构造函数法在微积分证明中的应用参考论文

广西工学院学士学位论文 构造函数法在数学证明中的应用 1 一 绪论 构造函数思想是数学的一种重要的思想方法 在数学中具有广泛的应用 他属于 数学思想方法中的构造法 所谓构造法 就是根据件或结论所具有的特征 性质 构 造出满足条件或结论的数学模型 借助于该数学模型解决数学问题的方法 它具有两 个显著的特性 直观性和可行性 正是这两个特性 在数学应用中经常运用它 构造法的特点是化复杂为简单 化抽象为直观 构造法思想的核心是根据题设条 件的特征恰当构造一种新的形式 对培养学生的数形结合的思想 思维能力以及培养 学生的创新能力都有很大的帮助 怎样构造呢 当某些数学问题用通常办法按定势思维去解 很难凑效时 应根据 题设条件和结论的特征 性质展开联想 常是从一个目标联想起我们曾经使用过可能 达到目的的方法 手段 进而构造出解决问题的特殊模式 就是构造法解题的思路 构造法是我们在研究有关数学问题时 需要构造并解出一个合适的辅助问题 从 而用它来求得一条通向表面看来难于接近问题的信道的一种解答问题的方法 其实质 就是把研究的数学问题经过仔细的观察 挖掘其隐含条件 再通过丰富的联想 把问 题化归为已知的数学模型 从而使问题得以解答 怎样去构造呢 常常是从一个目标 联想起我们曾经用过的某种方法 手段 借助于这些方法 手段达到目标 因此构造 法体现了数学思维的灵活性和创造性 构造法并不是独立的 它的运用需要借助于联 想法 化归法等 如果我们能够掌握了构造法并能运用此方法解决数学问题 那么不 但可以培养我们的良好的思维品质 而且还可以提高我们的抽象思维能力 发散思维 能力和解题能力 构造法的方法很多 技巧性强 使用时没有固定的模式 须根据具 体问题采用相应的构造法 本文通过不同数学模型的例子介绍构造法的应用 广西工学院学士学位论文 构造函数法在数学证明中的应用 2 二 构造函数在微积分证明中的应用 构造法是数学解题的主要方法之一 它的应用极广 随着知识的积累和增加 构 造法就越加突现重要 比如在零点定理的证明和应用上 在微积分学里的中值定理的 证明和应用上等 最典型的是拉格朗日中值定理的证明 这个定理的证明是根据几何 直观的启示 构造了一个与问题有关的辅助函数 才得以运用罗尔定理解决的 这种 思想方法在数学解题中经常用到 且往往有效 中值定理特别是拉格朗日中值定理在不等式的证明中有着重要作用 通过对不等 式的结构分析 构造某特定区间上的函数 满足定理的条件 达到证明目的 其中 在拉格朗日中值定理的证明中利用定理公式构造了一个新的函数 再利用 函数的性质和定理合理地证明了拉格朗日中值定理 其他中值定理也如此 都是通过 构造函数来证明的 微积分学中的四种中值定理 费马定理 罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯 西中值定理 构造法都贯穿其中 起到了重要和决定性的作用 一 构造辅助函数用零点定理证明 零点定理 设函数在闭区间上连续 且与 异号 即 f x a b f a f b 那么在开区间内至少有函数的一个零点 即至少有一点 0f af b a b f x 使 ab 0f 零点定理的结论是 存在 使 结论中并未出现导数运算 所以 a b 0f 不太可能利用中值定理证明 相反 只要可以整理为 证明存在 使某连续 a b 函数满足 这种形式的命题 基本上都可以使用零点定理来证明 而辅 x 0 助函数的构造更为简单 证明方法 1 将把要正的等式化为等价的标准形式 所有项均移到等式左边 使等式右边为 零 2 将等式左边的表达式 将换成 作为辅助函数即可 x 例 1 设在闭区间上的非负连续函数 并且 证明 对于任意的 f x 0 a 0 0f 都存在 使得 0 0 a b ff a 证明 只要证 即可 为此 设 显然 0ff a xf xf ax 广西工学院学士学位论文 构造函数法在数学证明中的应用 3 在闭区间上连续 x 0 a 并且 2 0a 0 0 0ff af a 0 0af aff a 1 若 则 都满足方程 0f a 0 a 2 若 则由 及零点定理知 必有 使得 0f a 0 0 0b a b 0 因而 对于任意的 都存在 使得 即0 0 a b 0ff a ff a 构造辅助函数利用零点定理可以证明根的存在性 下面我们通过例子来验证 例 2 设实数 证明方程分 1 0a 2 0a 3 0a 123 312 123 0 aaa xxx 别在区间和有且仅有一个实根 12 23 证明 设 312 123 aaa F x xxx 123213312 123 a xxaxxa xx xxx 记 123213312 f xa xxaxxa xx 易见 是一个二次函数 它在内连续 当然在和上都连续 f x 12 23 并且 111213 0fa 222123 0fa 333132 0fa 所以由零点定理知 必存在与 使得 112 223 1 0f 2 0f 然而是一个二次函数 最多有两个零点 因此分别在区间和 f x 0f x 12 有且仅有一个实根 23 另一方面 由于 