复变函数与积分变换课件4.1 复数项级数.ppt

第四章解析函数的级数表示 4 1复数项级数 一 复数序列 1 基本概念 极限 如果对任意给定的e 0 相应地存在自然数N 设为一复数序列 又设为一确定的复数 当n N时 总有 zn a e成立 或 则称复数序列 记作 使得 一 复数序列 2 复数序列极限存在的充要条件 若 则 当时 则的充要条件是 一 复数序列 2 复数序列极限存在的充要条件 定理 设 证明 充分性 若 解 由或发散 即得也发散 故序列收敛 根据复数模的三角不等式有 解 即序列收敛 二 复数项级数 1 基本概念 1 称为复数项级数 2 称为级数的部分和 并且极限值s称为级数的和 3 如果序列收敛 即 则称级数收敛 4 如果序列不收敛 则称级数发散 简记为 二 复数项级数 2 复数项级数收敛的充要条件 级数和都收敛 则级数的部分和 即得级数收敛的充要条件是和都收敛 由于序列收敛的充要条件是和都收敛 二 复数项级数 3 复数项级数收敛的必要条件 等价于 因此收敛的必要条件是 而实数项级数和收敛的必要条件是 但级数发散 因此级数发散 几何级数时收敛 p级数时发散 解 故有级数和均收敛 即得级数收敛 在复数项级数中是否也能引入绝对收敛的概念呢 4 复数项级数的绝对收敛与条件收敛 二 复数项级数 2 若发散 收敛 则称条件收敛 收敛 又 根据正项级数的比较法可得 和均收敛 和均收敛 收敛 即绝对收敛 故收敛 分析 由于发散 p级数 比阶法 因此不能马上判断是否收敛 解 故级数收敛 收敛 4 2复变函数项级数 一 基本概念 1 复变函数项级数 2 称为区域G内 1 称为区域G内的复变函数序列 一 基本概念 2 复变函数项级数收敛的定义 1 称为级数的部分和 则称级数在区域D内收敛 3 如果存在区域DG 有 此时 称 为和函数 D为收敛域 二 幂级数 1 幂级数的概念 其中 为复常数 I 特别地 当时有 二 幂级数 2 阿贝尔 Abel 定理 1 如果级数在点收敛 则它在上绝对收敛 2 如果级数在点发散 则它在上发散 则存在M 使对所有的n有 即得收敛 当时 对于幂级数 有 二 幂级数 2 阿贝尔 Abel 定理 1 如果级数在点收敛 则它在上绝对收敛 定理 2 如果级数在点发散 则它在上发散 证明 2 反证法 与已知条件矛盾 已知级数在点发散 级数在点收敛 二 幂级数 3 收敛圆与收敛半径 分析 二 幂级数 3 收敛圆与收敛半径 1 称圆域 为收敛圆 2 称R为收敛半径 各点的收敛情况是不一定的 表示级数在整个复平面上收敛 收敛半径为 必要条件 由收敛 因此级数在全平面上收敛 收敛 故级数仅在点收敛 收敛半径为 级数发散 级数收敛 1 当时 和函数为 2 当时 故级数收敛半径为 二 幂级数 4 求收敛半径的方法 1 比值法 对于幂级数 有 推导 考虑正项级数 利用达朗贝尔判别法 当即时 级数收敛 当即时 级数发散 2 根值法 二 幂级数 4 求收敛半径的方法 1 比值法 如果 则收敛半径为 对于幂级数 有 利用正项级数的柯西判别法即可得到 得 得 收敛圆为 故级数的收敛半径为 令 则在内有 三 幂级数的性质 1 幂级数的运算性质 2 幂级数的分析性质 即 3 在收敛圆内可以逐项积分 即 2 函数的导数可由其幂函数逐项求导得到 三 幂级数的性质 3 幂级数的代换 复合 性质 在把函数展开成幂级数时 上述三类性质有着重要的作用 又设函数在内解析 且满足 当时 有 则 三 幂级数的性质 方法二利用逐项求导性质 解 4 3泰勒级数 一 泰勒 Taylor 定理 则当时 有 其中 证明 略 一 泰勒 Taylor 定理 而不是在整个解析区域D上展开 的收敛性质的限制 幂级数的收敛域必须 是圆域 幂级数一旦收敛 其和函数一定解析 一 泰勒 Taylor 定理 注 2 展开式中的系数还可以用下列方法直接给出 方法一 一 泰勒 Taylor 