三角形全等综合证明试题带答案

第 1 页 共 30 页 三角形全等综合证明试题三角形全等综合证明试题 一 解答题 共一 解答题 共 13 小题 小题 1 2015 于洪区一模 如图 1 在 ABC 中 ACB 为锐角 点 D 为射线 BC 上一点 连 接 AD 以 AD 为一边且在 AD 的右侧作正方形 ADEF 1 如果 AB AC BAC 90 当点 D 在线段 BC 上时 与点 B 不重合 如图 2 线段 CF BD 所在直线的位置关系 为 线段 CF BD 的数量关系为 当点 D 在线段 BC 的延长线上时 如图 3 中的结论是否仍然成立 并说明理由 2 如果 AB AC BAC 是锐角 点 D 在线段 BC 上 当 ACB 满足什么条件时 CF BC 点 C F 不重合 并说明理由 2 2013 烟台 已知 点 P 是直角三角形 ABC 斜边 AB 上一动点 不与 A B 重合 分 别过 A B 向直线 CP 作垂线 垂足分别为 E F Q 为斜边 AB 的中点 1 如图 1 当点 P 与点 Q 重合时 AE 与 BF 的位置关系是 QE 与 QF 的 数量关系式 2 如图 2 当点 P 在线段 AB 上不与点 Q 重合时 试判断 QE 与 QF 的数量关系 并给 予证明 3 如图 3 当点 P 在线段 BA 或 AB 的延长线上时 此时 2 中的结论是否成立 请画出图形并给予证明 第 2 页 共 30 页 3 2013 昭通 已知 ABC 为等边三角形 点 D 为直线 BC 上的一动点 点 D 不与 B C 重合 以 AD 为边作菱形 ADEF A D E F 按逆时针排列 使 DAF 60 连 接 CF 1 如图 1 当点 D 在边 BC 上时 求证 BD CF AC CF CD 2 如图 2 当点 D 在边 BC 的延长线上且其他条件不变时 结论 AC CF CD 是否成立 若不成立 请写出 AC CF CD 之间存在的数量关系 并说明理由 3 如图 3 当点 D 在边 CB 的延长线上且其他条件不变时 补全图形 并直接写出 AC CF CD 之间存在的数量关系 4 2013 东营 1 如图 1 已知 在 ABC 中 BAC 90 AB AC 直线 m 经过 点 A BD 直线 m CE 直线 m 垂足分别为点 D E 证明 DE BD CE 2 如图 2 将 1 中的条件改为 在 ABC 中 AB AC D A E 三点都在直线 m 上 并且有 BDA AEC BAC 其中 为任意锐角或钝角 请问结论 DE BD CE 是否成立 如成立 请你给出证明 若不成立 请说明理由 3 拓展与应用 如图 3 D E 是 D A E 三点所在直线 m 上的两动点 D A E 三点互不重合 点 F 为 BAC 平分线上的一点 且 ABF 和 ACF 均为等边三角形 连接 BD CE 若 BDA AEC BAC 试判断 DEF 的形状 5 2014 泰安 如图 ABC 90 D E 分别在 BC AC 上 AD DE 且 AD DE 点 F 是 AE 的中点 FD 与 AB 相交于点 M 1 求证 FMC FCM 2 AD 与 MC 垂直吗 并说明理由 第 3 页 共 30 页 6 2011 绍兴 数学课上 李老师出示了如下框中的题目 小敏与同桌小聪讨论后 进行了如下解答 1 特殊情况 探索结论 当点 E 为 AB 的中点时 如图 1 确定线段 AE 与的 DB 大小关系 请你直接写出结论 AE DB 填 或 2 特例启发 解答题目 解 题目中 AE 与 DB 的大小关系是 AE DB 填 或 理由如 下 如图 2 过点 E 作 EF BC 交 AC 于点 F 请你完成以下解答过程 3 拓展结论 设计新题 在等边三角形 ABC 中 点 E 在直线 AB 上 点 D 在直线 BC 上 且 ED EC 若 ABC 的 边长为 1 AE 2 求 CD 的长 请你直接写出结果 7 2010 临沂 如图 1 已知矩形 ABED 点 C 是边 DE 的中点 且 AB 2AD 1 判断 ABC 的形状 并说明理由 2 保持图 1 中 ABC 固定不变 绕点 C 旋转 DE 所在的直线 MN 到图 2 中 当垂线段 AD BE 在直线 MN 的同侧 试探究线段 AD BE DE 长度之间有什么关系 并给予证 明 3 保持图 2 中 ABC 固定不变 继续绕点 C 旋转 DE 所在的直线 MN 到图 3 中的位置 