与x轴只有 一个交点 二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根 0 抛物线与x轴无交 点 二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根 千里之行 始于足下 一元二次方程与二次函数讲 解 学习是自己的事 别人替代不了 2013 7 27 y x2 2 y 2x2 y x2 y 2x2 4 y 2x2 2 y 2x2 例题经典 由抛物线的位置确定系数的符号 例 1 1 二次函数 2 yaxbxc 的图像如图 1 则点 a c bM 在 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 2 已知二次函数 y ax2 bx c a 0 的图象如图 2 所示 则下列结论 a b 同号 当 x 1 和 x 3 时 函数值相等 4a b 0 当 y 2 时 x 的值只能取 0 其中正确的个数 是 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 y 2 x 4 2 3 y 2 x 4 2y 2x2 千里之行 始于足下 一元二次方程与二次函数讲 解 学习是自己的事 别人替代不了 2013 7 27 1 2 点评 弄清抛物线的位置与系数 a b c 之间的关系 是解决问题的关键 例 2 已知二次函数 y ax2 bx c 的图象与 x 轴交于点 2 O x1 0 且 1 x1 2 与 y 轴的 正半轴的交点在点 O 2 的下方 下列结论 a bO 4a cO 其中正确结论的个数为 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 答案 D 会用待定系数法求二次函数解析式 例 3 已知 关于 x 的一元二次方程 ax2 bx c 3 的一个根为 x 2 且二次函数 y ax2 bx c 的 对称轴是直线 x 2 则抛物线的顶点坐标为 A 2 3 B 2 1 C 2 3 D 3 2 答案 C 例 4 2006 年烟台市 如图 单位 m 等腰三角形 ABC 以 2 米 秒的速度沿直线 L 向正方形 移动 直到 AB 与 CD 重合 设 x 秒时 三角 形与正方形重叠部分的面积为 ym2 1 写出 y 与 x 的关系式 2 当 x 2 3 5 时 y 分别是多少 3 当重叠部分的面积是正方形面积的一 半时 三角形移动了多长时间 求抛物线顶 点坐标 对称轴 例 5 已知 二次函数 y ax2 b 1 x 3a 的图象经过点 P 4 10 交 x 轴于 0 1 xA 0 2 xB 两点 21 xx 交 y 轴负半轴于 C 点 且满足 3AO OB 1 求二次函数的解析式 2 在二次函数的图象上是否存在点 M 使锐角 MCO ACO 若存在 请你求出 M 点的横坐标的取值范围 若不存在 请你说明理由 1 解 如图 抛物线交 x 轴于点 A x1 0 B x2 O 则 x1 x2 3 0 又 x1O x1 O 30A OB x2 3x1 x1 x2 3x12 3 x12 1 x1 0 x1 1 x2 3 点 A 1 O P 4 10 代入解析式得解得 a 2 b 3 二次函数的解析式为 y 2x2 4x 6 2 存在点 M 使 MC0 ACO 2 解 点 A 关于 y 轴的对称点 A 1 O 直线 A C 解析式为 y 6x 6 直线 A C 与抛物线交点为 0 6 5 24 符合题意的 x 的范围为 1 x 0 或 O x 5 当点 M 的横坐标满足 1 x O 或 O x ACO 一个交点的坐标是 0 53 令 x 3 代入解析式 得 2 5 y 所以抛物线 23 2 1 2 xxy 的顶点坐标为 2 5 3 所以也可以填抛物线的顶点坐标为 2 5 3 等等 函数主要关注 通过不同的途径 图象 解析式等 了解函数的具体特征 借助多种现实背景 理解函数 将函数视为 变化过程中变量之间关系 的数学模型 渗透函数的思想 关注函数 与相关知识的联系 一元二次方程易错题一元二次方程易错题 一 选择题 1 若关于 x 的一元二次方程 m 1 x2 5x m2 3m 2 0 有一个根为 0 则 m 的值等于 A 1 B 2 C 1 或 2 D 0 2 巴中日报讯 今年我市小春粮油再获丰收 全市产量预计由前年的 45 万吨提升到 50 万吨 设从前年到今年我市的粮油产量年平均增长率为 则可列方程为 x A B C D 45250 x 2 45 1 50 x 2 50 1 45x 45 12 50 x 千里之行 始于足下 一元二次方程与二次函数讲 解 学习是自己的事 别人替代不了 2013 7 27 3 已知是关于的一元二次方程的两实数根 则的值是 ab x 2 10 xnx ba ab A B C D 2 2n 2 2n 2 2n 2 2n 4 已知 a b c 分别是三角形的三边 则 a b x2 2cx a b 0 的根的情况是 A 没有实数根B 可能有且只有一个实数根 C 有两个相等的实数根D 有两个不相等的实数根 5 已知nm 是方程012 2 xx的两根 且8 763 147 22 nnamm 则a的值等于 A 5 B 5 C 9 D 9 6 已知方程 2 0 xbxa 有一个根是 0 a a 则下列代数式的值恒为常数的是 A ab B a b C ab D ab 7 11 2 022xxxx下面对的一较小根为 的估计正确的是 A 12 1 xB 01 1 xC 10 1 xD 21 1 x 8 关于x的一元二次方程 2 210 xmxm 的两个实数根分别是 12 xx 且 22 12 7xx 则 2 12 xx 的值是 A 1 B 12 C 13 D 25 9 中江县 2011 年初中毕业生诊断考试 某校九年级学生毕业时 每个同学都将自己的相片向 全班其他同学各送一张表示留念 全班共送了 2450 张相片 如果全班有 x 名学生 根据 题意 列出方程为 A B C D 2450 1 xx2450 1 xx2450 1 2 xx2450 2 1 xx 10 设ab