8.1直线的倾斜角与斜率、直线的方程

第一节 直线的倾斜角与斜率 直线的方程 备考方向要明了 考 什 么怎 么 考 1 理解直线的倾斜角和斜率的概念 掌握过两点的直线斜率的计算公 式 2 能根据两条直线的斜率判断这两条 直线平行或垂直 3 掌握确定直线位置的几何要素 掌 握直线方程的几种形式 点斜式 两 点式及一般式等 了解斜截式与一 次函数的关系 1 对直线的倾斜角和斜率概念的考查 很少单独命题 但作为解析几何的基础 复习时要加深理解 2 对两条直线平行或垂直的考查 多与其他知识结合 考查 如 2012 年浙江 T3 等 3 直线方程一直是高考考查的重点 且具有以下特点 1 一般不单独命题 考查形式多与其他知识结合 以 选择题为主 2 主要是涉及直线方程和斜率 归纳 知识整合 1 直线的倾斜角与斜率 1 直线的倾斜角 一个前提 直线 l 与 x 轴相交 一个基准 取 x 轴作为基准 两个方向 x 轴正方向与直线 l 向上方向 当直线 l 与 x 轴平行或重合时 规定 它的倾斜角为 0 倾斜角的取值范围为 0 2 直线的斜率 定义 若直线的倾斜角 不是 90 则斜率 k tan 计算公式 若由 A x1 y1 B x2 y2 确定的直线不垂直于 x 轴 则 k y2 y1 x2 x1 探究 1 直线的倾角 越大 斜率 k 就越大 这种说法正确吗 提示 这种说法不正确 由 k tan 知 当 时 越大 斜率越大且为 2 0 2 正 当 时 越大 斜率也越大且为负 但综合起来说是错误的 2 2 两条直线的斜率与它们平行 垂直的关系 探究 2 两条直线 l1 l2垂直的充要条件是斜率之积为 1 这句话正确吗 提示 不正确 当一条直线与 x 轴平行 另一条与 y 轴平行时 两直线垂直 但一条直线 斜率不存在 3 直线方程的几种形式 名称条件方程适用范围 点斜式斜率 k 与点 x0 y0 y y0 k x x0 不含直线 x x0 斜截式斜率 k 与截距 by kx b不含垂直于 x 轴的直线 两点式 两点 x1 y1 x2 y2 y y1 y2 y1 x x1 x2 x1 不含直线 x x1 x1 x2 和 直线 y y1 y1 y2 截距式截距 a 与 b 1 x a y b 不含垂直于坐标轴和过原 点的直线 一般式 Ax By C 0 A2 B2 0 平面直角坐标系内的直线 都适用 探究 3 过两点 P1 x1 y1 P2 x2 y2 的直线是否一定可用两点式方程表示 提示 当 x1 x2 或 y1 y2时 由两点式方程知分母此时为零 所以不能用两点式方程 表示 自测 牛刀小试 1 教材习题改编 若直线 x 2 的倾斜角为 则 A 等于 0 B 等于 4 C 等于 D 不存在 2 解析 选 C 因为直线 x 2 垂直于 x 轴 故其倾斜角为 2 2 教材习题改编 过点 M 2 m N m 4 的直线的斜率等于 1 则 m 的值为 A 1 B 4 C 1 或 3 D 1 或 4 解析 选 A 由题意知 1 解得 m 1 4 m m 2 3 过两点 0 3 2 1 的直线方程为 A x y 3 0 B x y 3 0 C x y 3 0 D x y 3 0 解析 选 B 直线斜率为 1 3 1 0 2 其方程为 y x 3 即 x y 3 0 4 直线 l 的倾斜角为 30 若直线 l1 l 则直线 l1的斜率 k1 若直线 l2 l 则直线 l2的斜率 k2 解析 l1 l2 kl1 tan 30 3 3 l2 l kl2 1 kl3 答案 3 33 5 已知 A 3 5 B 4 7 C 1 x 三点共线 则 x 等于 解析 因为 kAB 2 kAC 7 5 4 3 x 5 1 3 x 5 4 A B C 三点共线 所以 kAB kAC 即 2 x 5 4 解得 x 3 答案 3 直线的倾斜角和斜率 例 1 1 直线 xsin y 2 0 的倾斜角的取值范围是 A 0 B 0 4 3 4 C D 0 4 0 4 2 2 已知两点 A m n B n m m n 则直线 AB 的倾斜角为 3 直线 l 过点 P 1 0 且与以 A 2 1 B 0 为端点的线段有公共点 则直线 l 的斜 3 率的取值范围为 自主解答 1 设直线的倾斜角为 则有 tan sin 其中 sin 1 1 又 0 所以 0 或 0 b 0 x a y b 则有 1 且 ab 12 3 a 2 b 1 2 解得 a 6 b 4 所以所求直线 l 的方程为 1 x 6 y 4 即 2x 3y 12 0 法二 设直线 l 的方程为 y 2 k x 3 k0 令 y 0 得 x 3 0 2 k 所以 S OAB 2 3k 12 解得 k 1 2 3 2 k 