当垂线段 AD BE 在直线 MN 的异侧 试探究线段 AD BE DE 长度之间有什么关系 并给予证明 第 4 页 共 30 页 8 2014 郑州二模 如图 1 点 P Q 分别是边长为 4cm 的等边 ABC 边 AB BC 上的动 点 点 P 从顶点 A 点 Q 从顶点 B 同时出发 且它们的速度都为 1cm s 1 连接 AQ CP 交于点 M 则在 P Q 运动的过程中 CMQ 变化吗 若变化 则说 明理由 若不变 则求出它的度数 2 何时 PBQ 是直角三角形 3 如图 2 若点 P Q 在运动到终点后继续在射线 AB BC 上运动 直线 AQ CP 交点 为 M 则 CMQ 变化吗 若变化 则说明理由 若不变 则求出它的度数 9 2014 德州 问题背景 如图 1 在四边形 ABCD 中 AB AD BAD 120 B ADC 90 E F 分别是 BC CD 上的点 且 EAF 60 探究图中线段 BE EF FD 之间的数量关系 小王同学探究此问题的方法是 延长 FD 到点 G 使 DG BE 连结 AG 先证明 ABE ADG 再证明 AEF AGF 可得出结论 他的结论应是 探索延伸 如图 2 若在四边形 ABCD 中 AB AD B D 180 E F 分别是 BC CD 上的点 且 EAF BAD 上述结论是否仍然成立 并说明理由 实际应用 如图 3 在某次军事演习中 舰艇甲在指挥中心 O 处 北偏西 30 的 A 处 舰艇乙在指挥 中心南偏东 70 的 B 处 并且两舰艇到指挥中心的距离相等 接到行动指令后 舰艇甲向 正东方向以 60 海里 小时的速度前进 舰艇乙沿北偏东 50 的方向以 80 海里 小时的速度前 进 1 5 小时后 指挥中心观测到甲 乙两舰艇分别到达 E F 处 且两舰艇之间的夹角为 70 试求此时两舰艇之间的距离 10 2015 前郭县二模 1 问题发现 如图 1 ACB 和 DCE 均为等边三角形 点 A D E 在同一直线上 连接 BE 第 5 页 共 30 页 填空 AEB 的度数为 线段 AD BE 之间的数量关系为 2 拓展探究 如图 2 ACB 和 DCE 均为等腰直角三角形 ACB DCE 90 点 A D E 在同一直 线上 CM 为 DCE 中 DE 边上的高 连接 BE 请判断 AEB 的度数及线段 CM AE BE 之间的数量关系 并说明理由 11 2014 齐齐哈尔 在等腰直角三角形 ABC 中 BAC 90 AB AC 直线 MN 过点 A 且 MN BC 过点 B 为一锐角顶点作 Rt BDE BDE 90 且点 D 在直线 MN 上 不 与点 A 重合 如图 1 DE 与 AC 交于点 P 易证 BD DP 无需写证明过程 1 在图 2 中 DE 与 CA 延长线交于点 P BD DP 是否成立 如果成立 请给予证明 如果不成立 请说明理由 2 在图 3 中 DE 与 AC 延长线交于点 P BD 与 DP 是否相等 请直接写出你的结论 无需证明 12 2009 沈阳 将两个全等的直角三角形 ABC 和 DBE 按图 方式摆放 其中 ACB DEB 90 A D 30 点 E 落在 AB 上 DE 所在直线交 AC 所在直线于点 F 1 求证 AF EF DE 2 若将图 中的 DBE 绕点 B 按顺时针方向旋转角 且 0 60 其它条件不变 请在图 中画出变换后的图形 并直接写出你在 1 中猜想的结论是否仍然成立 3 若将图 中的 DBE 绕点 B 按顺时针方向旋转角 且 60 180 其它条件不 变 如图 你认为 1 中猜想的结论还成立吗 若成立 写出证明过程 若不成立 请写出 AF EF 与 DE 之间的关系 并说明理由 第 6 页 共 30 页 13 2008 宁德 如图 1 在正方形 ABCD 中 E 是 AB 上一点 F 是 AD 延长线上一点 且 DF BE 1 求证 CE CF 2 在图 1 中 若 G 在 AD 上 且 GCE 45 则 GE BE GD 成立吗 为什么 3 运用 1 2 解答中所积累的经验和知识 完成下题 如图 2 在直角梯形 ABCD 中 AD BC BC AD B 90 AB BC 12 E 是 AB 上一 点 且 DCE 45 BE 4 求 DE 的长 第 7 页 共 30 页 三角形全等综合证明试题三角形全等综合证明试题 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 