北师大中考数学复习专题 三角形四边形的有关计算证明

三角形四边形的有关计算证明三角形四边形的有关计算证明 一 考点 热点分析 一 考点 热点分析 1 了解多边形的内角和与外角和公式 掌握平行四边形 矩形 菱形 正方形 梯形的概 念和性质 了解它们之间的关系 了解四边形的不稳定性 2 掌握平行四边形对边相等 对角相等 对角线互相平分的性质 四边形是平行四边形的 条件 一组对边平行且相等 或两组对边分别相等 或对角线互相平分的四边形是平行四 边形 了解中心对称图形及其基本性质 3 掌握矩形 菱形 正方形的有关性质和四边形是矩形 菱形 正方形的条件 4 了解等腰梯形同一底上的两底角相等 两条对角线相等的性质 以及同一底上的两底角 相等的梯形是等腰梯形的结论 5 进一步认识三角形的有关概念 了解三边之间的关系以及三角形的内角和 了解三角形 的稳定性 6 了解图形的全等 能利用全等图形进行简单的图案设计 7 经历探索三角形全等条件的过程 掌握两个三角形全等的条件 能应用三角形的全等解 决一些实际问题 8 在分别给出两角夹边 两边夹角和三边的条件下 能够利用尺规作出三角形 会写已知 求作和作法 不要求证明 二 知识点归纳 二 知识点归纳 平行四边形的 性质 判别方法 菱形 矩形 正方 形的性质 判别方 法 中心对称图形图形的旋转 平移 等腰梯形的性质和判别方法 特殊的四边形 一般多边形的内角和 n 2 180 外角和为 360 平面图形的密铺 一般的多边形 三角形 三三三三三三三三三 三三三三三三三三三三三三三三三三三三 三三三三三三 三三三三三 三三 三三三三 三三三三三三三三三三三 三三三三三三三三三三三三三三三三 三三三三三三三三 三 三 例题经典例题经典 三角形内角和定理的证明三角形内角和定理的证明 例例 1 1 如图所示 把图 1 中的 1 撕下来 拼成如图 2 所示的图形 从中你能得到什 么结论 请你证明你所得到的结论 点证 此题是让学生动手拼接 把 1 移至 2 已知 a b 根据两直线平行 同旁 内角互补 得到 三角形三内角的和等于 180 的结论 由于此题剪拼的方法很多 证 明的方法也很多 注意对学生的引导 探索三角形全等的条件探索三角形全等的条件 例例 2 2 如图所示 E F 90 B C AE AF 给出下列 结论 1 2 BE CF ACN ABM CD DN 其中正确的结论是 解析 由 E F B C AE AF 可判定 AEB AFC 从而得 EAB FAC 1 2 又可证出 AEM AFN 依此类推得 点评 注意已知条件与隐含条件相结合 全等三角形的应用全等三角形的应用 例例 3 3 2006 年重庆市 如图所示 A D F B 在同一直 线上 AD BF AE BC 且 AE BC 求证 1 AEF BCD 2 EF CD 解析 1 因为 AE BC 所以 A B 又因 AD BF 所以 AF AD DF BF FD BD 又因 AE BC 所以 AEF BCD 2 因为 AEF BCD 所以 EFA CDB 所以 EF CD 点评 根据平行寻求全等的条件 由三角形全等的性质证两直线平行 利用平行四边形的性质求面积利用平行四边形的性质求面积 例例 4 4 2006 年河南省 如图 在ABCD 中 E 为 CD 的中点 连结 AE 并延长交 BC 的延长A 线于点 F 求证 S ABF S ABCD A 解析 四边形 ABCD 为平行四边形 AD BC E 是 DC 的中点 DE CE AED FEC S AED S FEC S ABF S四边形 ABCE S CEF S四边形 ABCE S AED S ABCD A 会根据条件选择适当方法判定平行四边形会根据条件选择适当方法判定平行四边形 例例 5 5 2005 年山东省 如图 在ABCD 中 对角线 AC BD 相交于点 O E F 是对角线A AC 上的两点 当 E F 满足下列哪个条件时 四边形 DEBF 不一定是平行四边形 A OE OF B DE BF C ADE CBF D ABE CDF 分析 虽然判别平行四边形可从 边 角 对角线 三个角度来考 虑 但此例图中已有对角线 所以最适当方法应是 对角线互相平分的四 边形为平行四边形 能利用平行四边形的性质进行计算能利用平行四边形的性质进行计算 例例 6 6 2005 年西宁市 如图 在ABCD 中 已知对角线 AC 和 BD 相交于点 O AOB 的A 周长为 15 AB 6 那么对角线 AC BD 分析 本例解题依据是 平行四边形的对角线互相平分 先求出 AO BO 9 再求得 AC BD 18 四 四 考点精练考点精练 一 一 基础训练 基础训练 1 如图 1 所示 若 OAD OBC 且 O 65 C 20 则 OAD 1 2 3 2 如图 2 在 ABC 中 C 90 AD 平分 CAB BC 8cm BD 5cm 那么 D 点到直线 AB 的距离是 cm 3 如图 3 AD AF 分别是 ABC 的高和角平分线 已知 B 36 C 76 则 DAF 度 4 2006 年烟台市 如图 4 A 65 B 75 将纸片的一角折叠 使点 C 落在 ABC 内 若 1 20 则 2 的度数为 4 5 6 5 如图 5 已知 CD AB BE AC 垂足分别为 D E BE CD 交于点 O 且 AO 平分 BAC 那么图中全等三角形共有 对 6 2006 年河南省 如图 6 在 ABC 中 AC BC 2 ACB 90 D 是 BC 边的中点 E 是 AB 边上一动点 则 EC ED 的最小值是 7 以下列各组线段长为边 能组成三角形的是 A 1cm 2cm 4cm B 8cm 6cm 4cm C 12cm 