所以当且仅当 因而 123 f x F x xxx 0F x 0f x 广西工学院学士学位论文 构造函数法在数学证明中的应用 4 也分别在区间和有且仅有一个实根 0F x 12 23 二 构造辅助函数用罗尔定理证明 罗尔中值定理 如果函数在闭区间上连续 在开区间内可导 且 f x a b a b 那么至少存在一点 使得 f af b a b 0f 对于含有抽象函数及其导数的方程或关于的等式 在证明时 应构造 f x fx 辅助函数 用罗尔定理证明 此时构造函数的一般方法是 查找原函数 其步骤为 1 若证的是含有的等式 先把改为 使等式成为方程 x 2 把方程看作是以为未知函数的微分方程 然后解微分方程 f x 3 求出解后 把任意常数 移到一端 另一端即为所要构造辅助的函数 c 4 对于形式简单的方程或含的等式 则可用观察法求出辅助函数 下面我们用罗尔定理来证明一些重要的定理 拉格朗日中值定理 设函数满足条件 1 在闭区间上连续 2 f x f x a b 在开区间内可导 则至少存在一点 使 f x a b a b f bf a f ba 1 1 我们要证 1 1 式 即要证 0 f bf a f ba 即 0 X f bf a fx ba 故我们可以从几何意义上来考虑 拉格朗日中值定理的几何意义如图所示 函数的图像在区间上为图1 1 f x a b 中的弧段 上点点存在不与轴平行的切线 那么 结论是在内存在 A AB A ABoy a b 点 使相应于这一点的弧上点处的切线平行于弦 A ABCAB 图1 1 广西工学院学士学位论文 构造函数法在数学证明中的应用 5 因此在证明拉格朗日中值定理中 故我们想到作辅助函数 f bf a xf xx ba 我们所做的辅助函数 f bf a xf xx ba 实际上分两部分 和 容易验证 它们在闭区间 1 yf x 2 f bf a yx ba 连续 在开区间内可导 此时易知 a b ba ab bf aaf b ba 容易验证 在上满足罗尔定理的条件 因而存在 使 0 x a b a b 即成立 0 f bf a f ba 柯西中值定理 设函数和满足条件 1 均在闭区间上连 f x g x f x g x a b 续 2 均在开区间内可导 3 对 则存在 f x g x a b xa b 0g x 使 a b ff bf a gg bg a 2 1 我们要证 2 1 式 即要证 0g bg aff bf a g 也就是 0 X g bg af xf bf a g x 故我们想到作辅助函数 xg bg af xf bf a g x 容易验证 在上满足罗尔定理的条件 因而存在 x a b a b 使 0g bg aff bf a g 因 故 0g x xa b 0g bg a 0g 得 柯西定理证毕 ff bf a gg bg a 广西工学院学士学位论文 构造函数法在数学证明中的应用 6 三 构造辅助函数用拉格朗日中值定理证明 证明方法根据 拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理 若函数满足下列条件 I 在闭区间上连续 xf xf ba II 在开区间内可导 则在开区间内至少存在一点 使得 xf ba ba ab afbf f 拉格朗日中值定理反映了函数或函数增量和可导函数的一阶导数符号之间的关系 对于常值不等式或函数不等式 通过恒等变形后 若出现函数差值与自变量之差之 比 符号拉格朗日中值公式的形式 则用拉格朗日中值定理证明之 此时 所要构造的 辅助函数可观察得出 证明步骤为 1 辅助函数 找到相应的区间 I 2 验证该函数在区间满足拉格朗日中值定理的条件 I 3 写出拉格朗日中值公式 4 由满足的不等式 对放大或缩小 从而消去 得到所要证明的不等式 f 例 1 证明 当 xx x x x 1ln 1 0 分析 所证不等式中的函数的导数为 即所证不等式中含有函数及 1ln x x 1 1 其导数 因而可用拉格朗日中值定理证之 由于 因此可构造函数的改变量01ln 则相应自变量的改变量为 原不等式等价于 1ln 1ln xx 由不等式中间部分的形式可知 可利用拉格朗日中值定理去1 1 1 11 1ln 1 1 x nx x 证明 证明 构造函数 因在上连续 在上可导 ttfln tf 1 1 x 0 x 1 1 x 在上满足拉格朗日条件 于是存在 使 tf 0 1 1 xx 1 1 x 1 1 1 1 1 f x fxf 因 11 1 ln 1 ln1ln 1 1 1 fxx x 广西工学院学士学位论文 构造函数法在数学证明中的应用 7 所以 1ln 1 1 1 x xx 即 ln 1 1 x xx x 0 x 适用范围 当所证的不等式中含有函数值与一阶导数 或函数增量与一阶导数时 可用拉格 朗日中值定理来证明 四 构造辅助函数用柯西中值定理证明 证明方法根据 柯西中值定理 柯西中值定理反映了两个函数或两个函数增量与它们一阶导数之间的关系 证明方法 构造两个辅助函数和 并确定它们施用柯西中值定理的区间 xf xg ba 对与在上施用柯西中值定理 xf