勾股定理讲义

勾股定理勾股定理讲义讲义 直角三角形两直角边 a b 的平方和等于斜边 c 的平方 即 a2 b2 c2 其主要应用 1 已知直角三角形的两边求第三边 在中 ABC 90C 则 22 cab 22 bca 22 acb 2 已知直角三角形的一边与另两边的关系 求直角三角形的另两边 2 2 勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 a b c 则有关系 a2 b2 c2 那么这个三角形是直角三角 形 要点诠释 要点诠释 1 首先确定最大边 不妨设最长边长为 c 2 验证 c2与 a2 b2是否具有相等关系 若 c2 a2 b2 则 ABC 是以 C 为直角的直角 三角形 若 c2 a2 b2 则 ABC 是以 C 为钝角的钝角三角形 若 c2 a2 b2 则 ABC 为锐角三角 形 定理中 及只是一种表现形式 不可认为是唯一的 如若三角形abc 222 abc 三边长 满足 那么以 为三边的三角形是直角三角形 但abc 222 acb abc 是为斜边 b 4 4 勾股数 勾股数 能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数 即中 222 abc ab 为正整数时 称 为一组勾股数cabc 记住常见的勾股数可以提高解题速度 如 等3 4 56 8 105 12 137 24 25 用含字母的代数式表示组勾股数 为正整数 n 22 1 2 1nn n 2 n n 为正整数 22 21 22 221nnnnn n 2222 2 mnmn mn mn m 为正整数 n 题型一题型一 直接考查勾股定理直接考查勾股定理 在中 已知 求的长 已知 ABC 90C 6AC 8BC AB17AB 求的长15AC BC a b c c b a E D CB A b a c b a c c a b c a b 1 在 Rt ABC 中 a 3 b 4 则 c 边长为 2 在 ABC 中 C 90 AB 5 则 2 AB 2 AC 2 BC 题型二 应用勾股定理建立方程题型二 应用勾股定理建立方程 在中 于 ABC 90ACB 5AB cm3BC cmCDAB DCD 已知直角三角形的两直角边长之比为 斜边长为 则这个三角形的面积为 3 415 已知直角三角形的周长为 斜边长为 则这个三角形的面积为 30cm13cm 1 已知 如图 13 ABC 中 AB 10 BC 9 AC 17 求 BC 边上的高 2 如图 分别以各边为直径作半圆 求阴影部分面积Rt ABC 90C 3 4ACBC B A C 题型三 实际问题中应用勾股定理题型三 实际问题中应用勾股定理 如图有两棵树 一棵高 另一棵高 两树相距 一只小鸟从一棵树的8cm2cm8cm 树梢飞到另一棵数的树梢 至少飞了 m B B A A C C A BC D E 1 如图 一根 12 米高的电线杆两侧各用 15 米的铁丝固定 两个固定点 AB 之间的距离是 A 13 B 9 C 18 D 10 2 假期中 小明和同学们到某海岛上去探宝旅游 按照探宝图 他们登陆后先往东走 8 千米 又往北走 2 千米 遇到障碍后又往西走了 3 千米 再折向北走了 6 千米处往东一 拐 仅走了 1 千米就找到宝藏 问登陆点 A 到宝藏埋藏点 B 的距离是多少千米 3 有一根 70 cm 的木棒 要放在长 宽 高分别是 50 cm 40 cm 30 cm 的木箱中 能 放进去吗 题型四 应用勾股定理逆定理 判定一个三角形是否是直角三角形题型四 应用勾股定理逆定理 判定一个三角形是否是直角三角形 已知三角形的三边长为 判定是否为abcABC Rt 1 5a 2b 2 5c 5 4 a 1b 2 3 c 三边长为 满足 的三角形是什么形状 abc10ab 18ab 8c 题型五 勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用题型五 勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用 已知中 边上的中线 求证 ABC 13AB cm10BC cmBC12AD cm ABAC C BA 8 2 3 6 1 A B E B D A C p 1 如图 ABC 中 B 90 两直角边 AB 7 BC 24 三角形内有一点 P 到各边的距 离相等 则这个距离为 A 1B 3C 4D 5 2 如图所示 有一块直角三角形纸片 两直角边 AB 6 BC 8 将三角形 ABC 折叠 使 AB 落在斜边 AC 上 折痕为 AD 则 BD 的长为 A 3B 4 C 5 D 6 题型六 