朱韬初二坑题讲解活动

朱韬朱韬初二坑题讲解活动第初二坑题讲解活动第 1 2 讲讲 解析解析 2015 5 30 第第 1 讲讲 例 例 1 如图 在等腰 如图 在等腰 ABC 中 中 AB AC ABC 30 点 点 D 在直线在直线 AB 上 上 点点 E 在在 CA 的延长线上 连接的延长线上 连接 ED EB 且 且 ED EB 连接 连接 CD 取 取 DE 的中点的中点 M BC 的中点的中点 N 连接 连接 MN 求证 求证 2MN 3CD 解析 解析 延长延长 AD 至至 F 使得 使得 AF AC 在 在 BA 上截取上截取 BG DA AB AC ABC 30 FAC EAB 60 ACF 为等边三角形 为等边三角形 F 60 AB AC CF AF EB ED EBD EDB 在在 EBG 和和 EDA 中 中 EBED EBGEDA BGDA EBG EDA SAS EG EA EAB 60 AEG 为等边三角形 为等边三角形 AE AG AB BG AF DA FD 在在 ABE 和和 FCD 中 中 60 ABFC EABDFC AEFD ABE FCD SAS EB DC EBA DCF 取取 BD 的中点的中点 P 连接 连接 MP NP 则则 MP 1 2 EB MP EB NP 1 2 DC NP DC MP NP MPD EBA DPN FDC MPN MPD DPN EBA FDC DCF FDC 朱韬朱韬初二坑题讲解活动第初二坑题讲解活动第 1 2 讲讲 解析解析 180 DFC 120 1 2 MN 3 2 NP 3 4 CD 2MN 3CD 例 例 2 已知 点 已知 点 E 是是 ABC 的内心 的内心 AE 的延长线和的延长线和 ABC 的外接圆相交于点的外接圆相交于点 D AD BC 交于点交于点 F 1 求证 求证 DE DB 2 若若 BE AC EF 2 DF 3 求 求 AB 的长 的长 3 若若AD是是 ABC外接圆的直径 外接圆的直径 G为为AB上一点 且上一点 且 ADG 1 2 C 3 5 BG AG 求求 sin ABE 的值的值 解析 解析 1 BED 是是 ABE 的外角 的外角 BED BAD EBA CBD CAD EBD CBD EBC CAD EBC 点点 E 是是 ABC 的内心 的内心 AD BE 是是 ABC 的角分线 的角分线 BAD CAD EBA DBC BED EBD DE DB 2 BE AC BE 是是 ABC 的平分线 的平分线 AB BC BAC BCA ECF ECA CAD ECF CBD EC AE CEF BDF EF 2 DF 3 DB DE 5 CE 5 2 3 10 3 AE CE 10 3 AF 16 3 设设 CF 2x 则 则 BF 3x AB BC 5x AF 是是 ABC 的角平分线 的角平分线 朱韬朱韬初二坑题讲解活动第初二坑题讲解活动第 1 2 讲讲 解析解析 ABBF ACCF 即 即 53 2 xx ACx AC 10 3 x 根据角分线长公式 根据角分线长公式 AF2 AB AC BF CF 即 即 2 2 161032 532 333 x xxxx 解得解得 x 2 6 3 AB 5x 10 6 3 3 不妨设不妨设 AG 5 BG 3 则 则 AB 8 ADG 1 2 C 1 2 ADB BG 是是 ABD 的平分线 的平分线 3 5 ADBG BDAG AD 是是 ABC 外接圆的直径 外接圆的直径 ABD 90 sin BAD 3 5 AD BD AD BD AB 5 3 4 BD 6 AD 10 AE AD ED AD BD 4 过点过点 E 做做 EH AB 垂足为 垂足为 H EH AE sin BAD 4 3 5 12 5 AH AE 4 5 16 5 BH AB AH 8 16 5 24 5 BE 22 22 122412 5 555 EHBH sin ABE 15 55 EH BE 例 例 3 如图 在 如图 在 Rt ABC 中 中 ABC 90 BD 平分平分 ABC 点 点 D 在在 ABC 外 外 ADC 135 且 且 ADB CDE 求证 