python 求一元函数极小值-第7章 函数的极小值

第第 7 章章 一元函数极小值一元函数极小值 7 1 最优化方法简介最优化方法简介 一 最优化方法一 最优化方法 在给定条件下 尽你尽你力所能及地得出最好的解的方法称为最优化方法 最优化方法解决问题的一般步骤是 1 构造一个数学模型 Q f x1 x2 x3 xn 应确保构造的模型有极小值 2 找出使 Q 最小的自变量 x1 x2 xn 如果 自变量只有一个 即 Q f x 则此时称为一元函数的最优化 下面我们只讨 论一元函数的最优化问题 二 求解一元函数最优化问题的求导数方法二 求解一元函数最优化问题的求导数方法 如果 f x 可以写出解析式 并且可以求导数 设 x 处是极化小值 则有 f x 0 f x 0 遗憾的是现实中 我们导出的数据模型 很难求导数 三 求解一元函数最优化问题的搜索方法三 求解一元函数最优化问题的搜索方法 求解一元函数最优化问题的搜索方法分为全面搜索法和逐步搜索法 如果要求解 对于 f x 在区间 a b 上的极小点 x 要求相对精度 10E 5 则 x 计算 x x 计算 x 我们此处仅介绍全面搜索法 全面搜索法 也叫迈步法 全面搜索法 也叫迈步法 全面搜索法的计算方案 1 将区间 a b 分成 n 等份 每份长度 dx b a n 在每个分点上计算函 数值 可以知道函数在哪个分点上的值最小 设为 Xmin 2 新的求解区间为 Xm dx Xm dx 记为 a1 b1 3 如果 a1 与 b1 很接近 即满足 a1 b1 a1 b1 则 我们要找的最小点是 Xm f Xm 结束搜索 否则 令 a a1 b b1 转 1 在海湾战争中 美军曾使用地毯式轰炸 就是一种二维迈步法 又称网格法 亦称拉网 法 迈步法是搜索法中最基本的方法 它非常有效 缺点是计算量大了一点 在量子化学计算 中 X 计算方法就使用了这种方法 我是从它的打印计算结果中分析出来的 例 1 求函数 的极小点 的极小点 10 3 2 xxf coding gbk coding gbk 迈步法求函数迈步法求函数 f x f x 在在 a b a b 的极小点的极小点 入口入口 f f 模型函数模型函数 a ba b 待优化参数的起始区间待优化参数的起始区间 a b a b defdef maibu maibu f f a a b b n n 2020 whilewhile True True dxdx b a n b a n xminxmin a a fminfmin f xmin f xmin forfor i i inin range 1 n 1 range 1 n 1 xixi a dx ia dx i fifi f xi f xi ifif fi fmin fi fmin fminfmin fifi xminxmin xixi a a xminxmin dxdx b b xminxmin dxdx ifif abs b a abs b a 1E 51E 5 abs a abs b abs a abs b returnreturn a b 2 a b 2 defdef f f x x returnreturn x 3 2 10 x 3 2 10 xpxp maibu f maibu f 1000 1000 1000 1000 print print 极小值点极小值点 xp f xp xp f xp 极小值点 3 0 10 0 7 2 求一元弱酸的求一元弱酸的 pH 值值 在分析化学中 我们已经学习过一元弱酸溶液的 pH 值的近似公式 CkH 1 在这里 我们试着用求极小值的方法去求解 精确 解 即不作近似 AH k HA OHH kw OH 1 2 电荷平衡 OHAH 根据分布系数知 1 1 kH k CA HA 所以 1 1 1 H kw kH k CH HA 要想直解求解方程 2 有点困难 我们构造模型函数 2 1 1 1 2 H kw kH k CHkwkCHfQ HAHA 将求解方程 2 的问题转化为求使用 Q 最小的 H 即问题转化为求一元函数极小值 的问题 说明 2 式中 CHA k1 kw 均为常数 例 2 求 0 01M HA k1 1 8E 5 溶液的 pH coding gbk 求 0 01M HA k1 1 8E 5 溶液的 pH 迈步法求函数 f x 在 a b 的极小点 入口 f 模型函数 a b 待优化参数的起始区间 a b def maibu f a b n 20 while True dx b a n xmin a fmin f xmin for i in range 1 n 1 xi a dx i fi f xi if fi fmin fmin fi xmin xi a xmin dx b xmin dx if abs b a 1E 5 abs a abs b return a b 2 KW 1E 14 C 0 01 K1 1 8E 5 def f pH H 10 pH OH KW H A C K1 H K1 return H OH A 2 XP maibu f 0 14 print 0 01M HA 的 pH XP 0 01M HA 的的 pH 3 381574 下面我们研究用近似公式和精确解进行比较 依次计算 0 1 0 01 0 001 0 0001 0 00001M 的 HA 溶液的 pH 值 coding gbk 求 0 1 0 01 0 001 0 0001 0 00001M