初中数学等腰三角形的分类讨论与存在性问题

1 初中初中数学数学等腰三角形的分等腰三角形的分类讨论类讨论 等腰三角形是一种特殊而又十分重要的三角形 就是因为这种特殊性 在具体处理问 题时往往又会出现错误 因此 同学们在求解有关等腰三角形的问题时一定要注意分类讨 论 那么在什么情况下应该分类讨论呢 本课分以下几种情形讲述 一 遇角需讨论 例 1 已知等腰三角形的一个内角为 75 则其顶角为 A 30 B 75 C 105 D 30 或 75 说明 对于一个等腰三角形 若条件中并没有确定顶角或底角时 应注意分情况讨论 先确定这个已知角是顶角还是底角 再运用三角形内角和定理求解 二 遇边需讨论 例 2 已知等腰三角形的一边等于 5 另一边等于 6 则它的周长等于 说明 对于底和腰不等的等腰三角形 若条件中没有明确哪是底哪是腰时 应在符合 三角形三边关系的前提下分类讨论 三 遇中线需讨论 例 3 若等腰三角形一腰上的中线分周长为 9cm 和 12cm 两部分 求这个等腰三角形 的底和腰的长 简析 已知条件并没有指明哪一部分是 9cm 哪一部分是 12cm 说明 这里求出来的解应满足三角形三边关系定理 四 遇高需讨论 例 4 等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为 45 求这个等腰三角形的顶角的 度数 简析 例 5 为美化环境 计划在某小区内用的草皮铺设一块一边长为 10的等腰三 2 30mm 角形绿地 请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长 说明 三角形的高是由三角形的形状决定的 对于等腰三角形 当顶角是锐角时 腰 上的高在三角形内 当顶角是钝角时 腰上的高在三角形外 2 五 遇中垂线需讨论 例 6 在 ABC 中 AB AC AB 的中垂线与 AC 所在直线相交所得的锐角为 50 则 底角 B 说明 这里的 最容易漏掉 求解时一定要认真分析题意 画出所有可能的图形 这样才能正确解题 等腰三角形的存在性问题等腰三角形的存在性问题 专题攻略 如果 ABC 是等腰三角形 那么存在 AB AC BA BC CA CB 三种情况 已知腰长画等腰三角形用圆规画圆 已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分线 解等腰三角形的存在性问题 有几何法和代数法 把几何法和代数法相结合 可以使 得解题又好又快 几何法一般分三步 分类 画图 计算 代数法一般也分三步 罗列三边长 分类列方程 解方程并检验 针对训练 1 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 已知点 D 在坐标为 3 4 点 P 是 x 轴正半轴上的 一个动点 如果 DOP 是等腰三角形 求点 P 的坐标 3 2 如图 在矩形 ABCD 中 AB 6 BC 8 动点 P 以 2 个单位 秒的速度从点 A 出发 沿 AC 向点 C 移动 同时动点 Q 以 1 个单位 秒的速度从点 C 出发 沿 CB 向点 B 移动 当 P Q 两点中其中一点到达终点时则停止运动 在 P Q 两点移动过程中 当 PQC 为等 腰三角形时 求 t 的值 3 如图 直线 y 2x 2 与 x 轴交于点 A 与 y 轴交于点 B 点 P 是 x 轴正半轴上的一个动 点 直线 PQ 与直线 AB 垂直 交 y 轴于点 Q 如果 APQ 是等腰三角形 求点 P 的坐 标 4 4 如图 点 A 在 x 轴上 OA 4 将线段 OA 绕点 O 顺时针旋转 120 至 OB 的位置 1 求点 B 的坐标 2 求经过 A O B 的抛物线的解析式 3 在此抛物线的对称轴上 是否存在点 P 使得以点 P O B 为顶点的三角形是等腰 三角形 若存在 求点 P 的坐标 若不存在 请说明理由 5 参考答案参考答案 1 因为 D 3 4 所以 OD 5 3 cos 5 DOP 如图 1 当 PD PO 时 作 PE OD 于 E 在 Rt OPE 中 所以 3 cos 5 OE DOP OP 5 2 OE 25 6 OO 此时点 P 的坐标为 25 0 6 如图 2 当 OP OD 5 时 点 P 的坐标为 5 0 如图 3 当 DO DP 时 点 D 在 OP 的垂直平分线上 此时点 P 的坐标为 6 0 第 1 题图 1 第 1 题图 2 第 1 题图 3 2 在 Rt ABC 中 因此 1086 2222 BCABAC 4 cos 5 ACB 在 PQC 中 CQ t CP 10 2t 第 2 题图 1 第 2 题图 2 第 2 题图 3 如图 1 当时 解得 秒 CPCQ 102tt 10 3 t 如图 2 当时 过点 Q 作 QM AC 于 M 则 CM QPQC 1 5 2 PCt 在 Rt QMC 中 解得 秒 45 cos 5 CMt QCM CQt 25 9 t 如图 3 当时 过点 P 作 PN BC 于 N 则 CN PCPQ 11 22 QCt 在 Rt PNC 中 解得 秒 1 4 2 cos 5102 t CN PCN CPt 80 21 t 综上所述 当 t 为时 PQC 为等腰三角形 秒秒 秒 21 80 9 25 3 10 3 由 y 2x 2 得 A 1 0 B 0 2 所以 OA 1 OB 2 如图 由 AOB QOP 得 OP OQ OB OA 2 1 设点 Q 的坐标为 0 m 那么点 P 的坐标为 2m 0 因此 AP2 2m 1 2 AQ2 m2 1 PQ2 m2 2m 2 5m2 6 当 AP AQ 时 AP2 AQ2 解方程 2m 1 2 m2 1 得或 所以符合条0m 4 3 m 件的点 P 不存在 当 PA PQ 时 PA2 PQ2 解方程 2m 1 2 5m2 得 所25m 以 42 5 0 P 当 QA QP 时 QA2 QP2 解方程 m2 1 5m2 得 所以 1 2 m 1 0 P 第 3 题图 4 12 临沂 26 1 如图 过点 B 作 BC y 轴 垂足为 C 在 Rt OBC 中 BOC 30 OB 4 所以 BC 2 2 3OC 所以点 B 的坐标为 2 2 3 2 因为抛物线与 x 轴交于 O A 4 0 设抛物线的解析式为 y ax x 4 代入点 B 解得 2 2 3 2 32 6 a 3 6 a 所以抛物线的解析式为 2 332 3 4 663 yx xxx 3 抛物线的对称轴是直线 x 2 设点 P 的坐标为 2 y 当 OP OB 4 时 OP2 16 所以 4 y2 16 解得 2 3y