xg ba 利用与的关系 对柯西公式进行加强不等式 ba 例 2 设 证明 2 0 yxeaaayxaa xxy ln cos cos 分析 原不等式可等价于 可看出不等式左边可看成是函数aa xy aa x xy ln coscos 与在区间上的改变量的商 故可用柯西中值定理证明之 t atf ttgcos yx 证明 原不等式等价于 可构造函数 因aa xy aa x xy ln coscos t atf ttgcos 均在上连续 在上可导 且 由于 tf tg yx yx0ln aatf t 2 0 yx 则 所以在上满足柯西中值yygxxgttgcos cos 0sin tf tg yx 条件 于是存在 使得 yx sin ln coscos aa xy aa xgyg xfyf g f xy 又因有 yxea 2 0 yx1ln 1 sin 1 aaa x 得到 因此 sin ln ln sin ln ln aa aa aa aa xx aa xy aa x xy ln coscos 即 aayxaa xxy ln cos cos 广西工学院学士学位论文 构造函数法在数学证明中的应用 8 适用范围 当不等式含有两个函数的函数值及其一阶导数 或两个函数的函数增量及其一阶 导数时 可用柯西中值定理证明 三 构造函数在不等式证明中的应用 不等式的证明历来是数学证明的难点 不等式的证明方法多种多样 根据所给不 等式的特征 巧妙的构造适当的函数 然后利用一元二次函数的判别式 函数的奇偶 性 单调性 有界性等来证明不等式 统称为函数法 本文通过一些具体的例子来探 讨一下怎样借助构造函数的方法证明不等式 一 构造函数利用判别式证明不等式 1 构造函数正用判别式证明不等式 在含有两个或两个以上字母的不等式中 若使用其它方法不能解决 可将一边整 理为零 而另一边为某个字母的二次式 这时可考虑用判别式法 一般对与一元二次函 数有关或能通过等价转化为一元二次方程的 都可考虑使用判别式 但使用时要注意 根的取值范围和题目本身条件的限制 例 1 设 证明 成立 并指出等号何abcR 0 3 22 cbabcaca 时成立 证明 令bcbcacbaaf33 3 222 2222 3 33 4 3 cbbcbccb 因为 b c R 所以 0 即 所以恒成立 0 af0 3 22 cbabcaca 当 0 时 此时 0 cb0 3 222 caabcacaaf 所以时 不等式取等号 cba 例 2 已知 且 求证 Rcba 2 2 222 cbacba 3 4 0 cba 证明 消去 c 得 此方程恒成立 2 2 222 cba cba 012 2 22 bbaba 所以 即 043 12 4 2 222 bbbbb 3 4 0 b 同理可求得 ca 3 4 0 广西工学院学士学位论文 构造函数法在数学证明中的应用 9 2 构造函数逆用判别式证明不等式 对某些不等式证明 若能根据其条件和结论 结合判别式的结构特征 通过构造 二项平方和函数 22 22 2 11 nn bxabxabxaxf 由 得 0 就可以使一些用一般方法处理较繁琐的问题 获得简捷明快的0 xf 证明 例 3 设且 Rdcba 1 dcba 求证 6 14141414 dcba 证明 构造函数 2222 114 114 114 114 xdxcxbxaxf 1 4 14141414 28 2 dcbaxdcbax 由 得 0 即 0 xf0128 14141414 4 2 dcba 所以 6 2414141414 dcba 例 4 设且 求的最小值 Rdcba 1 cba cba 941 证明 构造函数 222 3 2 1 cx c bx b ax a xf 2 149 121xx abc 因为 1abc 由 当且仅当时取等号 0 xf 2 1 3 1 6 1 cba 得 0 即 144 4 0 cba 941 所以当时 2 1 3 1 6 1 cba36 941 min cba 广西工学院学士学位论文 构造函数法在数学证明中的应用 10 二 构造函数运用函数有界性 单调性 奇偶性证明不等式 1 构造函数利用函数有界性证明不等式 定义定义 1 1 函数的有界性 函数的有界性 设函数在区间上有定义 如果 使得对 xfI0 MIx 有 则称在区间上有界 否则 称在区间上无界 Mxf xfI xfI 例 5 设 1 1 1 求证 1 abcacbcab 证明 令为一次函数 1 bcxcbxf 由于 0 且 0 1 1 1 cbf 1 1 cbxf 所以在时恒有 0 xf 1 1 x xf 又因为 所以 0 即 0 1 1 a af1 acbcab 评注 考虑式中所给三个变量的有界性 可以视其为单元函数 转化为 1 af 2 构造函数利用单调性证明不等式 函数单调性的判别法函数单调性的判别法 设函数在上连续 在内可导 若在内 xfy ba ba ba 则函数在上单调增加 减少 0 0 xfxf xfy ba 对于形如 或 的函数不等式 常构造辅助函数 f xg x f xg x 或 用单调性证之 其步骤为 F xf