HA k1 1 8E 5 溶液的 pH 迈步法求函数 f x 在 a b 的极小点 入口 f 模型函数 a b 待优化参数的起始区间 a b def maibu f a b n 20 while True dx b a n xmin a fmin f xmin for i in range 1 n 1 xi a dx i fi f xi if fi fmin fmin fi xmin xi a xmin dx b xmin dx if abs b a 1E 5 abs a abs b return a b 2 KW 1E 14 C 1 0 K1 1 8E 5 def f pH H 10 pH OH KW H A C K1 H K1 return H OH A 2 import math for i in range 1 6 C C 10 XP maibu f 0 14 XJS math log10 math sqrt K1 C 用近似公式计算的 pH H 10 XP HJS 10 XJS re HJS H H 100 0 相对误差 print 7 5fM HA 的 pH 10 3f 近似计算 pH 10 3f C XP XJS print 7 5fM HA 的 H 10 2E 近似计算 H 10 2E 相对误差 7 2f C H HJS re 0 10000M0 10000M HAHA 的的 pHpH 2 8752 875 近似计算近似计算 pHpH 2 8722 872 0 10000M0 10000M HAHA 的的 H H 1 33E 031 33E 03 近似计算近似计算 H H 1 34E 031 34E 03 相对误差相对误差 0 67 0 67 0 01000M0 01000M HAHA 的的 pHpH 3 3823 382 近似计算近似计算 pHpH 3 3723 372 0 01000M0 01000M HAHA 的的 H H 4 15E 044 15E 04 近似计算近似计算 H H 4 24E 044 24E 04 相对误差相对误差 2 14 2 14 0 00100M0 00100M HAHA 的的 pHpH 3 9013 901 近似计算近似计算 pHpH 3 8723 872 0 00100M0 00100M HAHA 的的 H H 1 25E 041 25E 04 近似计算近似计算 H H 1 34E 041 34E 04 相对误差相对误差 6 93 6 93 0 00010M0 00010M HAHA 的的 pHpH 4 4644 464 近似计算近似计算 pHpH 4 3724 372 0 00010M0 00010M HAHA 的的 H H 3 44E 053 44E 05 近似计算近似计算 H H 4 24E 054 24E 05 相对误差相对误差 23 44 23 44 0 00001M0 00001M HAHA 的的 pHpH 5 1455 145 近似计算近似计算 pHpH 4 8724 872 0 00001M0 00001M HAHA 的的 H H 7 16E 067 16E 06 近似计算近似计算 H H 1 34E 051 34E 05 相对误差相对误差 87 47 87 47 这个结果告诉我们 当弱酸的浓度比较大时 近似计算公式还是可以用的 例 3 计算 0 1M NaHA 草酸氢钠 溶液的 pH 值 草酸氢钠的电荷平衡 2 AHAOHNaH 上式中 上式中 2 11 2 1 2 11 1 1 0 2 2 kkkHH kk CA kkkHH kH CHA HkwOH Na coding gbk 计算 0 1M NaHA 草酸氢钠 溶液的 pH 值 已知 k1 0 0562 k2 5 248e 05 迈步法求函数 f x 在 a b 的极小点 入口 f 模型函数 a b 待优化参数的起始区间 a b def maibu f a b n 20 while True dx b a n xmin a fmin f xmin for i in range 1 n 1 xi a dx i fi f xi if fi fmin fmin fi xmin xi a xmin dx b xmin dx if abs b a 1E 5 abs a abs b return a b 2 计算 0 1M NaHA 草酸氢钠 溶液的 pH 值 模型函数 Q H Na HA 2 A OH 2 k1 0 0562 k2 5 248e 05 C 0 1 H2Ac 的分析浓度 草酸氢钠 CNa C Na K1 0 0562 K2 5 248e 05 KW 1E 14 水的离子积 构造模型函数 def f pH H 10 pH OH KW H HA C K1 H H H K1 H K2 K1 A C K1 K2 H H K1 H K2 K1 return H CNa HA OH 2 A 2 XP maibu f 0 14 print 计算 0 1M NaHA 草酸氢钠 溶液的 pH 值 print 已 k1 0 0562 k2 5 248e 05 print pH 7 3f XP 计算计算 0 1M NaHA 草酸氢钠草酸氢钠 溶液的溶液的 pH 值值 已已 k1 0 0562 k2 5 248e 05 pH 2 867 例 4 计算 10ml 0 1M NaHA 草酸氢钠 溶液 2ml 0 01 M NaOH 溶液的 pH 值 分析 混合前草酸氢钠 C1 