解答题 共一 解答题 共 13 小题 小题 1 2015 于洪区一模 如图 1 在 ABC 中 ACB 为锐角 点 D 为射线 BC 上一点 连 接 AD 以 AD 为一边且在 AD 的右侧作正方形 ADEF 1 如果 AB AC BAC 90 当点 D 在线段 BC 上时 与点 B 不重合 如图 2 线段 CF BD 所在直线的位置关系 为 垂直 线段 CF BD 的数量关系为 相等 当点 D 在线段 BC 的延长线上时 如图 3 中的结论是否仍然成立 并说明理由 2 如果 AB AC BAC 是锐角 点 D 在线段 BC 上 当 ACB 满足什么条件时 CF BC 点 C F 不重合 并说明理由 考点 全等三角形的判定与性质 菁优网版权所有 专题 压轴题 开放型 分析 1 当点 D 在 BC 的延长线上时 的结论仍成立 由正方形 ADEF 的性质可推出 DAB FAC 所以 CF BD ACF ABD 结合 BAC 90 AB AC 得到 BCF ACB ACF 90 即 CF BD 2 当 ACB 45 时 过点 A 作 AG AC 交 CB 的延长线于点 G 则 GAC 90 可推出 ACB AGC 所以 AC AG 由 1 可知 CF BD 解答 证明 1 正方形 ADEF 中 AD AF BAC DAF 90 BAD CAF 又 AB AC DAB FAC CF BD B ACF ACB ACF 90 即 CF BD 当点 D 在 BC 的延长线上时 的结论仍成立 由正方形 ADEF 得 AD AF DAF 90 度 BAC 90 DAF BAC DAB FAC 又 AB AC 第 8 页 共 30 页 DAB FAC CF BD ACF ABD BAC 90 AB AC ABC 45 ACF 45 BCF ACB ACF 90 度 即 CF BD 2 当 ACB 45 时 CF BD 如图 理由 过点 A 作 AG AC 交 CB 的延长线于点 G 则 GAC 90 ACB 45 AGC 90 ACB AGC 90 45 45 ACB AGC 45 AC AG DAG FAC 同角的余角相等 AD AF GAD CAF ACF AGC 45 BCF ACB ACF 45 45 90 即 CF BC 点评 本题考查三角形全等的判定和直角三角形的判定 判定两个三角形全等的一般方 法有 SSS SAS ASA AAS HL 判定两个三角形全等 先根据已知条件或求证的结 论确定三角形 然后再根据三角形全等的判定方法 看缺什么条件 再去证什么条件 2 2013 烟台 已知 点 P 是直角三角形 ABC 斜边 AB 上一动点 不与 A B 重合 分 别过 A B 向直线 CP 作垂线 垂足分别为 E F Q 为斜边 AB 的中点 1 如图 1 当点 P 与点 Q 重合时 AE 与 BF 的位置关系是 AE BF QE 与 QF 的数 量关系式 QE QF 2 如图 2 当点 P 在线段 AB 上不与点 Q 重合时 试判断 QE 与 QF 的数量关系 并给 予证明 3 如图 3 当点 P 在线段 BA 或 AB 的延长线上时 此时 2 中的结论是否成立 请画出图形并给予证明 第 9 页 共 30 页 考点 全等三角形的判定与性质 直角三角形斜边上的中线 菁优网版权所有 专题 压轴题 分析 1 证 BFQ AEQ 即可 2 证 FBQ DAQ 推出 QF QD 根据直角三角形斜边上中线性质求出即可 3 证 AEQ BDQ 推出 DQ QE 根据直角三角形斜边上中线性质求出即可 解答 解 1 AE BF QE QF 理由是 如图 1 Q 为 AB 中点 AQ BQ BF CP AE CP BF AE BFQ AEQ 90 在 BFQ 和 AEQ 中 BFQ AEQ AAS QE QF 故答案为 AE BF QE QF 2 QE QF 证明 如图 2 延长 FQ 交 AE 于 D Q 为 AB 中点 AQ BQ BF CP AE CP BF AE QAD FBQ 在 FBQ 和 DAQ 中 FBQ DAQ ASA QF QD AE CP EQ 是直角三角形 DEF 斜边上的中线 QE QF QD 即 QE QF 第 10 页 共 30 页 3 2 中的结论仍然成立 证明 如图 3 延长 EQ FB 交于 D Q 为 AB 中点 AQ BQ BF CP AE CP BF