xg x F xg xf x 1 构造辅助函数 F xf xg x 2 证 或 得出单调性 0F x 0 3 求出在区间端点之一处的函数值或极限值 f x 4 最后根据函数单调性及区间端点的函数值得出所证的不等式 例 6 求证 当 0 时 xx 1ln x 证明 令 因为 0 所以 0 1ln xxxfx 11 1 1 x x x xf 又因为在处连续 所以在上是增函数 xf0 x xf 0 从而 当 0 时 0 x 1ln xxxf 0 f 即 成立 x 1ln x 评注 例 6 可以看出 在证明这样一类不等式时 先是将原不等式移项 使一端变为 广西工学院学士学位论文 构造函数法在数学证明中的应用 11 0 再构造辅助函数 证明在相应的区间内的最大值或最小值为零 从而移 F x F x 项便得所证 利用函数单调性证明不等式和比较大小是常见的方法 特别是在引入导数后 单 调性的应用将更加普遍 下面我们就用可导函数的单调性证明不等式法 证明方法根据 可导函数的一阶导数符号与函数单调性关系定理 定理定理 1 1 若函数在可导 则在内递增 递减 的充要条件是 xf ba xf ba 0 0 baxxfxf 定理定理 2 2 设函数在连续 在内可导 如果在内 或 xf ba ba ba0 x f 那么在上严格单调增加 或严格单调减少 0 x f xf ba 定理定理 3 3 设函数在内可导 若 或 则在 xf ba0 x f0 x f xf 内严格递增 或严格递减 ba 上述定理反映了可导函数的一阶导数符号与函数单调性的关系 因此可用一阶导数 研究函数在所讨论区间上的单调性 证明方法 1 构造辅助函数 取定闭区间 xf ba 利用不等式两边之差构造辅助函数 见例 2 利用不等式两边相同 形式 的特征构造辅助函数 见例 3 若所证的不等式涉及到幂指数函数 则可通过适当的变形 若取对数 将其化 为易于证明的形式 再如前面所讲那样 根据不等式的特点 构造辅助函数 见例 4 2 研究在上的单调性 从而证明不等式 xf ba 例 2 证明不等式 0 1 1ln 1 22 xxxxx 分析 利用差式构造辅助函数 则将 0 1 1ln 1 22 xxxxxxf 要证明的结论转化为要证 而 因而只要证明 0 0 xxf0 0 f 0 0 xfxf 证明 令 易知在上连续 0 1 1ln 1 22 xxxxxxf xf 0 且有 由定理二可知在上严格单调增 0 0 1ln 2 xxxxf xf 0 加 所以由单调性定义可知 0 0 0 xfxf 即 01 1ln 1 22 xxxx 广西工学院学士学位论文 构造函数法在数学证明中的应用 12 因此 0 1 1ln 1 22 xxxxx 例 3 求证 b b a a ba ba 111 分析 不等式两边有相同的 形式 试构造辅助函数 利 A A 1 0 1 x x x xf 用定理二与在上的单调性证明不等式 xf 0 证明 设辅助函数 易知在上连续 且有 0 1 x x x xf xf 0 则由定理二可知在上严格单调增加 0 1 1 2 x xf 0 x xf 0 由 有 baba 0 f abf ab 得到 b b a a ba b ba a ba ba ba ba 111111 所以原不等式成立 例 4 证明 当时 0 x 2 1 1 1 1 x x ex 分析 此不等式为幂指数函数不等式 若直接利用差式构造辅助函数将很难求其导 数 更很难判断其在上的单调性 可对不等式两边分别取对数得到 0 化简得 在此基础上可利用差式构造 2 1 1ln 1 1 x x x 2 2 1ln 1 2xxxx 辅助函数 且 因而只要证明 0 1ln 1 22 2 xxxxxxf0 0 f 即可 0 0 xfxf 证明 分别对不等式得两边取对数 有 化简有 2 1 1ln 1 1 x x x 设辅助函数 2 2 1ln 1 2xxxx 0 1ln 1 22 2 xxxxxxf 易知在上连续 也在上连续 因 1ln 22 xxxf xf 0 x f 0 根据定理二 得在上严格单调增加 所以 0 0 1 2 x x x xf x f 0 又由在上连续 且 根据定理二可知 0 0 0 xfxf xf 0 0 x f 在上严格单调增加 所以 即 xf 0 0 0 0 xfxf 广西工学院学士学位论文 构造函数法在数学证明中的应用 13 因此 即 0 1ln 1 22 2 xxxx 1ln 1 22 2 xxxx 2 1 1 1 1 x x ex 适用范围 利用函数单调性证明不等式 不等式两边的函数必须可导 对所构造的辅助函数 应在某闭区间上连续 开区间内可导 且在闭区间的某端点处的值为 0 然 xf xf 后通过在开区间内的符号来判断在闭区间上的单调性 x f xf 3 构造函数利用奇偶性证明不等式 定义定义 2 2 函数的奇偶性 函数的奇偶性 设函数的定义域关于原点对称 即若 则必 xfX xX 有 如果 有成立 则称为偶函数 如果 xX xX xfxf xf xX 有成立 则称为奇函数 xfxf xf 例 7 求证 x x 21 0 2 x x 证明 