0 1 M V1 10 ml NaOH C2 0 01 M V2 2 ml 混合后的分析浓度 21 2 2 21 1 1 VV V CC VV V CC NaOH NaHA 电荷平衡 2 AHAOHNaH 式中 2 11 2 1 2 11 1 2 2 kkkHH kk CA kkkHH kH CHA HkwOH CCNa NaHANaOH 我们发现例 4 与例 3 的电荷平衡式是一样的 唯一不同的是 Na 的计算式略有不同 coding gbk 迈步法求 10ml 0 2M 草酸氢钠 2ml 0 02M NaOH 溶液的 pH 计算求 10ml 0 1M 草酸氢钠 2ml 0 01M NaOH 溶液的 pH 已知 k1 0 0562 k2 5 248e 05 三分法求函数 f 的极小点的 x 值 入口 f 模型函数 a b 待优化参数的起始区间 a b def maibu f a b n 20 while True dx b a n xmin a fmin f xmin for i in range 1 n 1 xi a dx i fi f xi if fi fmin fmin fi xmin xi a xmin dx b xmin dx if abs b a 1E 5 abs a abs b return a b 2 模型函数 Q H Na HA 2 A OH 2 k1 0 0562 k2 5 248e 05 C1 0 1 草酸氢钠的初始浓度 V1 10 C2 0 01 NaOH 的初始浓度 V2 2 混合后 CNaHA C1 V1 V1 V2 CNaOH C2 V2 V1 V2 CNa CNaHA CNaOH Na K1 0 0562 K2 5 248e 05 KW 1E 14 水的离子积 构造模型函数 def f pH H 10 pH OH KW H HA CNaHA K1 H H H K1 H K2 K1 A CNaHA K1 K2 H H K1 H K2 K1 return H CNa HA OH 2 A 2 XP maibu f 0 14 print 计算 10ml 0 1M 草酸氢钠 2ml 0 01M NaOH 溶液的 pH print 已 k1 0 0562 k2 5 248e 05 print pH 7 3f XP 计算计算 10ml 0 1M 草酸氢钠草酸氢钠 2ml 0 01M NaOH 溶液的溶液的 pH 已已 k1 0 0562 k2 5 248e 05 pH 2 998 例 5 求 10ml 0 1M 草酸氢钠 10ml 0 1M 醋酸 2ml 0 02M NaOH 溶液的 pH 已知 草酸的电离常数 k1 0 0562 k2 5 248e 05 醋酸电离常数 k1 HAC 1 8e 5 coding gbk 迈步法求 10ml 0 1M 草酸氢钠 10ml 0 1M 醋酸 2ml 0 02M NaOH 溶液的 pH 已知 草酸的电离常数 k1 0 0562 k2 5 248e 05 醋酸电离常数 k1 HAC 1 8e 5 入口 f 模型函数 a b 待优化参数的起始区间 a b def maibu f a b n 20 while True dx b a n xmin a fmin f xmin for i in range 1 n 1 xi a dx i fi f xi if fi fmin fmin fi xmin xi a xmin dx b xmin dx if abs b a 1E 5 abs a abs b return a b 2 模型函数 Q H Na HA 2 A OH Ac 2 k1 0 0562 k2 5 248e 05 C1 0 1 草酸氢钠的初始浓度 V1 10 C2 0 01 NaOH 的初始浓度 V2 2 C3 0 1 醋酸的初始浓度 V3 10 混合后 CNaHA C1 V1 V1 V2 V3 CNaOH C2 V2 V1 V2 V3 CHAc C3 V3 V1 V2 V3 CNa CNaHA CNaOH Na K1 0 0562 K2 5 248e 05 K HAc 1 8E 5 KW 1E 14 水的离子积 构造模型函数 def f pH H 10 pH OH KW H HA CNaHA K1 H H H K1 H K2 K1 A CNaHA K1 K2 H H K1 H K2 K1 Ac CHAc K HAc H K HAc return H CNa HA OH 2 A Ac 2 XP maibu f 0 14 print 计算 10ml 0 1M 草酸氢钠 10ml 0 1M 醋酸 2ml 0 02M NaOH 溶液的 pH print 已知 k1 0 0562 k2 5 248e 05 print 已知 k HAc 1 8E 5 print pH 7 3f XP 计算计算 10ml 0 1M 草酸氢钠草酸氢钠 10ml 0 1M 醋酸醋酸 2ml 0 02M NaOH 溶液的溶液的 pH 已知已知 k1 0 0562 k2 5 248e 05 已知已知 k HAc 1 8E 5 pH 2 966 例 6 计算 10ml 0 1M 草酸氢钠 10ml 蒸馏水 2ml 0 02M NaOH 溶液的 pH 为了与例对比 我们用蒸馏水代替醋酸试一下结果会怎样 coding gbk 迈步法求 10ml 0 1M 草酸氢钠 10ml 蒸馏水 2ml 0 02M NaOH 溶液的 pH 已知 草酸的电离常数 k