AE 1 D 在 AQE 和 BQD 中 AQE BQD AAS QE QD BF CP FQ 是斜边 DE 上的中线 QE QF 第 11 页 共 30 页 点评 本题考查了全等三角形的性质和判定 直角三角形斜边上中线性质的应用 注意 全等三角形的判定定理有 SAS ASA AAS SSS 全等三角形的性质是 全等三角 形的对应边相等 对应角相等 3 2013 昭通 已知 ABC 为等边三角形 点 D 为直线 BC 上的一动点 点 D 不与 B C 重合 以 AD 为边作菱形 ADEF A D E F 按逆时针排列 使 DAF 60 连 接 CF 1 如图 1 当点 D 在边 BC 上时 求证 BD CF AC CF CD 2 如图 2 当点 D 在边 BC 的延长线上且其他条件不变时 结论 AC CF CD 是否成立 若不成立 请写出 AC CF CD 之间存在的数量关系 并说明理由 3 如图 3 当点 D 在边 CB 的延长线上且其他条件不变时 补全图形 并直接写出 AC CF CD 之间存在的数量关系 考点 全等三角形的判定与性质 等边三角形的性质 菱形的性质 菁优网版权所有 专题 几何综合题 压轴题 分析 1 根据已知得出 AF AD AB BC AC BAC DAF 60 求出 BAD CAF 证 BAD CAF 推出 CF BD 即可 2 求出 BAD CAF 根据 SAS 证 BAD CAF 推出 BD CF 即可 3 画出图形后 根据 SAS 证 BAD CAF 推出 CF BD 即可 解答 1 证明 菱形 AFED AF AD ABC 是等边三角形 AB AC BC BAC 60 DAF BAC DAC DAF DAC 即 BAD CAF 在 BAD 和 CAF 中 第 12 页 共 30 页 BAD CAF CF BD CF CD BD CD BC AC 即 BD CF AC CF CD 2 解 AC CF CD 不成立 AC CF CD 之间存在的数量关系是 AC CF CD 理由是 由 1 知 AB AC BC AD AF BAC DAF 60 BAC DAC DAF DAC 即 BAD CAF 在 BAD 和 CAF 中 BAD CAF BD CF CF CD BD CD BC AC 即 AC CF CD 3 AC CD CF 理由是 BAC DAF 60 DAB CAF 在 BAD 和 CAF 中 BAD CAF SAS CF BD CD CF CD BD BC AC 即 AC CD CF 第 13 页 共 30 页 点评 本题考查了全等三角形的性质和判定 等边三角形的性质 菱形的性质的应用 主要考查学生的推理能力 注意 证明过程类似 题目具有一定的代表性 难度适中 4 2013 东营 1 如图 1 已知 在 ABC 中 BAC 90 AB AC 直线 m 经过 点 A BD 直线 m CE 直线 m 垂足分别为点 D E 证明 DE BD CE 2 如图 2 将 1 中的条件改为 在 ABC 中 AB AC D A E 三点都在直线 m 上 并且有 BDA AEC BAC 其中 为任意锐角或钝角 请问结论 DE BD CE 是否成立 如成立 请你给出证明 若不成立 请说明理由 3 拓展与应用 如图 3 D E 是 D A E 三点所在直线 m 上的两动点 D A E 三点互不重合 点 F 为 BAC 平分线上的一点 且 ABF 和 ACF 均为等边三角形 连接 BD CE 若 BDA AEC BAC 试判断 DEF 的形状 考点 全等三角形的判定与性质 等边三角形的判定 菁优网版权所有 专题 压轴题 分析 1 根据 BD 直线 m CE 直线 m 得 BDA CEA 90 而 BAC 90 根据等 角的余角相等得 CAE ABD 然后根据 AAS 可判断 ADB CEA 则 AE BD AD CE 于是 DE AE AD BD CE 2 与 1 的证明方法一样 3 由前面的结论得到 ADB CEA 则 BD AE DBA CAE 根据等边三角形的性 质得 ABF CAF 60 则 DBA ABF CAE CAF 则 DBF FAE 利用 SAS 可判断 DBF EAF 所以 DF EF BFD AFE 于是 DFE DFA AFE DFA BFD 60 根据等边三角形的判定方法可得到 DEF 为等边 三角形 解答 证明 1 BD 直线 m CE 直线 m BDA CEA 