求证 AE CE 朱韬朱韬初二坑题讲解活动第初二坑题讲解活动第 1 2 讲讲 解析解析 法法 1 分析 分析 在在 ABC 中 中 P 是是 BC 边上一点 则有边上一点 则有 sinsin sinsin ABP ACP SBPAB APBAPABBAP SCPAC APCAPACCAP 解析 解析 BAD 135 ADB BDC ADC ADB 135 ADB BAD BDC ABC 90 BD 平分平分 ABC ABD DBC 45 ABD DBC ABDBAD BDBCDC ADB CDE ADE CDF sinsin sinsin AEADADEADCDF ECCDCDECDADF 2 sin sin ADADFAFABAB BDAD CDCDFFCBCBD BCCD sin sin ADFAD CDFCD sinsinsin 1 sinsinsin AEADCDFADFCDF ECCDADFCDFADF AE CE 法法 2 辅助线 将辅助线 将 ABD 绕绕 B 点旋转点旋转 90 得到得到 A BD 连接 连接 DD 交交 BC 于点于点 G 取 取 HG A G 连接连接 HD HD DA 过 过 C 作作 CM AD 交交 DE 延长线于点延长线于点 M DE 延长线交延长线交 BC 于点于点 N 思路 思路 ADC 135 ADH 90 HDC 45 DCM 平行平行 ABC ADH 90 则 则 DHC BAD ADB EDC ABD DCM 45 则 则 DMC BAD 则则 DHC DMC DC 为公共边 为公共边 HCD MDC AAS CM DH A D AD 再由 再由 ADE CME AE CE 朱韬朱韬初二坑题讲解活动第初二坑题讲解活动第 1 2 讲讲 解析解析 朱韬朱韬初二坑题讲解活动第初二坑题讲解活动第 1 2 讲讲 解析解析 2015 6 06 第第 2 讲讲 例 例 1 如图 如图 ABC 是等腰三角形 是等腰三角形 C 90 点 点 M N 分别是分别是 AC 和和 BC 的的 中点 点中点 点 D 在射线在射线 BM 上 且上 且 BD 2BM 点 点 E 在射线在射线 NA 上 且上 且 NE 2NA 求证 求证 BD DE 解析 解析 证明 连接证明 连接 AD 取 取 AD 中点中点 F 连接 连接 EF ABC 是等腰直角三角形 点是等腰直角三角形 点 M N 分别是边分别是边 AC 和和 BC 的中点 的中点 BC AC AC 2CM BC 2CN CM CN 在在 BCM 和和 ACN 中 中 BCAC CC CMCN BCM ACN SAS AN BM CBM CAN NE 2AN AE AN AD BC DAC C 90 ADM CBM NAC 在在 EAF 和和 ANC 中 中 AEAN EAFANC AFNC EAF ANC SAS NAC AEF C AFE 90 AFE DFE 90 F 为为 AD 中点 中点 AF DF 在在 AFE 和和 DFE 中 中 AFDF AFEDFE EFEF AFE DFE SAS 朱韬朱韬初二坑题讲解活动第初二坑题讲解活动第 1 2 讲讲 解析解析 EAD EDA ANC EDB EDA ADB EAD NAC 180 DAM 180 90 90 BD DE 例 例 2 已知在 已知在 ABC 中 中 ABC 90 AB BC 点 点 D 是是 CB 延长线上一点 延长线上一点 以以 AD 为边向上作正方形为边向上作正方形 ADEF 连 接 连 接 CF CE 取 取 CE 中点中点 M 连 接 连 接 BM FM 求证 求证 BM FM 解析 解析 过点过点 E 作作 EG CD 垂足为 垂足为 G BAD BDA ABC 90 BDA GDE 90 BAD GDE ABD 90 四边形 四边形 ADEF 是正方形 是正方形 AD DE EF AF AFE 90 在 在 ABD 和 和 DGE 中 中 90ABDDGE BADGDE ADDE ABD DGE AAS BD GE AB DG CG CD DG CD AB CD BC BD GCE 45 AB BC ABC 90 ACB 45 ACE 90 