初中数学分类讨论思想例题分析

分类讨论思想例题分析分类讨论思想例题分析 线段中分类讨思想的应用线段中分类讨思想的应用 线段及端点位置的不确定性引发讨论 线段及端点位置的不确定性引发讨论 例 1 已知直线 AB 上一点 C 且有 CA 3AB 则线段 CA 与线段 CB 之比为 3 2 或 3 4 练习 已知 A B C 三点在同一条直线上 且线段 AB 7cm 点 M 为线段 AB 的 中点 线段 BC 3cm 点 N 为线段 BC 的中点 求线段 MN 的长 解析 1 点 C 在线段 AB 上 2 点 C 在线段 AB 的延长线上 NMABC NMABC 例 2 下列说法正确的是 A 两条线段相交有且只有一个交点 B 如果线段 AB AC 那么点 A 是 BC 的中点 C 两条射线不平行就相交 D 不在同一直线上的三条线段两两相交必有三个交点 与角有关的分类讨论思想的应用与角有关的分类讨论思想的应用 角的一边不确定性引发讨论 角的一边不确定性引发讨论 例 3 在同一平面上 AOB 70 BOC 30 射线 OM 平分 AOB ON 平分 BOC 求 MON 的大小 20 或 50 C N M AO B C N M A O B 练习 已知 过 O 作一条射线 OC 射线 OE 平分 射线 OD 平 o AOB60 AOC 分 求的大小 BOC DOE 1 射线 OC 在内 2 射线 OC 在外AOB AOB B A O C E D B A E D O C 这两种情况下 都有 o o AOB60 DOE 30 22 ABC1C2 小结 对分类讨论结论的反思 为什么结论相同 虽然的大小不AOC 确定 但是所求的与的大小无关 我们虽然分了两类 但是结果DOE AOC 是相同的 这也体现了分类讨论的最后一个环节 总结的重要性 三角形中分类讨论思想的应用三角形中分类讨论思想的应用 一般有以下四种类型 一是由于一般三角形的形状不确定而进行的分类 二是一般有以下四种类型 一是由于一般三角形的形状不确定而进行的分类 二是 由于等腰三角形的腰与底不确定而进行的分类 三是由于直角三角形的斜边不由于等腰三角形的腰与底不确定而进行的分类 三是由于直角三角形的斜边不 确定而进行的分类 四是由于相似三角形的对应角确定而进行的分类 四是由于相似三角形的对应角 或边或边 不确定而进行的分类 不确定而进行的分类 1 1 三角形的形状不定需要分类讨论 三角形的形状不定需要分类讨论 例 4 在 ABC 中 B 25 AD 是 BC 上的高 并且 ADBDDC 2 则 BCA 的度数为 解析 因未指明三角形的形状 故需分类 讨论 如图 1 当 ABC 的高在形内时 由 ADBDDC 2 得 ABD CAD 进而可 以证明 ABC 为直角三角形 由 B 25 可知 BAD 65 所以 BCA BAD 65 如图 2 当高 AD 在形外时 此时 ABC 为 钝角三角形 由 ADBDDC 2 得 ABD CAD 所以 B CAD 25 BCA CAD ADC 25 90 115 2 2 等腰三角形的分类讨论 等腰三角形的分类讨论 a a 在等腰三角形中求边 在等腰三角形中求边 等腰三角形中 对给出的边可能是腰 也可能是底等腰三角形中 对给出的边可能是腰 也可能是底 边 所以我们要进行分类讨论 边 所以我们要进行分类讨论 例 5 已知等腰三角形的一边等于 5 另一边等于 6 则它的周长等于 练习 若等腰三角形一腰上的中线分周长为 9cm 和 12cm 两部分 求这个等腰三角形的底和 腰的长 简析 已知条件并没有指明哪一部分是 9cm 哪一部分是 12cm 因此 应有两种情形 若设这个等腰三角形的腰长是cm 底边长为cm 可得或xy 12 2 1 9 2 1 yx xx 解得或即当腰长是 6cm 时 底边长是 9cm 当腰长是 8cm 时 9 2 1 12 2 1 yx xx 9 6 y x 5 8 y x A B D C 图 1 底边长是 5cm b b 在等腰三角形中求角 在等腰三角形中求角 等腰三角形的一个角可能指底角 也可能指顶角 所等腰三角形的一个角可能指底角 也可能指顶角 所 以必须分情况讨论 以必须分情况讨论 例 6 已知等腰三角形的一个内角为 75 则其顶角为 A 30 B 75 C 105 D 30 或 75 练习 1 等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为 45 求这个等腰三角形的顶角 的度数 简析 依题意可画出图 1 和图 2 两种情形 图 1 中顶角为 45 图 2 中顶角为 135 2 在 ABC 中 AB AC AB 的中垂线与 AC 所在直线相交所得的锐角为 50 则底角 B 3 3 直角三角形中 直角边和斜边不明确时需要分类讨论 直角三角形中 直角边和斜边不明确时需要分类讨论 例 7 已知 x y 为直角三角形两边的长 满足 xyy 22 4560 则第 三边的长为 解析 由 xyy 22 4560 可得x 2 40 且 yy 2 560 分别解这两个方程 可得满足条件的解 x y 1 1 2 2 或 x y 2 2 2 3 由于 x y 是直角边长还是斜边长没有明确 因此需要分类讨论 当两直角边长分别为 2 2 时 斜边长为 222 2 22 当直角边长为 2 斜边长为 3 时 另一直角边的长为 5 当一直角边长为 2 另一直角边长为 3 时 斜边长为 13 综上 第三边的长为2 2或 5或13 4 4 相似三角形的对应角相似三角形的对应角 或边或边 不确定而进行的分类 不确定而进行的分类 A B C D 图 2 例 8 如图所示 在中 是的中点 过点的直线ABC 64ABACP ACP 交于点 若以为顶点的三角形和以为顶点的三角形相似 则ABQAPQ ABC 的长为 AQ A 3 B 3 或 C 3 或 D 4 3 3 4 4 3 析解 析解 由于以为顶点的三角形和以为顶点的三角形有一个公共角APQ ABC 因此依据相似三角形的判定方法 过点的直线应有两种作法 一是过点A PPQ 作 这样根据相似三角形的性质可得 即 解得PPQBC AQAP ABAC 2 64 AQ 二是过点作 交边于点 这时 于3AQ PAPQABC ABQAPQABC 是有 即 解得 所以的长为 3 或 故应选 B AQAP ACAB 2 46 AQ 4 3 AQ AQ 4 3 四 本节小结四 本节小结 分类讨论思想是在解决问题出现不确定性时的有效方法 线段及端点