三次函数的零点问题

三次函数的零点问题三次函数的零点问题 1 1 2006 2006 全国卷全国卷 设 a 为实数 函数 23 axxxxf 求的极值 xf 当 a 在什么范围内取值时 曲线轴仅有一个交点 xxfy与 解 I 3 2 1 fx 2 xx 若 0 则 1 fxx 1 3 x 当变化时 变化情况如下表 x fx f x x 1 3 1 3 1 1 3 1 1 fx 0 0 f x A 极大值A极小值A 的极大值是 极小值是 f x 15 327 fa 1 1fa II 函数 322 1 1 1f xxxxaxxa 由此可知 取足够大的正数时 有 0 取足够小的负数时有 0 所以曲线 f x f x 与轴至少有一个交点y f xx 结合的单调性可知 f x 当的极大值0 即 1 时 它的极大值也大于 0 因此曲线 f xaa y 与轴仅有一个交点 它在 上 f xx 1 3 当 1 时 曲线 与轴仅有一个交点 5 27 a y f xx 2 2009 江西卷文 江西卷文 本小题满分 本小题满分 12 分 分 设函数 32 9 6 2 f xxxxa 1 对于任意实数x fxm 恒成立 求m的最大值 2 若方程 0f x 有且仅有一个实根 求a的取值范围 解 1 2 3963 1 2 fxxxxx 因为 x fxm 即 2 39 6 0 xxm 恒成立 所以 81 12 6 0m 得 3 4 m 即m的最大值为 3 4 2 因为 当1x 时 0fx 当12x 时 0fx 当2x 时 0fx 所以 当1x 时 f x取极大值 5 1 2 fa 当2x 时 f x取极小值 2 2fa 故当 2 0f 或 1 0f 时 方程 0f x 仅有一个实根 解得 2a 或 5 2 a 3 已知函数 x其中 a 0 aaxx a xxf 23 2 1 3 1 I 求函数的单调区间 xf II 若函数在区间 2 0 内恰有两个零点 求 a 的取值范围 xf III 是否存在常数 a 使得函数在区间 2 0 内恰有一个零点 若存在 求 a 的 xf 取值范围 若不存在 说明理由 答案 4 2009 陕西卷文 陕西卷文 本小题满分 12 分 已知函数 3 31 0f xxaxa 求 f x的单调区间 若 f x在1x 处取得极值 直线 y m 与 yf x 的图象有三个不同的交点 求 m 的取值范围 w w w k s 5 u c o m解析 1 22 333 fxxaxa 当0a 时 对xR 有 0 fx 当0a 时 f x的单调增区间为 当0a 时 由 0fx 解得xa 或xa 由 0fx 解得axa 当0a 时 f x的单调增区间为 aa f x的单调减区间为 aa 2 因为 f x在1x 处取得极大值 所以 2 1 3 1 30 1 faa 所以 3 2 31 33 f xxxfxx 由 0fx 解得 12 1 1xx 由 1 中 f x的单调性可知 f x在1x 处取得极大值 1 1f 在1x 处取得极小值 1 3f 因为直线ym 与函数 yf x 的图象有三个不同的交点 又 3 193f 3 171f 结合 f x的单调性可知 m的取值范围是 3 1 5 2102 高考福建文高考福建文 12 已知 f x x 6x 9x abc a b c 且 f a f b f c 0 现给出如下结论 f 0 f 1 0 f 0 f 1 0 f 0 f 3 0 f 0 f 3 0 其中正确结论的序号是 A B C D 12 答案 C 解析 令则或9123 96 223 xxxfabcxxxxf 0 xf1 x 当时 当时 当时 3 x1 x0 xf31 x0 xf3 x0 xf 所以时有极大值 当时有极小值 函数有三个零点 1 x xf3 x xf xf 且 又 0 3 0 1 ffcba 31 abcf 275427 3 即 因此 故选 C 0 abc0 a0 0 aff0 3 0 0 1 0 ffff 6 湖南 湖南 21 已知函数有三个极值点 432 19 42 f xxxxcx I 证明 275c II 若存在实数 c 使函数在区间上单调递减 求的取值范围 xf 2a a a 解 I 因为函数有三个极值点 432 19 42 f xxxxcx 所以有三个互异的实根 32 390fxxxxc 设则 32 39 g xxxxc 2 3693 3 1 g xxxxx 当时 在上为增函数 3x 0 g x g x 3 当时 在上为减函数 31x 0 g x g x 3 1 当时 在上为增函数 1x 0 g x g x 1 所以函数在时取极大值 在时取极小值 g x3x 1x 当或时 最多只有两个不同实根 3 0g 1 0g 0g x 因为有三个不同实根 所以且 0g x 3 0g 1 0g 即 且 2727270c 1 390c 解得且故 27 c 5 c 275c II 由 I 的证明可知 当时 有三个极值点 275c f x 不妨设为 则 123 xxx 123 xxx 123 fxxxxxxx 所以的单调递减区间是 f x 1 x 23 x x 若在区间上单调递减 xf 2a a 则 或 2a a 1 x 2a a 23 x x 若 则 由 I 知 于是 2a a 1 x 1 2ax 1 3x 5 a 若 则且 由 I 知 2a a 23 x x 2 ax 3 2ax 2 31 x 又当时 32 39 fxxxxc 27c 2 3 3 fxxx 当时 5c 2 5 1 fxxx 因此 当时 所以且275c 3 13 x 3 a 23 a 即故或反之 当或时 31 a 5 a 31 a 5 a 31a 总可找到使函数在区间上单调递减 27 5 c xf 2a a 综上所述 的取值范围是 a 5 3 1 7 全国二理 全国二理 22 已知函数 3 f xxx 1 求曲线在点处的切线方程 yf x M tf t 2 设 如果过点可作曲线的三条切线 证明 0a ab yf x abf a 解 1 求函数的导数 f x 2 31xx f 曲线在点处的切线方程为 yf x M tf t yf tf txt 即 23 31 2ytxt 2 如果有一条切线过点 则存在 使 ab t 23 31 2btat 于是 若过点可作曲线的三条切线 则方程 ab yf x 32 230tatab 有三个相异的实数根 记 32 23g ttatab 则 2 66g ttat 6 t ta 当 变化时 变化情况如下表 t g tg t t 0 0 0 a a a g t 0 0 g t A 极大值 ab A 极小值 bf a A 由的单调性 当极大值或极小值时 方程 g t0ab 0bf a 最多有一个实数根 0g t 当时 解方程