90 BAC 90 BAD CAE 90 BAD ABD 90 第 14 页 共 30 页 CAE ABD 在 ADB 和 CEA 中 ADB CEA AAS AE BD AD CE DE AE AD BD CE 2 成立 BDA BAC DBA BAD BAD CAE 180 CAE ABD 在 ADB 和 CEA 中 ADB CEA AAS AE BD AD CE DE AE AD BD CE 3 DEF 是等边三角形 由 2 知 ADB CEA BD AE DBA CAE ABF 和 ACF 均为等边三角形 ABF CAF 60 DBA ABF CAE CAF DBF FAE BF AF 在 DBF 和 EAF 中 DBF EAF SAS DF EF BFD AFE DFE DFA AFE DFA BFD 60 DEF 为等边三角形 点评 本题考查了全等三角形的判定与性质 判定三角形全等的方法有 SSS SAS ASA AAS 全等三角形的对应边相等 也考查了等边三角形的判定与性质 5 2014 泰安 如图 ABC 90 D E 分别在 BC AC 上 AD DE 且 AD DE 点 F 是 AE 的中点 FD 与 AB 相交于点 M 1 求证 FMC FCM 第 15 页 共 30 页 2 AD 与 MC 垂直吗 并说明理由 考点 全等三角形的判定与性质 等腰直角三角形 菁优网版权所有 专题 几何综合题 分析 1 根据等腰直角三角形的性质得出 DF AE DF AF EF 进而利用全等三角形 的判定得出 DFC AFM AAS 即可得出答案 2 由 1 知 MFC 90 FD EF FM FC 即可得出 FDE FMC 45 即可理由 平行线的判定得出答案 解答 1 证明 ADE 是等腰直角三角形 F 是 AE 中点 DF AE DF AF EF 又 ABC 90 DCF AMF 都与 MAC 互余 DCF AMF 在 DFC 和 AFM 中 DFC AFM AAS CF MF FMC FCM 2 AD MC 理由 由 1 知 MFC 90 FD FA FE FM FC FDE FMC 45 DE CM AD MC 点评 此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质 得出 DCF AMF 是解题关键 6 2011 绍兴 数学课上 李老师出示了如下框中的题目 小敏与同桌小聪讨论后 进行了如下解答 第 16 页 共 30 页 1 特殊情况 探索结论 当点 E 为 AB 的中点时 如图 1 确定线段 AE 与的 DB 大小关系 请你直接写出结论 AE DB 填 或 2 特例启发 解答题目 解 题目中 AE 与 DB 的大小关系是 AE DB 填 或 理由如下 如图 2 过点 E 作 EF BC 交 AC 于点 F 请你完成以下解答过程 3 拓展结论 设计新题 在等边三角形 ABC 中 点 E 在直线 AB 上 点 D 在直线 BC 上 且 ED EC 若 ABC 的 边长为 1 AE 2 求 CD 的长 请你直接写出结果 考点 全等三角形的判定与性质 三角形内角和定理 等边三角形的判定与性质 菁优网版权所有 专题 计算题 证明题 压轴题 分类讨论 分析 1 根据等边三角形的性质和三角形的内角和定理求出 D ECB 30 ABC 60 求出 D DEB 30 推出 DB BE AE 即可得到答案 2 作 EF BC 证出等边三角形 AEF 再证 DBE EFC 即可得到答案 3 分为四种情况 画出图形 根据等边三角形性质求出符合条件的 CD 即可 解答 解 1 答案为 2 答案为 证明 在等边 ABC 中 ABC ACB BAC 60 AB BC AC EF BC AEF ABC AFE ACB AEF AFE BAC 60 AE AF EF AB AE AC AF 即 BE CF ABC EDB BED ACB ECB FCE ED EC EDB ECB EBC EDB BED ACB ECB FCE BED FCE 在 DBE 和 EFC 中 DBE EFC SAS 第 17 页 共 30 页 DB EF AE BD 3 解 分为四种情况 如图 1 AB AC 1 AE 2 B 是 AE 的中点 ABC 是等边三角形 AB AC BC 1 ACE 是直角三角形 根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半 