医药高等数学1函数解析ppt课件.ppt

3 29 2020 医药高等数学 1 第1章函数 极限与连续 1 1函数 1 2极限 1 3连续 3 29 2020 医药高等数学 2 1 1 1实数 区间与邻域 1 1函数 1 1 2常量与变量 1 1 3函数的定义 隐函数 单值函数和多值函数 函数的定义 3 29 2020 医药高等数学 3 1 1 4反函数 基本初等函数 奇偶性 初等函数 单调性 复合函数 有界性 周期性 1 1 6分段函数 1 1 7函数的简单性质 1 1 5初等函数 1 1函数 3 29 2020 医药高等数学 4 1 1 1实数 区间与邻域 1 实数 实数由有理数和无理数两部分组成 全体 实数可以用数轴上点的坐标来表示 每一 实数构成的集合称为实数集 实数必是数轴上某一点的坐标 反之 数 轴上没一点的坐标必是一个实数 每一实 数集与数轴上的全体点形成一一对应的关系 3 29 2020 医药高等数学 5 2 区间 区间是指介于某两个数之间的全体 在数轴上 区间是介于某两个点之间 实数 而这两个数叫做区间的端点 的一条线段上点的全体 两点间的距 离也就是线段的长度 称为区间的长度 区间可以分成以下几类 开区间 闭区间 半开区间 3 29 2020 医药高等数学 6 上述区间都称为有限区间 如果区间的两个端点中至少有一个是 无限数 例如 则称该区间为无限区间 都是无限区间 全体实数构成的集合R可记作 也是无限区间 在以上区间中 由于a b是两个实数 因此 3 29 2020 医药高等数学 7 3 邻域 我们把以点 为中心 某一很小的正数 称为 在后面的章节中经常会用到一种特殊的开 为半径的开区间 区间 称之为邻域 的 邻域 其中点 即 记为 称为该邻域的中心 称为该邻域的半径 正数 3 29 2020 医药高等数学 8 将点 的全体 即 的一切点x 距离小于 表示与点 邻域 邻域 记为 的去心 所得到的的实数全体 称为点 邻域中去掉中心点 即 称为 称为 其中 的 3 29 2020 医药高等数学 9 1 1 2常量与变量 1 常量 在某一现象或过程中始终保持同一数值不变 的量称为常量 3 29 2020 医药高等数学 10 2 变量 在某一现象或过程中量有变化 可以取不 注意 一个量是常量还是变量不是绝的 同的数值 这种量称为变量 常量与变量是相对 场合 而言的 3 29 2020 医药高等数学 11 1 1 3函数的定义 1 函数的定义 数集D叫做这个函数的定义域 因变量 自变量 3 29 2020 医药高等数学 12 注意 函数的两要素为 定义域和对应法则 两个函数f x g x 相等是指 它们定义域相同 且对于定义域内任意一点x 都有 f x g x 3 29 2020 医药高等数学 13 1 函数的定义域的确定 函数的定义域D通常按以下两种情形确定 当函数是用抽象的算式 解析式 表达 当函数在实际中应用时 其定义域不仅要使 构成的集合 时 其定义域是使算式有意义的一切实数 函数的表达式有意义 还要有实际意义来确定 其定义域是 3 29 2020 医药高等数学 14 对应法则 函数的表示法 列表法 图像法 解析法 2 函数对应法则的表达形式 3 29 2020 医药高等数学 15 函数的表达主要是用解析法 下面举一个解析法表达的函数 例假设16岁以上的成年人每天服用某药物的剂 该函数的定义域是 但在定义域的不 同区间上 函数关系是用两个解析式表示的 量Q是2mg 而16岁以下的未成年人每天服用 该药物的剂量Q与年龄t成正比 比例系数为 0 125mg 岁 则剂量Q与年龄t的函数关系为 3 29 2020 医药高等数学 16 2 单值函数和多值函数 在函数定义1 1中 如果自变量x在D内任取一个 值 对应的函数值y总是唯一的 这样的函数又 确定了一个 称为单值函数 否则称为多值函数 注意 在本书中 若无特殊说明 所称的函数 例如在方程 都有两个y值与之对应 中 对于每一个 以x为自变量 y为因变量的多值函数 因此 方程 都是单值函数 