2 3 故所求直线方程为 y 2 x 3 即 2x 3y 12 0 2 3 答案 1 D 2 2x 3y 12 0 求直线方程的常用方法 1 直接法 根据已知条件 选择恰当形式的直线方程 直接求出方程中系数 写出直 线方程 2 待定系数法 先根据已知条件设出直线方程 再根据已知条件构造关于待定系数的 方程 组 求系数 最后代入求出直线方程 5 ABC 的三个顶点为 A 3 0 B 2 1 C 2 3 求 1 BC 所在直线的方程 2 BC 边上中线 AD 所在直线的方程 3 BC 边的垂直平分线 DE 的方程 解 1 因为直线 BC 经过 B 2 1 和 C 2 3 两点 由两点式得 BC 的方程为 y 1 3 1 即 x 2y 4 0 x 2 2 2 2 设 BC 中点 D 的坐标 x y 则 x 0 y 2 2 2 2 1 3 2 BC 边的中线 AD 过点 A 3 0 D 0 2 两点 由截距式得 AD 所在直线方程为 1 即 2x 3y 6 0 x 3 y 2 3 BC 的斜率 k1 则 BC 的垂直平分线 DE 的斜率 k2 2 由点斜式得直线 DE 的方 1 2 程为 y 2 2 x 0 即 2x y 2 0 1 个关系 直线的倾斜角和斜率的关系 1 任何的直线都存在倾斜角 但并不是任意的直线都存在斜率 2 直线的倾斜角 和斜率 k 之间的对应关系 0 0 90 90 90 0不存在k 0 3 个注意点 与直线方程的适用条件 截距 斜率有关问题的注意点 1 明确直线方程各种形式的适用条件 点斜式斜截式方程适用于不垂直于 x 轴的直线 两点式方程不能表示垂直于 x y 轴的 直线 截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线 在应用时要结合题意选择合适 的形式 在无特殊要求下一般化为一般式 2 截距不是距离 距离是非负值 而截距可正可负 可为零 在与截距有关的问题中 要注意讨论截距是否为零 3 求直线方程时 若不能断定直线是否具有斜率时 应注意分类讨论 即应对斜率存 在与否加以讨论 易误警示 有关直线方程中 极端 情况的易误点 典例 2013 常州模拟 过点 P 2 3 且在两坐标轴上的截距相等的直线 l 的方程为 解析 当截距不为 0 时 设所求直线方程为 1 即 x y a 0 x a y a 点 P 2 3 在直线 l 上 2 3 a 0 a 1 所求直线 l 的方程为 x y 1 0 当截距为 0 时 设所求直线方程为 y kx 则有 3 2k 即 k 3 2 此时直线 l 的方程为 y x 即 3x 2y 0 3 2 综上 直线 l 的方程为 x y 1 0 或 3x 2y 0 答案 x y 1 0 或 3x 2y 0 易误辨析 1 因忽略截距为 0 的情况 导致求解时漏掉直线方程 3x 2y 0 而致错 所以可以 借助几何法先判断 再求解 避免漏解 2 在选用直线方程时 常易忽视的情况还有 1 选用点斜式与斜截式时忽视斜率不存在的情况 2 选用两点式方程时忽视与 x 轴垂直的情况及与 y 轴垂直的情况 变式训练 已知直线 l 过 2 1 m 3 两点 则直线 l 的方程为 解析 当 m 2 时 直线 l 的方程为 x 2 当 m 2 时 直线 l 的方程为 y 1 3 1 x 2 m 2 即 2x m 2 y m 6 0 因为 m 2 时 方程 2x m 2 y m 6 0 即为 x 2 所以直线 l 的方程为 2x m 2 y m 6 0 答案 2x m 2 y m 6 0 一 选择题 本大题共 6 小题 每小题 5 分 共 30 分 1 2013 秦皇岛模拟 直线 x y 1 0 的倾斜角是 3 A B 6 3 C D 2 3 5 6 解析 选 D 由直线的方程得直线的斜率为 k 设倾斜角为 则 tan 所 3 3 3 3 以 5 6 2 已知点 A 1 2 B m 2 且线段 AB 垂直平分线的方程是 x 2y 2 0 则实数 m 的值是 A 2 B 7 C 3 D 1 解析 选 C 由已知 kAB 2 即 2 解得 m 3 4 m 1 3 若直线经过点 1 1 且与两坐标轴围成的三角形的面积为 2 则这样的直线共有 A 4 条 B 3 条 C 2 条 D 1 条 解析 选 B 作图易得在第一 二 四象限各能围成一个 4 2013 银川模拟 已知直线 l1 x ay 6 0 和 l2 a 2 x 3y 2a 0 则 l1 l2的 充要条件是 a 等于 A 3 B 1 C 1 D 3 或 1 解析 选 C 由题意知 l1 l2 1 a 2 a 3 6 2a 即 a 1 5 直线 2x my 1 3m 0 当 m 变化时 