设 xf x x 21 0 2 x x 221 xx xf x 212 2xx x x 2 21 1 21 xx x x 221 x x x x xf 所以是偶函数 其图象关于轴对称 当 0 时 0 故 0 当 xfyx x 21 xf 0 时 依图象关于轴对称知 0 故当时 恒有 0 即 xy xf0 x xf x x 21 0 2 x x 评注 这里实质上是根据函数奇偶性来证明的 如何构造恰当的函数充分利用其性质 是关健 三 构造函数运用函数的极值与最大 最小值证明不等式 极值的第一充分条件极值的第一充分条件 设在连续 在内可导 xf 0 x 0 0 x i 若当时 当时 则 00 xxx 0 x f 00 xxx0 x f 在取得极大值 xf 0 x 广西工学院学士学位论文 构造函数法在数学证明中的应用 14 ii 若当时 当时 则 00 xxx 0 x f 00 xxx 0 x f 在取得极小值 xf 0 x 极值的第二充分条件极值的第二充分条件 设在的某领域内一阶可导 在处二阶 xf 0 x 0 xx 可导 且 0 0 x f0 0 x f i 若 则在取得极大值 0 0 x f xf 0 x ii 若 则在取得极小值 0 0 x f xf 0 x 极值和最值是两个不同的概念 极值仅是在某点的邻域内考虑 而最值是在某个区 间上考虑 若函数在一个区间的内部取得最值 则此最值也是极值 极值的充分条件定 理反映了可导函数的一阶导数符号或二阶导数在可疑点上的导数符号与函数极值的关 系 证明方法 构造辅助函数 并取定区间 xf 当不等式两边均含有未知数时 可利用不等式两边之差构造辅助函数 见例 5 当不等式两边含有相同的 形式 时 可利用此形式构造辅助函数 见例 6 当不等式形如 或 为常数 时 可设为辅助函数 见axg axg a xg 例 7 例 5 证明 当时有 0 x45 5 xx 分析 利用差式构造辅助函数 这与前面利用函数单调性 0 45 5 xxxxf 定义证明不等式中所构造辅助函数的方法相同 但由于在上不是单调函数 xf 0 因对任意 不能判断的符0 21 xx 12 xx 55 121212 5 f xf xxxxx xf 号 所以不能用可导函数的单调性证明此不等式 则可采用函数的极值方法试之 函 数的单调性证明此不等式 则可采用函数的极值方法试之 证明 构造辅助函数 则有 0 45 5 xxxxf 令 解得 其中 1 1 1 5 1 1 555 2224 xxxxxxxf0 x f1 x 只有在区间内 由 有在点连1 x 0 1 45lim lim 5 11 fxxxf xx xf1 x 续 因当时 则在上为减函数 当时 10 x0 x f xf 1 0 1 x0 x f 则在上为增函数 由极值的第二充分条件 ii 可知 在处取得极 xf 1 xf1 x 广西工学院学士学位论文 构造函数法在数学证明中的应用 15 小值 即为区间上的最小值 所以当时 有 故0 1 f 0 0 x0 1 fxf 即 0 045 5 xxx 0 45 5 xxx 例 6 设 则 0 0 ba bb b a b a 1 1 1 分析 此不等式两边含有相同的 形式 可将不等式变形为 B B A 可构造辅助函数 b b b b b b a a 11 1 1 0 1 1 x x x xf b b 证明 将不等式变形为 构造辅助函数 b b b b b b a a 11 1 1 0 1 1 x x x xf b b 则有 令 则有 当时 b bb x bxxx xf 2 1 1 0 x fbx bx 00 x f 所以单调递减 当时 则单调递增 因此 由极值的第二 xfbx 0 x f xf 充分条件 ii 可知在时取得极小值 即最小值 所以当 有 xfbx 0 a 即 b b a a af 1 1 b b b b bf 1 1 0 1 1 1 ba b a b a bb 例 7 证明 若 则对于中的任意有 1 p 1 0 x 1 2 1 1 1 p pp xx 分析 显然设辅助函数 若设 由 10 1 xxxxf pp 1 2 1 p xg 故很难用函数单调性的定义去证 10 0 1 2 1 1 0 0 0 1 xFgfF p 明 考虑到 不难看到不等式 即为与其端点1 1 0 ff1 1 pp xx xf 处的函数值的大小比较问题 因而可想到用最值方法试之 1 0 xx 证明 设辅助函数为 则时 10 1 xxxxf pp 10 x 有 1 1 1111 pppp xxpxppxxf 令得 解之得稳定点 因函数在闭区间 0 1 上连0 x f 11 1 pp xx 2 1 x xf 续 因而在 0 1 上有最大值和最小值 已知 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 0 p pp fff 广西工学院学士学位论文 构造函数法在数学证明中的应用 16 有 1 2 1 1 max max 1 1 0 1 0 p xx xf min 1 0 xf x 2 1 2 1 1 min 11 1 0 pp x 