3 29 2020 医药高等数学 17 3 隐函数 称这种方式表达的函数为显函数 如果因变量y是用x的明显表达式表示出来的 而有些函数的表达方式却不是这样 因变量与 系隐含在这个方程中 这样的函数称为隐函数 自变量的对应关系是由一个方程确定的 函数关 都是隐函数 例如 3 29 2020 医药高等数学 18 如果变量y与x满足一个方程 那么就说方程 当变量x取某区间内的任一值 时相应地总有满足这方程的y值与之对应 在该区间内确定了以x为自变量 y为因变量的隐函数 在一定条件下 有些隐函数可以化成显函数 但显化有 时很困难 甚至不可能 3 29 2020 医药高等数学 19 1 1 4反函数 定义1 2 量 哪个是因变量并不是绝对的 要根据所研究 一个叫做因变量 但在实际问题中 哪个是自变 的具体问题而定 在函数定义中的两个自变量 一个叫做自变量 反函数的一般定义如下 都有唯一的且满足 如果对于每一个 设f x 是定义在D上的一个函数 值域为W 3 29 2020 医药高等数学 20 关系式x的与之对应 则确定了一个定义在 W上 以y为自变量 x为因变量的新函数 称为y f x 的反函数 记为 互为反函数 而原来的函数y f x 称为直接函数 或称它们 我们通常用x表示自变量 y表示因变量 这时我们说 因此 可以把 改写为 是y f x 的反函数 3 29 2020 医药高等数学 21 表示变量y和x的同一种函数关系 y f x 和 的图形以y x为轴翻转 它们的图形是同一条曲线 y f x 注意 就得到 的图形 也就是说它们的图形是关于y x对称 3 29 2020 医药高等数学 22 见图1 1 3 29 2020 医药高等数学 23 例 求下列函数的反函数 由 改变变量的记号 即得到反函数为 由y 5x 6 解得 1 y 5x 6 解得 改变变量的记号 即得到反函数为 解 2 1 3 29 2020 医药高等数学 24 注1 并不是任何函数y f x 都有反函数 因为对于y的某些值 满足y f x 这一条件的x值可能不止一个 有些函数的反函数存在 但不一定能够 注2 用一个显函数表示出来 即由y f x 可能解不出x g y 但反函数存在 这时y f x 的反函数表示为隐函数形式 3 29 2020 医药高等数学 25 1 1 5初等函数 1 基本初等函数2 复合函数3 初等函数 3 29 2020 医药高等数学 26 幂函数 指数函数 对数函数 三角函数 反三角函数 六类函数 1 基本初等函数 常函数 3 29 2020 医药高等数学 27 1 基本初等函数 常函数 常函数的定义域为 它的图形是一条水平直线 3 29 2020 医药高等数学 28 幂函数 幂函数的定义域依 例如 而定 的定义域为 的定义域为 的定义域为 的定义域为 但不论 取何值 当x 0时 它总是有定义的 其图象都经过 1 1 点 为实数 与 与 1 基本初等函数 3 29 2020 医药高等数学 29 幂函数 为实数 1 基本初等函数 3 29 2020 医药高等数学 30 1 基本初等函数 3 29 2020 医药高等数学 31 指数函数 不论a为何值 函数图象均经过 0 1 点 定义域 值域 当a 1时 ax单调增 当0 a 1时 ax单调减 1 基本初等函数 3 29 2020 医药高等数学 32 对数函数 不论a为何值 函数图象均过 1 0 点 定义域 值域 当a 1时 logax严格单增 当0 a 1时 logax严格单减 1 基本初等函数 3 29 2020 医药高等数学 33 三角函数 常用的包括以下几种 有界函数 1 正弦函数y sinx 定义域 值域 奇函数 周期 1 基本初等函数 3 29 2020 医药高等数学 34 有界函数 2 余弦函数y cosx 定义域 值域 偶函数 周期 1 基本初等函数 3 29 2020 医药高等数学 35 3 正切函数y tanx 定义域 值域 奇函数 周期 1 基本初等函数 3 29 2020 医药高等数学 36 