ACE 90 AEC 30 D ECB BEC 30 DBE ABC 60 DEB 180 30 60 90 即 DEB 是直角三角形 BD 2BE 2 30 所对的直角边等于斜边的一半 即 CD 1 2 3 如图 2 过 A 作 AN BC 于 N 过 E 作 EM CD 于 M 等边三角形 ABC EC ED BN CN BC CM MD CD AN EM BAN BEM ABC 边长是 1 AE 2 MN 1 CM MN CN 1 CD 2CM 1 如图 3 ECD EBC EBC 120 而 ECD 不能大于 120 否则 EDC 不符合三角 形内角和定理 此时不存在 EC ED 如图 4 EDC ABC ECB ACB 又 ABC ACB 60 ECD EDC 即此时 ED EC 此时情况不存在 答 CD 的长是 3 或 1 第 18 页 共 30 页 点评 本题主要考查对全等三角形的性质和判定 三角形的内角和定理 等边三角形的 性质和判定等知识点的理解和掌握 能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键 7 2010 临沂 如图 1 已知矩形 ABED 点 C 是边 DE 的中点 且 AB 2AD 1 判断 ABC 的形状 并说明理由 第 19 页 共 30 页 2 保持图 1 中 ABC 固定不变 绕点 C 旋转 DE 所在的直线 MN 到图 2 中 当垂线段 AD BE 在直线 MN 的同侧 试探究线段 AD BE DE 长度之间有什么关系 并给予证 明 3 保持图 2 中 ABC 固定不变 继续绕点 C 旋转 DE 所在的直线 MN 到图 3 中的位置 当垂线段 AD BE 在直线 MN 的异侧 试探究线段 AD BE DE 长度之间有什么关系 并给予证明 考点 等腰三角形的判定 全等三角形的判定与性质 矩形的性质 菁优网版权所有 专题 证明题 几何综合题 压轴题 探究型 分析 1 根据矩形的性质及勾股定理 即可判断 ABC 的形状 2 3 通过证明 ACD CBE 根据全等三角形的性质得出即可得线段 AD BE DE 长度之间的关系 解答 解 1 ABC 是等腰直角三角形 理由如下 在 ADC 与 BEC 中 AD BE D E 90 DC EC ADC BEC SAS AC BC DCA ECB AB 2AD DE DC CE AD DC DCA 45 ECB 45 ACB 180 DCA ECB 90 ABC 是等腰直角三角形 2 DE AD BE 理由如下 在 ACD 与 CBE 中 ACD CBE 90 BCE ADC BEC 90 AC BC ACD CBE AAS AD CE DC EB DC CE BE AD 即 DE AD BE 3 DE BE AD 理由如下 在 ACD 与 CBE 中 ACD CBE 90 BCE ADC BEC 90 AC BC ACD CBE AAS AD CE DC EB 第 20 页 共 30 页 DC CE BE AD 即 DE BE AD 点评 本题考查了等腰直角三角形的判定 全等三角形的判定和性质等知识 综合性强 难度较大 8 2014 郑州二模 如图 1 点 P Q 分别是边长为 4cm 的等边 ABC 边 AB BC 上的动 点 点 P 从顶点 A 点 Q 从顶点 B 同时出发 且它们的速度都为 1cm s 1 连接 AQ CP 交于点 M 则在 P Q 运动的过程中 CMQ 变化吗 若变化 则说 明理由 若不变 则求出它的度数 2 何时 PBQ 是直角三角形 3 如图 2 若点 P Q 在运动到终点后继续在射线 AB BC 上运动 直线 AQ CP 交点 为 M 则 CMQ 变化吗 若变化 则说明理由 若不变 则求出它的度数 考点 等边三角形的性质 全等三角形的判定与性质 直角三角形的性质 菁优网版权所有 专题 动点型 分析 1 因为点 P 从顶点 A 点 Q 从顶点 B 同时出发 且它们的速度都为 1cm s 所 以 AP BQ AB AC B CAP 60 因而运用边角边定理可知 ABQ CAP 再用全等 三角形的性质定理及三角形的角间关系 三角形的外角定理 可求得 CQM 的度数 2 设时间为 t 则 AP BQ t PB 4 t 分别就 当 PQB 90 时 当 BPQ 90 时利 用直角三角形的性质定理求得 t 的值 3 