所有直线都过定点 A B 1 2 3 1 2 3 C D 1 2 3 1 2 3 解析 选 D 原方程可化为 2x 1 m y 3 0 令Error Error 解得 x y 3 故所 1 2 有直线都过定点 1 2 3 6 设 a b c 分别是 ABC 中角 A B C 所对边的边长 则直线 xsin A ay c 0 与直线 bx ysin B sin C 0 的位置关系是 A 平行 B 重合 C 垂直 D 相交但不垂直 解析 选 C 由已知得 a 0 sin B 0 所以两条直线的斜率分别为 k1 k2 sin A a 由正弦定理得 k1 k2 1 所以两条直线垂直 b sin B sin A a b sin B 二 填空题 本大题共 3 小题 每小题 5 分 共 15 分 7 若直线 l 的斜率为 k 倾斜角为 而 则 k 的取值范围是 6 4 2 3 解析 当 时 k tan 6 4 3 3 1 当 时 k tan 0 2 3 3 综上 k 0 3 3 3 1 答案 0 3 3 3 1 8 已知直线 x ky 1 0 与直线 y kx 1 平行 则 k 的值为 解析 若两直线平行 则 k 解得 k 1 1 k 答案 1 9 2013 皖南八校联考 已知直线 a2x y 2 0 与直线 bx a2 1 y 1 0 互相垂直 则 ab 的最小值为 解析 两直线互相垂直 a2b a2 1 0 且 a 0 a2b a2 1 ab a a2 1 a 1 a ab a 2 当且仅当 a 1 时取等号 a 1 a 1 a 答案 2 三 解答题 本大题共 3 小题 每小题 12 分 共 36 分 10 设直线 l 的方程为 x my 2m 6 0 根据下列条件分别确定 m 的值 1 直线 l 的斜率为 1 2 直线 l 在 x 轴上的截距为 3 解 1 因为直线 l 的斜率存在 所以 m 0 于是直线 l 的方程可化为 y x 1 m 2m 6 m 由题意得 1 解得 m 1 1 m 2 法一 令 y 0 得 x 2m 6 由题意得 2m 6 3 解得 m 3 2 法二 直线 l 的方程可化为 x my 2m 6 由题意得 2m 6 3 解得 m 3 2 11 已知两点 A 1 2 B m 3 1 求直线 AB 的方程 2 已知实数 m 求直线 AB 的倾斜角 的取值范围 3 3 1 3 1 解 1 当 m 1 时 直线 AB 的方程为 x 1 当 m 1 时 直线 AB 的方程为 y 2 x 1 1 m 1 2 当 m 1 时 2 当 m 1 时 m 1 3 3 0 0 3 即 k 1 m 13 3 3 所以 6 2 2 2 3 综合 知 直线 AB 的倾斜角 的取值范围为 6 2 3 12 如图 射线 OA OB 分别与 x 轴正半轴成 45 和 30 角 过点 P 1 0 作直线 AB 分别交 OA OB 于 A B 两点 当 AB 的中点 C 恰好 落在直线 y x 上时 求直线 AB 的方程 1 2 解 由题意可得 kOA tan 45 1 kOB tan 180 30 3 3 所以直线 lOA y x lOB y x 3 3 设 A m m B n n 3 所以 AB 的中点 C m 3n 2 m n 2 由点 C 在 y x 上 且 A P B 三点共线得 1 2 Error Error 解得 m 所以 A 333 又 P 1 0 所以 kAB kAP 3 3 1 3 3 2 所以 lAB y x 1 3 3 2 即直线 AB 的方程为 3 x 2y 3 0 33 1 直线 l 过点 1 2 且与直线 3y 2x 1 垂直 则 l 的方程是 A 3x 2y 1 0 B 3x 2y 7 0 C 2x 3y 5 0 D 2x 3y 8 0 解析 选 A 法一 设所求直线 l 的方程为 3x 2y C 0 则 3 1 2 2 C 0 得 C 1 即 l 的方程为 3x 2y 1 0 法二 由题意知 l 的斜率是 k 则直线 l 的方程为 y 2 x 1 即 3 2 3 2 3x 2y 1 0 2 直线 l 经过点 A 1 2 在 x 轴上的截距的取值范围是 3 3 则其斜率的取值范围 是 A 1 k1 或 k 或 k 或 k 1 1 5 1 2 解析 选 D 设直线的斜率为 k 则直线方程为 y 2 k x 1 令 y 0 得直线 l 在 x 轴上的截距为 1 2 k 则 3 1 或 k0 b 0 则直线 l 的方程为 1 x a y b l 过点 P 3 2 1 b 3 a 2 b 2a a 3 从而 S ABO a b a 1 2 1 2 2a a 3 a2 a 3 故有 S ABO a 3 2 6 a 3 9 a 3