定理 注 2 展开式中的系数还可以用下列方法直接给出 方法二 一 泰勒 Taylor 定理 注 3 对于一个给定的函数 用任何方法展开为幂级数 其结果都是一样的 即具有唯一性 方法一利用已知的结果 4 2 方法二利用泰勒定理 方法三利用长除法 一 泰勒 Taylor 定理 注 4 对于一个给定的函数 能不能在不具体展开为幂级数 的情况下 就知道其收敛域 可以知道 等于从点到的最近一个奇点的距离 在收敛圆内 2 奇点也不可能在收敛圆外 不然收敛半径 还可以扩大 故奇点只能在收敛圆周上 二 将函数展开为泰勒级数的方法 1 直接展开法 利用泰勒定理 直接计算展开系数 解 二 将函数展开为泰勒级数的方法 1 直接展开法 利用泰勒定理 直接计算展开系数 同理可得 二 将函数展开为泰勒级数的方法 2 间接展开法 根据唯一性 利用一些已知的展开式 通过有理运算 代换运算 逐项求导 逐项求积等方法展开 两个重要的已知展开式 故收敛半径 1 2 2 解 1 解 2 解 解 解 解 4 4洛朗级数 一 含有负幂次项的 幂级数 1 问题分析 引例 展开式为 事实上 该函数在整个复平面上仅有一个奇点 但正是这样一个奇点 使得函数只能在内展开 为z的幂级数 而在如此广大的解析区域内不能 展开为z的幂级数 有没有其它办法呢 一粒老鼠屎 坏了一锅汤 一 含有负幂次项的 幂级数 1 问题分析 设想 这样一来 在整个复平面上就有 从而可得 一 含有负幂次项的 幂级数 1 问题分析 启示 如果不限制一定要展开为只含正幂次项的幂级数的话 即如果引入负幂次项 那么就有可能将一个函数在整个 复平面上展开 除了奇点所在的圆周上 在引入了负幂次项以后 幂级数 的收敛特性如何呢 下面将讨论下列形式的级数 一 含有负幂次项的 幂级数 分析 2 级数的收敛特性 A B 1 对于 A 式 其收敛域的形式为 2 对于 B 式 其收敛域的形式为 根据上一节的讨论可知 一 含有负幂次项的 幂级数 结论 2 级数的收敛特性 1 如果级数收敛 则其收敛域 一定 为环域 如果只含正幂次项 或者加上有限个负幂次项 特别地 如果只含负幂次项 或者加上有限个正幂次项 则其收敛域为 上述两类收敛域被看作是一种特殊的环域 一 含有负幂次项的 幂级数 结论 2 级数的收敛特性 1 如果级数收敛 则其收敛域 一定 为环域 而且具有与幂级数同样的运算性质和分析性质 2 级数在收敛域内其和函数是解析的 因此 下面将讨论如何将一个函数在其解析环域内展开 为上述形式的级数 二 洛朗 Laurent 定理 C为在圆环域内绕的任何一条简单闭曲线 解析 内 在此圆环域中展开为 则一定能 其中 二 洛朗 Laurent 定理 注 2 洛朗级数中的正幂次项和负幂次项分别称为洛朗级数 二 洛朗 Laurent 定理 的解析部分和主要部分 3 一个在某圆环域内解析的函数展开为含有正负幂次项 的级数是唯一的 5 若函数在圆环内解析 则在 在此圆环内的洛朗展开式就是泰勒展开式 三 将函数展开为洛朗级数的方法 1 直接展开法 根据洛朗定理 在指定的解析环上 直接计算展开系数 有点繁 有点烦 三 将函数展开为洛朗级数的方法 根据唯一性 利用一些已知的展开式 通过有理运算 代换运算 逐项求导 逐项求积等方法展开 两个重要的已知展开式 2 间接展开法 三 将函数展开为洛朗级数的方法 都需要根据函数的奇点位置 将复平面 或者题目指定 的展开区域 分为若干个解析环 展开点为 则复平面 被分为四个解析环 函数有两个奇点 以展开点为中心 将复平面分为三个解析环 2 将函数进行部分分式分解 解 1 2 当时 3 将函数在每个解析环内分别展开 解 1 2 当时 3 将函数在每个解析环内分别展开 解 1 2 当时 3 将函数在每个解析环内分别展开 有两个奇点 以展开点为中心 将复平面分为两个解析环 注意 不需要将函数进行部分分式分解 函数 解 当时 2 将函数在