改：锐角三角函数导学案

1 锐角三角函数 课前小测试课前小测试 1 2009 漳州中考 三角形在方格纸中的位置如图所示 则的值tan 是 2 2008 威海中考 在 ABC 中 C 90 tanA 则 sinB 1 3 3 2009 齐齐哈尔中考 如图 O 是 ABC 的外接圆 AD是 O 的直 径 若 O 的半径为 3 2 2AC 则sin B的值是 2009 河北中考 如图是一个半圆形桥洞截面示意图 圆心为 O 直径 AB 是河底线 弦 CD 是 水位线 CD AB 且 CD 24 m OE CD 于点 E 已测得 sin DOE 12 13 1 求半径 OD 2 根据需要 水面要以每小时 0 5 m 的速度下降 则经过多长时间才能将水排干 2009 綦江中考 如图 在矩形中 是边上的点 垂足为 ABCDEBCAEBC DFAE 连接 FDE 1 求证 ABE DFA 2 如果 求的值 10ADAB 6sinEDF A O B E CD DA BC E F 2 解直角三角形解直角三角形 一一 直角三角形的性质 直角三角形的性质 直角三角形两锐角互余 即 9090BAC 2 直角三角形中 角所对的直角边等于斜边的一半 30 即 ABBC C A 2 1 90 30 3 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 即 ADBDABCD ABD ACB 2 1 90 中点为 4 勾股定理 直角三角形两直角边的平方和 等于斜边ba c 的平方 即 222 cba 注意 此定理揭示了直角三角形三边关系 蕴含了数形结合思想 是从图形到数量的关系 常 用来求线段的长 5 射影定理 直角三角形斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项 每条直角边是 它在斜边上的射影和斜边的比例中项 即 ABBDBC ABADAC BDADCD ABCD ACB 2 2 2 90 注意 1 它是线段计算 比例求等积式或证明中的常用定理 2 这个双垂直图形中还有 两对等角 除直角 ACDBBCDA 三个相似三角形即 ACD CBD ABC 由面积公式推导出来另一等积式 BCACCDAB 二二 直角三角形的判定直角三角形的判定 有一个角是直角的三角形是直角三角形 如果三角形一边上的中线等于这边的一半 那么这个三角形是直角三角形 如果三角形一边上的中线等于这边的一半 那么这个三角形是直角三角形 注意 它是 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半 的逆定理 勾股定理逆定理 如果三角形三边长有下面关系 那么这个三cba 222 cba 角 形是直角三角形 注意 它是利用三角形边长的数量关系判断三角形形状 体现了数 3 形结合思想 三三 锐角三角函数的概念锐角三角函数的概念 如图 在ABC 中 我们把锐角 A 的 90C 对边与斜边的比叫做的正弦 记作 A Asin 即 c aA A 斜边 的对边 sin 邻边与斜边的比叫做的余弦 记作 A Acos 即 c bA A 斜边 的邻边 cos 锐角 A 的对边与邻边的比叫做的正切 记作 A Atan 即 b a A A A 的邻边 的对边 tan 锐角 A 的邻边与对边之比叫做的余切 记作 A Acot 即 a b A A A 的对边 的邻边 cot 说明 当固定时 的正弦值 余弦值 正切值 余切值都是固定的 这与的两边长A A A 短无关 锐角A的正弦 余弦 正切 余切都叫做的锐角三角函数 A 说明 由于锐角三角函数都是线段的比值 因而都是正数 而且没有单位说明 由于锐角三角函数都是线段的比值 因而都是正数 而且没有单位 四四 特殊角度的三角函数值特殊角度的三角函数值 三角函数 0 30 45 60 90 sin 0 2 1 2 2 2 3 1 cos 1 2 3 2 2 2 1 0 tan 0 3 3 1 3 五五 各锐角三角函数之间的关系式各锐角三角函数之间的关系式 1 互余关系 90cos sinAA AA 90sincos 2 平方关系 1cossin 22 AA 3 相除关系 sin tan cos A A