首先利用边角边定理证得 PBC QCA 再利用全等三角形的性质定理得到 BPC MQC 再运用三角形角间的关系求得 CMQ 的度数 解答 解 1 CMQ 60 不变 等边三角形中 AB AC B CAP 60 又由条件得 AP BQ ABQ CAP SAS BAQ ACP CMQ ACP CAM BAQ CAM BAC 60 2 设时间为 t 则 AP BQ t PB 4 t 当 PQB 90 时 B 60 第 21 页 共 30 页 PB 2BQ 得 4 t 2t t 当 BPQ 90 时 B 60 BQ 2BP 得 t 2 4 t t 当第 秒或第 秒时 PBQ 为直角三角形 3 CMQ 120 不变 在等边三角形中 BC AC B CAP 60 PBC ACQ 120 又由条件得 BP CQ PBC QCA SAS BPC MQC 又 PCB MCQ CMQ PBC 180 60 120 点评 此题是一个综合性很强的题目 本题考查等边三角形的性质 全等三角形的判定 与性质 直角三角形的性质 难度很大 有利于培养同学们钻研和探索问题的精神 9 2014 德州 问题背景 如图 1 在四边形 ABCD 中 AB AD BAD 120 B ADC 90 E F 分别是 BC CD 上的点 且 EAF 60 探究图中线段 BE EF FD 之间的数量关系 小王同学探究此问题的方法是 延长 FD 到点 G 使 DG BE 连结 AG 先证明 ABE ADG 再证明 AEF AGF 可得出结论 他的结论应是 EF BE DF 探索延伸 如图 2 若在四边形 ABCD 中 AB AD B D 180 E F 分别是 BC CD 上的点 且 EAF BAD 上述结论是否仍然成立 并说明理由 实际应用 如图 3 在某次军事演习中 舰艇甲在指挥中心 O 处 北偏西 30 的 A 处 舰艇乙在指挥 中心南偏东 70 的 B 处 并且两舰艇到指挥中心的距离相等 接到行动指令后 舰艇甲向 正东方向以 60 海里 小时的速度前进 舰艇乙沿北偏东 50 的方向以 80 海里 小时的速度前 进 1 5 小时后 指挥中心观测到甲 乙两舰艇分别到达 E F 处 且两舰艇之间的夹角为 70 试求此时两舰艇之间的距离 第 22 页 共 30 页 考点 全等三角形的判定与性质 菁优网版权所有 专题 压轴题 探究型 分析 问题背景 根据全等三角形对应边相等解答 探索延伸 延长 FD 到 G 使 DG BE 连接 AG 根据同角的补角相等求出 B ADG 然后利用 边角边 证明 ABE 和 ADG 全等 根据全等三角形对应边相等可得 AE AG BAE DAG 再求出 EAF GAF 然后利用 边角边 证明 AEF 和 GAF 全 等 根据全等三角形对应边相等可得 EF GF 然后求解即可 实际应用 连接 EF 延长 AE BF 相交于点 C 然后求出 EOF AOB 判断出符合探 索延伸的条件 再根据探索延伸的结论解答即可 解答 解 问题背景 EF BE DF 探索延伸 EF BE DF 仍然成立 证明如下 如图 延长 FD 到 G 使 DG BE 连接 AG B ADC 180 ADC ADG 180 B ADG 在 ABE 和 ADG 中 ABE ADG SAS AE AG BAE DAG EAF BAD GAF DAG DAF BAE DAF BAD EAF EAF EAF GAF 在 AEF 和 GAF 中 AEF GAF SAS EF FG FG DG DF BE DF EF BE DF 实际应用 如图 连接 EF 延长 AE BF 相交于点 C AOB 30 90 90 70 140 EOF 70 EOF AOB 又 OA OB OAC OBC 90 30 70 50 180 第 23 页 共 30 页 符合探索延伸中的条件 结论 EF AE BF 成立 即 EF 1 5 60 80 210 海里 答 此时两舰艇之间的距离是 210 海里 点评 本题考查了全等三角形的判定与性质 读懂问题背景的求解思路 作辅助线构造 出全等三角形并两次证明三角形全等是解题的关键 也是本题的难点 10 2015 前郭县二模 1 问题发现 如图 1 ACB 和 DCE 均为等边三角形 点 A D E 在同一直线上 连接 BE 填空 AEB 的度数为 60 线段 AD BE 之间的数量关系为 AD BE 2 拓展探究 如图 2 ACB 和 DCE 