最短问题题型六 最短问题 如图是一个边长 6 厘米的立方体 ABCD EFGH 一只甲虫在棱 EF 上且距 F 点 1 厘 米的 P 处 它要爬到顶点 D 需要爬行的最近距离是 厘米 有一圆柱体高为 10cm 底面圆的半径为 4cm AA1 BB1为相对的两条母线 在 AA1上 有一个蜘蛛 Q QA 4cm 在 BB1上有一只苍蝇 P PB1 3cm 蜘蛛沿圆柱体侧面爬到 P 点吃苍蝇 最短 的路径是 cm 结果用带 和根号的式子表示 H A A1 B B1 Q P C D G P F E A B 一 选择题 每小题一 选择题 每小题 3 分 共分 共 30 分 分 1 直角三角形一直角边长为12 另两条边长均为自然数 则其周长为 A 30 B 28 C 56 D 不能确定 2 直角三角形的斜边比一直角边长 2 cm 另一直角边长为 6 cm 则它的斜边长 A 4 cm B 8 cm C 10 cm D 12 cm 3 已知一个 Rt 的两边长分别为 3 和 4 则第三边长的平方是 A 25 B 14 C 7 D 7 或 25 4 等腰三角形的腰长为 10 底长为 12 则其底边上的高为 A 13 B 8 C 25 D 64 5 五根小木棒 其长度分别为 7 15 20 24 25 现将他们摆成两个直角三角形 其 中正确的是 7 15 24 25 20 7 15 20 24 25 15 7 2520 24 25 720 24 15 A B C D 6 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数 得到的三角形是 A 钝角三角形 B 锐角三角形 C 直角三角形 D 等腰三角形 7 直角三角形边长为 斜边上高为 则下列各式总能成立的是 ba h A B C D 2 hab 222 2hba hba 111 222 111 hba 8 三角形的三边长为abcba2 22 则这个三角形是 A 等边三角形 B 钝角三角形 C 直角三角形 D 锐角三 角形 9 ABC 是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地 已知 C 90 AC 30 米 AB 50 米 如果要在这块空地上种植草皮 按每平方米草皮a元计算 那么共需要资金 A 50a元 B 600a元 C 1200a元 D 1500 a元 10 如图 AB CD 于 B ABD 和 BCE 都是等腰直角三角形 如果 CD 17 BE 5 那么 AC 的长为 A 12 B 7 C 5 D 13 5 米 3 米 第 10 题 第 11 题 第 14 题 二 填空题 每小题二 填空题 每小题 3 分 分 24 分 分 11 如图为某楼梯 测得楼梯的长为5米 高3米 计划在楼梯表面铺地毯 地毯的长度至少 需要 米 12 在直角三角形ABC中 斜边AB 2 则 222 ABACBC 13 直角三角形的三边长为连续偶数 则其周长为 14 如图 在 ABC 中 C 90 BC 3 AC 4 以斜边 AB 为直径作半圆 则这个半圆 的面积是 第 15 题 第 16 题 第 17 题 15 如图 校园内有两棵树 相距 12 米 一棵树高 13 米 另一棵树高 8 米 一只小鸟 从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端 小鸟至少要飞 米 E A B CD A B D C E 16 如图 ABC 中 C 90 AB 垂直平分线交 BC 于 D 若 BC 8 AD 5 则 AC 等于 17 如图 四边形ABCD是正方形 AE垂直于BE 且AE 3 BE 4 阴影部分的面 积是 18 如图 所有的四边形都是正方形 所有的三角形都是直角三角形 其中最大的正方 形的边和长为 7cm 则正方形 A B C D 的面积之和为 cm2 19 如图是一个三级台阶 它的每一级的长宽和高分别为 20dm 3dm 2dm A 和 B 是这个 台阶两个相对的端点 A 点有只蚂蚁 想到 B 点去吃可口的食物 则蚂蚁沿着台阶面爬 到 B 点最短路程是 三 解答题 每小题三 解答题 每小题 8 分 共分 共 40 分 分 20 P 为正方形 ABCD 内一点 将 ABP 绕 B 顺时针旋转 90 到 CBE 的位置 若 BP 8 求 以 PE 为边长的正方形的面积 21 如图 A B 两个小集镇在河流 CD 的同侧 分别到河的距离为 AC 10 千米 BD 30 千 米 且 CD 30 千米 现在要在河边建一自来水厂 向 A B 两镇供水 铺设水管的费用为 每千米 3 万 请你在河流 CD 上选择水厂的位置 M 使铺设水管的费用最节省 并求出总