因此对一切时 有所以原不等式得证 1 1 0 px 1 2 1 1 xf p 适用范围 1 所设函数在某闭区间上连续 开区间内可导 但在所讨论的区间上不是单 xf 调函数时 2 只能证不严格的不等式而不能证出严格的不等式 四 构造函数运用凹凸性证明不等式 定义 1 凹凸性 设在区间 I 上连续 如果对 I 上任意两点 恒有 xf 21 x x 2 2 2121 xfxfxx f 那么就称在区间 I 上的图形是凹的 或凹弧 如果恒有 xf 2 2 2121 xfxfxx f 那么就称在区间 I 上的图形是凸的 或凸弧 xf 凹凸性的判定方法 定理 1 设在上连续 在内二阶可导 那么 xf ba ba 若在内 则曲线在上是凹的 ba0 x f xfy ba 若在内 则曲线在上是凸的 ba0 x f xfy ba 证明方法根据 凹凸函数定义及其定理和詹森不等式 定义 2 设为定义在区间 I 上的函数 若对于 I 上任意两点和实数 xf 21 x x 总有 则称为 I 上的凸函数 若 1 0 1 1 2121 xfxfxxf xf 总有 则称为 I 上的凹函数 1 1 2121 xfxfxxf xf 定理定理 2 设为 I 上的二阶可导函数 则为 I 上的凸函数 或凹函数 的 xf xf 充要条件是在 I 上 0 0 xfxf或 詹森不等式詹森不等式 若在上为凸函数 对任意的且 xf ba 2 1 0 nibax ii 则 该命题可用数学归纳法证明 1 1 n i i 1 n i iix f 1 i n i i xf 函数的凹凸性定理反映了二阶可导函数的二阶导数符号与凹凸函数之间的关系 证明方法 广西工学院学士学位论文 构造函数法在数学证明中的应用 17 定义证明法 将不等式写成定义的形式 构造辅助函数 并讨论在所 xf xf 给区间上的凹凸性 詹森不等式法 对一些函数值的不等式 构造凸函数 应用詹森不等式能快速 证此类不等式 例 10 证明 当时 0 0 yx 2 ln lnln yx yxyyxx 分析 不等式等价于 不等式两边含有相同 形式 2 ln 2 2 lnlnyxyxyyxx 可设辅助函数 因此原不等式可化为要证ttln 0 ln ttttf 只要证明在上为凸函数 即证在内 2 2 yx f yfxf tf 0 xf yx 即可 0 x f 证明 定义证明法 设 有 则 0 ln ttttf 0 0 1 1ln t t tfttf 在为凸函数 对任意 有 取 tf 0 0 0yxyx 2 2 yx f yfxf 2 1 要使与的系数相同 当且仅当时成立 即 因此 xf xg 1 2 1 2 ln lnln yx yxyyxx 例 11 若 A B C 是的三内角 则 ABC 3 2 3 sinsinsin CBA 分析 不等式左边为的函数的和 考虑构造凸函数 xsinxxfsin 证明 詹森不等式 令 则 则是 xxxf 0 sin 0sin xxf xf 上的凸函数 取 由 得到 0 CBA 0 321 1 3 1 i i 3 1 321 由詹森不等式结论得 因是 sinsin sin 3 1 3 sinCBA CBA CBA 的三内角 ABC 则 CBA 可得 2 3 3 sin sinsin sin 3 1 CBA 即 3 2 3 sinsinsin CBA 广西工学院学士学位论文 构造函数法在数学证明中的应用 18 适用范围 当不等式可写成凹凸函数定义的形式或对一些函数值和且能够构造凸函数的不等 式 五 构造函数运用定积分理论来证明不等式 证明方法根据 定积分的性质和变上限辅助函数理论 定积分性质之一 设与为定义在上的两格可积函数 若 xf xg ba baxxgxf 则 dxxgdxxf b a b a 微积分学基本定理 若函数在上连续 则由变动上限积分 xf ba baxdttfx x a 定义的函数在上可导 而且 也就是说 函数是被积函数 ba xfx 在上的一个原函数 xf ba 微积分学基本定理沟通了导数和定积分这两个从表面看去似不相干的概念之间的 内在联系 证明方法 构造变上限辅助函数证明不等式法 对于含有定积分的不等式 可把常数变为变 数构造辅助函数 利用变上限积分及函数的单调性解决此类不等式 见例 x a dttf 15 例 15 设在上连续 且单调递增 试证明 xf badxxf ba dxxxf b a b a 2 分析 可将此定积分不等式看成是数值不等式 并将常数变为变数 利用差式bt 构造辅助函数 则要证 dxxf ta dxxxftF t a t a 2 0 aFbF 证明 利用构造变上限辅助函数 设辅助函数 dxxf ta dxxxftF t a t a 2 显然 0 aF 对 bat 1 22 t a at F ttf tf x dxf t 1 22 t a ta f tf x dx 广西工学院学士学位论文 构造函数法在数学证明中的应用 19 1 2 t a f tf x dx tax 因为单调递增 则 则单调递增 xf0 t F tF 所以 0 abaFbF 因此 dxxf ba dxxxf b a b a 2 