4 余切函数y cotx 定义域 值域 奇函数 周期 1 基本初等函数 3 29 2020 医药高等数学 37 反三角函数 反三角函数是三角函数的反函数 由于三角函数都是周期函数 故对于值域的 每个y值 与之对应的x值有无穷多个 因此 在三角函数的整个定义域上 其反函数是不存 在的 必须限制在三角函数的单调区间上才能建 立反三角函数 1 基本初等函数 3 29 2020 医药高等数学 38 记为 故其反函数存在 称此反函数为反正弦函数 奇函数 单调增 1 反正弦函数 正弦函数y sinx 在 上单调增 定义域 值域 1 基本初等函数 3 29 2020 医药高等数学 39 记为 故其反函数存在 称此反函数为反余弦函数 单调减 2 反余弦函数 余弦函数y cosx 在 上单调减 其定义域 值域 1 基本初等函数 3 29 2020 医药高等数学 40 3 反正切函数 记为 故其反函数存在 称此反函数为反正切函数 奇函数 单调增 正切函数y tanx 在 上单调增 其定义域 值域 1 基本初等函数 3 29 2020 医药高等数学 41 4 反余切函数 记为 故其反函数存在 称此反函数为反余切函数 单调减 余切函数y cotx 在 其定义域 值域 上单调减 1 基本初等函数 3 29 2020 医药高等数学 42 2 复合函数 掌握 复合 分解 f u 称为外函数 g x 称为内函数 u称为中间变量 3 29 2020 医药高等数学 43 例 1 设 则 故 与 可以复合成复合函数 复合 注 两个函数y f u 与u g x 可复合成复合 函数当且仅当 3 29 2020 医药高等数学 44 注 2 设 则 故 与 不能复合成复合函数 求两个函数的复合函数 实际上就是将外函 数表达式中的自变量用内函数表达式来代替 从而 得到复合函数的表达式 3 29 2020 医药高等数学 45 例已知 求f x 1 f x 解 已知外函数和内函数 求复合函数的 问题 直接代入即可 3 29 2020 医药高等数学 46 解 故有 求f x 令 解得反函数为 因为 从而 例已知 3 29 2020 医药高等数学 47 解 例 3 29 2020 医药高等数学 48 综上所述 3 29 2020 医药高等数学 49 把一个复合函数分解成几个简单的函数很重要 分解的关键是分解出来的简单函数都是基本初等函数或是由基本初等函数经过四则运算得到的函数 简单函数 分解 将下列复合函数分解为简单函数 例 3 29 2020 医药高等数学 50 由常数和五类基本初等函数经过有限次的 四则运算与有限次的复合所得到的且仅用一个解析式表示的函数 统称为初等函数 本书中讨论的函数基本上都是初等函数 例如 注 并非所有函数都是初等函数 3 29 2020 医药高等数学 51 1 1 6分段函数 在定义域的不同部分内用不同的解析式表示的函数 称为分段函数 但这也不是绝对的 例如 分段函数一般不是初等函数 3 29 2020 医药高等数学 52 注 用解析式表示函数 并不要求函数在整个 集上 函数表达式不一样 如例中的符号函数y sgnx这样的函数 称为分段函数 定义域D上有统一的解析表达式 在D不同子 3 29 2020 医药高等数学 53 注2 分段函数的解析式不只一个 但它是一个 函数 其定义域是各段之并 图象分段就是分段函数 分段函数的图像应分段作出 但不要认为 3 29 2020 医药高等数学 54 5 函数的简单性质 1 单调性 2 奇偶性 3 周期性 4 有界性 3 29 2020 医药高等数学 55 1 单调性 3 29 2020 医药高等数学 56 偶函数 2 奇偶性 3 29 2020 医药高等数学 57 奇函数 3 29 2020 医药高等数学 58 例 例 解 3 29 2020 医药高等数学 59 通常说周期函数的周期是指其最小正周期 在 无穷 多个正周期中若存在一个最小数 此最小数称为最小正周期 3 周期性 3 29 2020 医药高等数学 60 例 3 29 2020 医