双曲线的简单几何性质(教案)

1 教案教案 普通高中课程标准选修普通高中课程标准选修 2 12 1 2 3 22 3 2 双曲线的简单几何性质 第一课时 双曲线的简单几何性质 第一课时 教材的地位与作用教材的地位与作用 本节内容是在学习了曲线与方程 椭圆及其标准方程和简单几何性质 双曲线及 其标准方程的基础上 进一步通过双曲线的标准方程推导研究双曲线的几何性质 可 以类比椭圆的几何性质得到双曲线的几何性质 通过本节课的学习 使学生深刻理解 双曲线的几何性质 体验数学中的类比 联想 数形结合 转化等思想方法 二 教学目标教学目标 一 知识与技能 1 了解双曲线的范围 对称性 顶点 离心率 2 理解双曲线的渐近线 二 过程与方法 通过联想椭圆几何性质的推导方法 用类比方法以双曲线标准方程为工具推导双 曲线的几何性质 从而培养学生的观察能力 联想类比能力 三 情感态度与价值观 让学生充分体验探索 发现数学知识的过程 深刻认识 数 与 形 的关系 培养学生勇于攀登科学高峰的精神 三 三 教学重点难点教学重点难点 双曲线的渐近线既是重点也是难点 四 四 教学过程教学过程 一 课题引入 1 前面我们学习了椭圆及其标准方程 并由标准方程推导出椭圆的几何性质 椭圆的 几何性质有哪些 教师用课件引导学生复习椭圆的几何性质 双曲线及其标准方程 今天我们以标准方程为工具 研究双曲线的几何性质 板书板书 双曲线双曲线的性质的性质 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 2 双曲线有哪些性质呢 范围 对称性 顶点 离心率 渐近线 3 双曲线的这些性质具体是什么 如何推导 请同学们对比椭圆的几何性质的推导方 2 法 推导出双曲线的几何性质 讨论 二 双曲线的性质 1 范围 把双曲线方程变形为 1 2 2 2 2 b y a x 2 2 2 2 1 b y a x 因为 因此 即 所以 0 2 2 b y 1 2 2 a x 22 ax axax 或 又因为 故 0 2 2 b y Ry 板书板书 1 1 范围 范围 axax 或 Ry 2 对称性 下面我们来讨论双曲线的的对称性 哪位同学能根据双曲线的标准方程 1 2 2 2 2 b y a x 判断它的对称性 在标准方程中 把换成 或把换成 或把 同时换成 时 xx yy xyx y 方程都不变 所以图形关于轴 轴和原点都是对称的 yx 板书板书 2 2 对称性 双曲线的对称轴是 对称性 双曲线的对称轴是轴 轴 轴 原点是它的对称中心 轴 原点是它的对称中心 xy 3 顶点 提问 1 双曲线有几个顶点 顶点的坐标是什么 在标准方程中 令得 令 则无解 1 2 2 2 2 b y a x 0 yax 0 xy 这说明双曲线有两个顶点 0 0 21 aAaA 2 如图 对称轴上位于两顶点间的线段 o 2 B 1 B 2 A 1 A y x 3 叫做双曲线的实轴 其长度为 尽管此双曲线与轴无公共点 但 21A A1 2 2 2 2 b y a x a2y 轴上的两个特殊的点 我们称线段为双曲线的虚轴 其长度为y 0 0 21 bBbB 21B B b2 板书板书 3 3 顶点 顶点 称 称为实轴 为实轴 为虚轴 其中为虚轴 其中 0 0 21 aAaA 21A A 21B B 0 0 21 bBbB 特别地 当特别地 当时 双曲线时 双曲线的实轴长与虚轴长相等 称其为等轴双曲线的实轴长与虚轴长相等 称其为等轴双曲线ba 1 2 2 2 2 b y a x 222 ayx 4 离心率 板书板书 4 4 定义双曲线的焦距与实轴长的比 定义双曲线的焦距与实轴长的比 叫做双曲线的离心率 a c e 提问 1 双曲线的离心率与椭圆的离心率有什么不同 2 双曲线的形状与离心率有什么关系 由等式 可知 222 bac 2 2 2 2 22 2 2 11 a b a b a ba a c a c e 板书板书 双曲线的离心率 双曲线的离心率且且 越大双曲线的开口就越开阔 越大双曲线的开口就越开阔 1 ee 5 渐近线 提问 提问 1 椭圆与双曲线还有一个最大的不同是曲线的范围及其走向 曲线的范围与 走向是我们研究曲线性质的一个重要方面 因为它可以为我们绘制曲线的草图提供依 据 那么请大家想一想双曲线的走向是什么样的呢 谁能比较准确地画出双曲线 在第一象限内双曲线可以化为 是增函数 1 2 2 2 2 b y a x 22 ax a b y 因为 所以 即 这个不等式意味着什 222 xax x a b x a b ax a b y 222 x a b y 么 它表示直线下方半个平面区域 x a b y 用刚才作矩形的方法画出两条直线 然后指出区域 x a b y 由于双曲线和直线都关于坐标轴对称 所以双曲线 两支 在直线之x a b y x a b y 间 这样 我们进一步缩小了双曲线所在区域的范围 4 提问 提问 2 直线与双曲线有什么联系呢 x a b