记记 AF 与与 CE 的交点为的交点为 H 在 在 ACH 和 和 EFH 中 中 ACH EFH 90 AHC EHF CAF CEF 延长延长 BM 到到 N 使 使 BM NM 连接 连接 EN FN FB M 是是 CE 的中点 的中点 CM EM 在 在 BCM 和 和 NEM 中 中 朱韬朱韬初二坑题讲解活动第初二坑题讲解活动第 1 2 讲讲 解析解析 CMEM BMCNME BMNM BCM NEM SAS BC EN BCM NEM 45 AB BC AB EN BAC 45 BAC NEM BAC CAF NEM CEF BAF NEF 在 在 BAF 和 和 NEF 中 中 ABEN BAFNEF AFEF BAF NEF SAS AFB EFN BFN BFE EFN BFE AFB AFE 90 在在 Rt BFN 中 中 BM NM BM FM 例 例 3 如图 如图 1 P 为正方形为正方形 ABCD 边边 CD 上一点 上一点 E 在在 CB 的延长线上 的延长线上 BE DP CEP 的平分线交正方形的对角线的平分线交正方形的对角线 AC 于于 F 求证 求证 AE AF 如图如图 2 AM EP 于于 M FN EP 于于 N 求证 求证 AM FN AD 在在 的条件下 若正方形的条件下 若正方形 ABCD 的边长为的边长为 a N 为为 PM 的中点 求线段的中点 求线段 FN 的的 长长 用含用含 a 的代数式表示的代数式表示 解析 解析 连接连接 AP 四边形 四边形 ABCD 为正方形 为正方形 AB AD ABC BAD ADC 90 在 在 ABE 和 和 ADP 中 中 朱韬朱韬初二坑题讲解活动第初二坑题讲解活动第 1 2 讲讲 解析解析 90 ABAD ABEADP BEDP ABE ADP SAS AE AP BAE DAP EAP BAE BAP DAP BAP BAD 90 AEP 为等腰直角三角形 为等腰直角三角形 AEP 45 EF 是 是 CEP 的平分线 的平分线 PEF CEF AC 是正方形是正方形 ABCD 的对角线 的对角线 ACB 45 AEP PEF ACB CEF AEF AFE AE AF AEP 为等腰直角三角形 为等腰直角三角形 AM EP 2AM AE AF 作作 FH EC 垂足为 垂足为 H CFH 为等腰直角三角形 为等腰直角三角形 EF 是是是 是 CEP 的平分线 的平分线 FN EP FH EC FN FH 2FN 2FH FC 2AM 2FN AF FC AC 2AD AM FN AD 设设 PN x FN r NM x EM 2x EN 3x EP 4x EH EN 3x PC x r EC 3x r 在在 Rt CEP 中 中 EC2 PC2 EP2 即 即 3x r 2 x r 2 4x 2 解得解得 x 27 3 r EB DP a x r BH a r EH EB BH 2a x 2r 3x 2a 27 3 r 2r 3 27 3 r r 72 7 7 a 例 例 4 在 在 ABC BAC 60 ABC 的角平分线的角平分线 AE BE 交于点交于点 E 点 点 D 在在 BC 上 且上 且 CD 2BD EF AC 交交 AB 于点于点 F 连接 连接 FD 交交 BE 于点于点 G 求证 求证 FG BG 朱韬朱韬初二坑题讲解活动第初二坑题讲解活动第 1 2 讲讲 解析解析 解析 解析 作作 ABC 内切圆圆内切圆圆 E 设圆设圆 E 切切 AB 于点于点 N 连接连接 EN 作作 DM AB CH AB 垂足分别为垂足分别为 M H 延长延长 AB 到点到点 P 使使 BP BD 连接连接 DP P BDP 1 2 ABC ABG 设设 ABC 的三边分别为的三边分别为 a b c 由切线长定理得 由切线长定理得 AN 1 2 AB AC BC 1 2 b c a BAC 60 AE 平分平分 BAC EF AC EAN EAC AEF FEN 30 AF EF 2FN AF 2 3 AN 2 3 1 2 b c a 1 3 b c a ACH 90 BAC 30 AH 1 2 AC 1