均为等腰直角三角形 ACB DCE 90 点 A D E 在同一直 线上 CM 为 DCE 中 DE 边上的高 连接 BE 请判断 AEB 的度数及线段 CM AE BE 之间的数量关系 并说明理由 考点 全等三角形的判定与性质 等边三角形的性质 等腰直角三角形 菁优网版权所有 分析 1 易证 ACD BCE 即可求证 ACD BCE 根据全等三角形对应边相等可 求得 AD BE 根据全等三角形对应角相等即可求得 AEB 的大小 2 易证 ACD BCE 可得 ADC BEC 进而可以求得 AEB 90 即可求得 DM ME CM 即可解题 解答 解 1 ACB DCE DCB DCB ACD BCE 在 ACD 和 BCE 中 ACD BCE SAS AD BE CEB ADC 180 CDE 120 AEB CEB CED 60 第 24 页 共 30 页 2 AEB 90 AE BE 2CM 理由 如图 2 ACB 和 DCE 均为等腰直角三角形 CA CB CD CE ACB DCE 90 ACD BCE 在 ACD 和 BCE 中 ACD BCE SAS AD BE ADC BEC DCE 为等腰直角三角形 CDE CED 45 点 A D E 在同一直线上 ADC 135 BEC 135 AEB BEC CED 90 CD CE CM DE DM ME DCE 90 DM ME CM AE AD DE BE 2CM 点评 本题考查了全等三角形的判定 考查了全等三角形对应边相等 对应角相等的性 质 本题中求证 ACD BCE 是解题的关键 11 2014 齐齐哈尔 在等腰直角三角形 ABC 中 BAC 90 AB AC 直线 MN 过点 A 且 MN BC 过点 B 为一锐角顶点作 Rt BDE BDE 90 且点 D 在直线 MN 上 不 与点 A 重合 如图 1 DE 与 AC 交于点 P 易证 BD DP 无需写证明过程 1 在图 2 中 DE 与 CA 延长线交于点 P BD DP 是否成立 如果成立 请给予证明 如果不成立 请说明理由 2 在图 3 中 DE 与 AC 延长线交于点 P BD 与 DP 是否相等 请直接写出你的结论 无需证明 第 25 页 共 30 页 考点 全等三角形的判定与性质 等腰直角三角形 平行四边形的性质 菁优网版权所有 专题 几何综合题 分析 1 如答图 2 作辅助线 构造全等三角形 BDF PDA 可以证明 BD DP 2 如答图 3 作辅助线 构造全等三角形 BDF PDA 可以证明 BD DP 解答 题干引论 证明 如答图 1 过点 D 作 DF MN 交 AB 于点 F 则 ADF 为等腰直角三角形 DA DF 1 FDP 90 FDP 2 90 1 2 在 BDF 与 PDA 中 BDF PDA ASA BD DP 1 答 BD DP 成立 证明 如答图 2 过点 D 作 DF MN 交 AB 的延长线于点 F 则 ADF 为等腰直角三角形 DA DF 1 ADB 90 ADB 2 90 1 2 在 BDF 与 PDA 中 BDF PDA ASA BD DP 2 答 BD DP 证明 如答图 3 过点 D 作 DF MN 交 AB 的延长线于点 F 第 26 页 共 30 页 则 ADF 为等腰直角三角形 DA DF 在 BDF 与 PDA 中 BDF PDA ASA BD DP 点评 本题考查了全等三角形的判定与性质 等腰直角三角形的性质 平行线的性质等 知识点 作辅助线构造全等三角形是解题的关键 12 2009 沈阳 将两个全等的直角三角形 ABC 和 DBE 按图 方式摆放 其中 ACB DEB 90 A D 30 点 E 落在 AB 上 DE 所在直线交 AC 所在直线于点 F 1 求证 AF EF DE 2 若将图 中的 DBE 绕点 B 按顺时针方向旋转角 且 0 60 其它条件不变 请在图 中画出变换后的图形 并直接写出你在 1 中猜想的结论是否仍然成立 3 若将图 中的 DBE 绕点 B 按顺时针方向旋转角 且 60 180 其它条件不 变 如图 你认为 1 中猜想的结论还成立吗 若成立 写出证明过程 若不成立 请写出 AF EF 与 DE 之间的关系 并说明理由 考点 全等三角形的判定与性质 菁优网版权所有 专题 证明题 压轴题 探究型 分析 1 我们已知了三角形 BED 和 CAB 全等 那么 DE AF CF 因此只要求出 EF C