y 1 2 2 2 2 b y a x 用几何画板课件演示 用几何画板课件演示 随着无限增大时 点到直线的距离就无限趋于零 x yxMx a b y 板书板书 5 5 渐近线 直线 渐近线 直线叫做双曲线叫做双曲线的渐近线 直的渐近线 直x a b y 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 线线叫做双曲线叫做双曲线的渐近线 的渐近线 x b a y 0 0 1 2 2 2 2 ba b x a y 练习 求下列双曲线的渐近线方程 写成直线的一般式 1 的渐近线方程是 3694 22 yx032 yx 2 的渐近线方程是 3694 22 yx032 yx 3 的渐近线方程是 100425 22 yx025 yx 4 的渐近线方程是 100425 22 yx025 yx 可以发现 双曲线方程与其渐近线之间似乎存在某种规律 启发学生讨论 归纳 启发学生讨论 归纳 把双曲线方程中的常数项改为零 会怎样呢 即 这就表示两条渐近线0 2 2 2 2 b y a x 0 b y a x b y a x 00 b y a x b y a x 或 板书板书 结论 把双曲线标准方程中等号右边的 结论 把双曲线标准方程中等号右边的 1 1 改成改成 0 0 然后变形 即可得其渐 然后变形 即可得其渐 近线方程 近线方程 5 三 小结 三 小结 标准方程标准方程 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 0 0 1 2 2 2 2 ba b x a y 图形图形 焦点 0 0 21 cFcF 0 0 21 cFcF 范围 axax 或Ry Rxayay 或 对称性关于轴 轴 原点都对称xy 顶点 0 0 21 aAaA 0 0 21 aAaA 离心率1 a c e 性 质 渐近线x a b y x b a y 四 典型例题与变式训练 例例 1 1 求双曲线的半实轴长和半虚轴长 焦点坐标 离心率 渐近线144169 22 xy 方程 解 把方程化为标准方程144169 22 xy1 34 2 2 2 2 xy 由此可知 半实轴长 半虚轴长 4 a3 b 534 2222 bac 焦点坐标是 离心率 渐近线方程为 5 0 5 0 4 5 a c exy 3 4 2 A 1 A 2 F 1 F O y x o 2 B 1 B 2 A 1 A y x 6 归纳总结 首先把方程化为标准方程 看准焦点在哪条轴上 得到 a b c 的值 再由 双曲线的几何性质求解 变式训练变式训练 求双曲线的半实轴长和半虚轴长 焦点坐标 离144169 22 xy 心率 渐近线方程 例例 2 2 求适合下列条件的双曲线标准方程 1 顶点在轴上 虚轴长为 12 离心率为 x 4 5 2 顶点间距离为 6 渐近线方程为 xy 2 3 解 1 设双曲线的标准方程为 1 2 2 2 2 b y a x 0 0 ba 由题意知 且 122 b 4 5 a c 222 bac 8 10 6 acb 所求双曲线方程为 1 3664 22 yx 2 当焦点在轴上时 由且 x 2 3 a b 3 a 2 9 b 所求双曲线方程为1 81 4 9 22 yx 当焦点在轴上时 由且 y 2 3 b a 3 a2 b 所求双曲线方程为1 49 22 xy 归纳总结 首先观察条件能否确定焦点位置 再采用待定系数法设出所求双曲线的标准方程 在 由条件求出 a b c 即可 变式训练变式训练 2 求符合下列条件的双曲线的标准方程 1 顶点在轴上 两顶点间的距离是 8 x 4 5 e 2 焦距是 16 3 4 e 7 五 课堂总结 五 课堂总结 六 作业 六 作业 教材第 61 页 习题 2 3 第 2 3 两题 五 五 板书设计板书设计 椭圆双曲线 图形 标准方程 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 范围bybaxa axax 或Ry 对称性关于轴 轴 原点都对称xy关于轴 轴 原点都对称xy 顶点 0 0 ba 0 a 离心率 10 a c e1 a c e 渐近线 无x a b y 1 范围 axax 或Ry 2 3 2 双曲线的简单几何性质 双曲线的性质 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 2 对称性 双曲线的对称轴是轴 x 轴 原点是它的对称中心 y 3 顶点 称为实 0 0 21 aAaA 21A A 轴 为虚轴 其中 21B B 0 0 21 bBbB 4 渐近线 直线叫做 x a b y 例题 课堂训练 5 结论 o 2 B 1 B 2 A 1 A y x 2 F 1 F o y x 8 六 六 课堂设计说明课堂设计说明 1 本节课的内容是通过双曲线标准方程推导研究双曲线的几何性质 采用类比 椭圆的几何性质的推导方法 让学