适用范围 当不等式含有定积分 或被积函数时 可用定积分的性质来证明或 xgxf 构造上限辅助函数来证明 六 构造函数引入参数证明不等式 证明方法根据 将对数值不等式的证明转化为对函数不等式的证明 用微积分理 论研究函数的性质 从而证明不等式 证明方法 引入参数 构造辅助函数 得到关于 的二次多项式 利t0 2 dxxtgxf b a t 用判别式来证明不等式 0 例 16 设在区间上连续 证明 xgxf ba 柯西 许瓦茨不等式 dxxgdxxfdxxgxf b a b a b a 222 分析 欲证不等式是函数 以及的积分不等式 引入参数 22 xgxf xgxft 考虑辅助函数在区间上的积分 2 xtgxf ba 证明 利用定积分的性质易知 即0 2 dxxtgxf b a 这是关于 的二次多项式不等式 因此 0 2 222 b a b a b a dxxfdxxgxftdxxgtt 判别式 即 0 4 4 222 b a b a b a dxxgdxxfdxxgxf dxxgdxxfdxxgxf b a b a b a 222 适用范围 当积分式含有平方项 或的情形 2 xf 2 x f 广西工学院学士学位论文 构造函数法在数学证明中的应用 20 四 条件极值与拉格朗日乘数法 一 条件极值 了解拉格朗日乘数法 学会用拉格朗日乘数法求条件极值 条件极值 拉格朗日乘数法 1 了解拉格朗日乘数法的证明 掌握用拉格朗日乘数法求条件极值的方法 2 用条件极值的方法证明或构造不等式 3 多个条件的的条件极值问题 计算量较大 4 在解决很多问题中 用条件极值的方法证明或构造不等式 是个好方法 在许多极值问题中 函数的自变量往往要受到一些条件的限制 比如 要设计一 个容积为的长方体形开口水箱 确定长 宽和高 使水箱的表面积最小 设水箱的V 长 宽 高分别为 则水箱容积焊制水箱用去的钢板面积为zyx xyzV 这实际上是求函数 在 限制下的最小值问题 xyyzxzzyxS 2 zyxSxyzV 这类附有条件限制的极值问题称为条件极值问题 其一般形式是在条件 2 1 0 21 nmmkxxx nk 限制下 求函数 的极值 21n xxxf 条件极值与无条件极值的区别 广西工学院学士学位论文 构造函数法在数学证明中的应用 21 条件极值是限制在一个子流形上的极值 条件极值存在时无条件极值不一定存在 即使存在二者也不一定相等 例如 求马鞍面 被平面 平面所截的曲线上的最低点 请看这1 22 yxzXOZ 个问题的几何图形 x31 马鞍面 从其几何图形可以看出整个马鞍面没有极值点 但限制在马鞍面被平面 平XOZ 面所截的曲线上 有极小值 1 这个极小值就称为条件极值 1 何谓条件极值 在讨论极值问题时 往往会遇到这样一种情形 就是函数的自变量要受到某些条 件的限制 决定一给定点到一曲面的最短距离问题 就是这种情 000 zyx0 zyxG 形 我们知道点到点的距离为 zyx 000 zyx 现在的问题是要求出曲面上的 2 0 2 0 2 0 zzyyxxzyxF 0 zyxG 点使 F 为最小 即 问题归化为求函数在条件下的最小值 zyx zyxF0 zyxG 问题 又如 在总和为 C 的几个正数的数组中 求一数组 使函数值 n xxx 21 为最小 这是在条件 的限制下 求 22 2 2 1n xxxf Cxxx n 21 0 i x 函数的极小值问题 这类问题叫做限制极值问题 条件极值问题 f 例 1 求函数 在条件下的极值 xyzf 0 1 222 zyxzyx 解 令 1 222 zyxzyxxyzL 02 xyzLx 02 yxzLy 02 zxyLz 得 1 zzyyxx 222 222 又 2 1 222 zyx 3 0 zyx 广西工学院学士学位论文 构造函数法在数学证明中的应用 22 由 1 得 2 22 xyyx 2 22 yzzy 当时得 zyx 2yx 2zy 故得 代入 2 3 式得 zx 解得稳定点 12 22 yx 6 1 6 2 6 1 1 P 6 1 6 2 6 1 2 P 02 yx 由对称性得 也是稳定点 6 1 6 1 6 2 4 3 P 6 2 6 1 6 1 6 5 P 2 条件极值点的必要条件 设在约束条件之下求函数的极值 当满足约束条件0 yx z yxf 的点是函数的条件极值点 且在该点函数满足隐函数存在条件 00 yx yxf yx 时 由方程决定隐函数 于是点就是一元函数的极0 yx xgy 0 x xgxfz 限点 有 0 xgff dx dz yx 代入 00 00 0 yx yx xg y x 就有 以下 均表示相应偏0 00 00 0000 yx yx yxfyxf y x yx x f y f x y 导数在点的值 即 00 yx x f y y f x 0 亦即 可见向量 与向量 正交 x f y f y x 0 x f y f y x 注意到向量 也与向量 正交 即得向量 与向量 x y y x x f y f x 线性相关 即存在实数 使 y x f y f x y 0 广西工学院学士学位论文 构造函数法在数学证明中的应用 