A 4 六六 锐角三角函数的增减性锐角三角函数的增减性 当角度在之间变化时 900 1 正弦值随着角度的增大 或减小 而增大 或减小 2 余弦值随着角度的增大 或减小 而减小 或增大 3 正切值随着角度的增大 或减小 而增大 或减小 七七 解直角三角形解直角三角形 一 一 解直角三角形的概念 解直角三角形的概念 在直角三角形中 除直角外 一共有 5 个元素 即 3 条边和 2 个锐角 由直角三角形中除直角 外的已知元素求出所有未知元素的过程 叫做解直角三角形 二 二 解直角三角形的方法 解直角三角形的方法 在 RtABC中 所对边分别为 90 CA B C cba 1 三边之间的关系 勾股定理 222 cba 2 锐角之间的关系 A B 90 3 边角之间的关系 c a A sin c b A cos b a A tan a b A cot c b B sin c a B cos a b B tan b a B cot 说明 利用这些关系 知道其中的 2 个元素 至少有一个边 就可以求出其余的 3 个未知元素 已知两个角不能解直角三角形 因为有两个角对应相等的两个三角形相似 不一定全等 因 此其边的大小不确定 三 三 直角三角形解法 直角三角形解法 直角三角形解法按除直角外已知 2 个元素的不同情况可大致分为四种类型 1 已知一条直角边和一个锐角 如 其解法为 aA cot sin 90 22 acbAab A a cAB 或 2 已知斜边和一个锐角 如 其解法为 cA cos sin 90 22 acbAcbAcaAB 或 3 已知两直角边 如 其解法为 ab ABA b a Abac 90 tan 22 得由 4 已知斜边和一直角边 如 其解法为 ca ABA c a Aacb 90 sin 22 得由 8 解直角三角形的应用解直角三角形的应用 仰角 俯角 仰角 俯角 5 如图 1 在我们进行测量时 在视线与水平线所成的角中 视线在水平线上方的叫做仰角 在 水平线下方的叫做俯角 坡度 坡角 坡度 坡角 如图 2 我们通常把坡面的 铅直高度和水平宽度 的比叫做坡度 或坡比 用字母 表示 即 hli l h i 坡面与水平面的夹角叫坡角 坡度与坡角 若用表示 的关系 坡角越大 坡度也越大 坡面越陡 tan i 如图 3 平面上 过观测点作一条水平线 向右为东向 和一条铅垂线 向上为北向 则从O 点出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角 叫做观测的方向角 O 例如 图中 北偏东 是一个方向角 又如 西北 即指正西方向与正北方向所夹直角的 30 平分线 此时的方向角为 北偏西 或 西偏北 45 45 例题 如图 AD 是直角 ABC 斜边上的高 DE DF 且 DE 和 DF 分别交 AB AC 于 E F 求证 AFBE ADBD 例 2 如图 8 某广场一灯柱 AB 被一钢缆 CD 固定 CD 与地面成 40 夹角 且 CB 5 米 1 求钢缆 CD 的长度 精确到 0 1 米 2 若 AD 2 米 灯的顶端 E 距离 A 处 1 6 米 且 EAB 120 则灯的顶端 E 距离地面多少米 参考数据 tan40 0 84 sin40 0 64 cos40 3 4 例 某商场门前的台阶截面积如图所示 已知每级台阶的 宽度 如 CD 均为 0 3m 高度 如 BE 均为 0 2m 现将此 F D C B A E A D CB EF 图 8 6 A B O 东 北 60 45 台阶改造成供轮椅行走的斜坡 并且设计斜坡的倾斜角 A 为 9 计算从斜坡的起点 A 到台阶前 点 B 的距离 精确到 0 1m 参考数据 16 0 9tan 99 0 9cos 16 0 9sin 作业 1 如图 在某建筑物 AC 上 宣传条幅 BC 小明站在点 F 处 看条幅顶端 B 测的仰角为 再 30 往条幅方向前行 20 米到达点 E 处 看到条幅顶端 B 测的仰 角为 求 BC 的长 小明的身高不计 结果保留根 60号 如图 某船由西向东航行 在点 A 测得小岛 O 在北偏东 60 船行了 10 海里后到达点 B 这 时测得小岛 O 在北偏东 45 由于以小岛 O 为圆心 16