5cm 6cm D 2cm 3cm 6cm 8 2006 年绍兴市 若有一条公共边的两个三角形称为一对 共边三角形 则图中以 BC 为公共边的 共边三角形 有 A 2 对 B 3 对 C 4 对 D 6 对 7 8 9 9 2006 年德阳市 已知 ABC 的三边长分别为 20cm 50cm 60cm 现要利用长度分别为 30cm 和 60cm 的细木条各一根 做一个三角形木架与 ABC 相似 要求以其中一根为一 边 将另一根截成两段 允许有余料 作为另外两边 那么另外两边的长度 单位 cm 分别为 A 10 25 B 10 36 或 12 36 C 12 36 D 10 25 或 12 36 10 2005 年黄冈市 如图所示 已知 ABC 中 AB AC BAC 90 直角 EPF 的顶点 P 是 BC 中点 两边 PE PF 分别交 AB AC 于点 E F 给出以下四个结论 AE CF EPF 是等腰直角三角形 S四边形 AEPF S ABC EF AP 当 EPF 在 1 2 ABC 内绕顶点 P 旋转时 点 E 不与 A B 重合 上述结论中始终正确的有 A B C D 11 如图 1 该多边形的内角和为 度 1 2 3 12 如图 2 E F 是ABCD 对角线 BD 上的两点 请你添加一个适当的条件 A 使四边形 AECF 是平行四边形 13 2006 年长沙市 如图 3 四边形 ABCD 中 AB CD 要使四边形 ABCD 为平行四边形 则应添加的条件是 添加一个条件即可 14 2006 年扬州市 ABCD 的对角线交于点 O 下列结论错误的是 A A ABCD 是中心对称图形 B AOB CODA C AOD BOC D AOB 与 BOC 的面积相等 15 2005 年天津市 如图 4 在ABCD 中 EF AB GH AD EF 与 GH 交于点 O 则该A 图中的平行四边形的个数共有 A 7 个 B 8 个 C 9 个 D 11 个 16 2006 年广东省 如图 5 所示 在ABCD 中 对角线 AC BD 交于点 O 下列式子中A 一定成立的是 A AC BD B OA OC C AC BD D AO OD 4 5 6 17 2006 年淄博市 如图 6 在 MBN 中 BM 6 点 A C D 分别在 MB NB MN 上 四 边形 ABCD 为平行四边形 NDC MDA 则ABCD 的周长是 A A 24 B 18 C 16 D 12 18 2006 年怀化市 如图 7 AB AC AD BC AD BC 若用剪刀沿 AD 剪开 则最多能拼 出不同形状的四边形个数是 A 2 个 B 3 个 C 4 个 D 5 个 19 如图 8 ABCD 中 点 E F 分别是 AD AB 的中点 EF 交 AC 于点 G 那么 AG GC 的A 值为 A 1 2 B 1 3 C 1 4 D 2 3 7 8 9 20 2006 年南通市 如图 9 ABCD 的周长是 28cm ABC 的周长是 22cm 则 AC 的长A 为 A 6m B 12cm C 4cm D 8cm 二 二 能力提升 能力提升 21 已知 如图 点 C D 在线段 AB 上 PC PD 请你添加一个条件 使图中存在全等三 角形 并给予证明 所添条件为 你得到的一对全等三角形是 22 已知 如图 ABC 是等边三角形 过 AB 边上的点 D 作 DG BC 交 AC 于点 G 在 GD 的延长线上取点 E 使 DE DB 连结 AE CD 1 求证 AGE DAC 2 过点 E 作 EF DC 交 BC 于点 F 请你连结 AF 并判断 AEF 是怎样 的三角形 试证明你的结论 23 2005 年大连市 如图 AB CD AB CD 点 B E F D 在一条直线上 A C 求证 AE CF 说明 证明过程中要写出每步的证明依据 24 2006 年内江市 如图 在 ABD 和 ACE 中 有下列四个等式 AB AC AD AE 1 2 BD CE 请你以其中三个等式作为题设 余下的作为结论 写出一个真命题 要求写出已知 求证及证明过程 25 如图 在ABCD 中 E F 是对角线 AC 上的两点 AE CF 求证 A BE DF 26 2006 年德阳市 如图 已知点 M N 分别是ABCD 的边 AB DCA 的中点 求证 DAN BCM 27 2006 年临安市 已知 如图 E F 是平行四边形 ABCD 的 对角线 AC 上的两点 AE CF 求证 1 ADF CBE 2 EB DF 28 如图 DB AC 且 DB AC E 是 AC 的中点 求证 BC DE 1 2 三 三 应用与探究 应用与探究 29 2006 年浙江省 如图 ABC 与 ABD 中 AD 与 BC 相交于 O 点 1 2 请你添加一个条件 不再添加其 它线段 不再标注或使用其他字母 使 AC BD 并给出证明 你添加的条件是 30 2006 年江阴市 已知平行四边形 ABCD 中 点 E F 分别在边 AB BC 上 1 若 AB 10 AB 与 CD 间距离为 8 AE EB BF FC 求 DEF 的面积 2 若 ADE BEF CDF 的面积分别为 5 3 4 求 DEF 的面积 答案 答案 考点精练 1 95 2 3 3 20 4 60 5 4 对 6 5 7 B 8 B 9 D 10 C 11 答案不唯一 比如 A B PAC PBD 12 1 证略 2 连接 AF 则 AEF 是等边三角形 证略 13 AB CD AB CD A C ABE CDF ASA AE CF 全等三角形对应边相等 14 为题设 为结论 证略 15 C D 证略 例题经典 例 2 B 考点