23 亦即 0 0 yy xx f f 3 限制极值的必要条件 设在约束条件之下求函数的极值 当满足约束条件的点0 yx z yxf 是函数的条件极值点 且在该点函数满足隐函数存在条件时 由 00 yx yxf yx 方程决定隐函数 于是点就是一元函数的极限点 0 yx xgy 0 x xgxfz 有 0 xgff dx dz yx 代入 00 00 0 yx yx xg y x 就有 0 00 00 0000 yx yx yxfyxf y x yx 以下 均表示相应偏导数在点的值 x f y f x y 00 yx 即 亦即 可见向量 与向量 x f y y f x 0 x f y f y x 0 x f y f 正交 注意到向量 也与向量 正交 即得向量 与 y x x y y x x f y f 向量 线性相关 即存在实数 使 x y x f y f x y 0 亦即 0 0 yy xx f f 二 Lagrange 乘数法 由上述讨论可见 函数在约束条件之下的条件极值点应是方 z yxf0 yx 程组 0 0 0 yx yxyxf yxyxf yy xx 1 广西工学院学士学位论文 构造函数法在数学证明中的应用 24 的解 引进所谓Lagrange函数 称其中的实数为Lagrange乘数 yxyxfyxL 则上述方程组即为方程组 0 0 0 yxL yxL yxL y x 因此 解决条件极值通常有两种方法 1 直接的方法是从方程组 1 2 1 0 21 mkxxx nk 中解出 并将其表示为 m xxx 21 mkxxxgx nmmkk 2 1 21 代入 消去 成为变量为 的函数 21n xxxf m xxx 21 nm xx 1 1111nmnmmn xxFxxggfxxf 将问题化为函数 的无条件极值问题 1nm xxF 2 在一般情形下 要从方程组 1 中解出 来是困难的 甚至是 m xxx 21 不可能的 因此上面求解方法往往是行不通的 通常采用的拉格朗日乘数法 是免去 解方程组 1 的困难 将求 的条件极值问题化为求下面拉格朗日函数 1n xxf m k nkknmn xxxxfxxL 1 1111 在条件极值问题中 满足条件 下 去寻求函数 的极值 对三变量 0g x y f x y 函数 g F x yf x yx y 联立方程式 0Fg x y 0 x xxg Ffx yx y 广西工学院学士学位论文 构造函数法在数学证明中的应用 25 0 y yyg Ffx yx y 求得的解 x y 就成为极值的候补 这种引入辅助函数 将条件极值问题化为无条件 极值问题的方法 以三元函数 两个约束条件为例介绍LagrangeLagrange乘数法的一般情况 例 1 求函数 在条件下的极值 xyzf 0 1 222 zyxzyx 解 令 1 222 zyxzyxxyzL 02 xyzLx 02 yxzLy 02 zxyLz 得 zzyyxx 222 222 1 又 1 222 zyx 2 0 zyx 3 由 1 得 2 22 xyyx 2 22 yzzy 当时 得 zyx 2yx 2zy 故得 代入 2 3 式得 zx 解得稳定点 12 22 yx 6 1 6 2 6 1 1 P 6 1 6 2 6 1 2 P 02 yx 由对称性得 也是稳定点 6 1 6 1 6 2 4 3 P 6 2 6 1 6 1 6 5 P 这样求极值的方法就叫做拉格朗日乘数法 叫做拉格朗日乘数 广西工学院学士学位论文 构造函数法在数学证明中的应用 26 三 用Lagrange乘数法解应用问题举例 例 1 某公司生产 A B 两种产品 其产量为 x y 公司的利润函数为 若公司最大设备生产能力为小 求 22 8023100 xxxyyy 1 最大利润 2 估算设备生产能力扩大一个单位对于利润的效应 解 公司最大设备生产能力就是约束条件 本题就是求条件极值 用拉格朗日乘 数法求 1 引人拉格朗日函数 22 8023100 12 F x yxxxyyyxy 令 8040 F xy x 5x 得稳定点 61000 F xy y 7y 120 F xy 53 所以 5 7 就是利润函数的稳定点 又因为实际问题有最大值 故当 5x 时 公司可获得最大利润7y 22 max 80 52 55 73 7100 7868 2 因为 故设备生产能力扩大一个单位时 将使利润增加 53 53 例 2 求椭圆 的面积 22 5658xxyy 解 此椭圆的中心在原点 其长 短半轴分别为椭圆上的点到原点距离的最大 x y 最小值 因此 问题化为求的极值问题 以目标函数 作辅助函数 22 xy 22 xy 2222 5658 Lxyxxyy 令 530 X Lxxy 350 y Lyxy 式乘以加上式乘以 得 是极值 又两式是 的线性齐次方程xy8 m m xy 广西工学院学士学位论文 构造函数法在数学证明中的应用 27 组 在椭圆上 故不为 即齐次方程有非零解得 x y 0 0 得 1 53 0 31 5 2 161010 恰有两个根 正好对应着目标函数的最大与最小值 由于椭圆面积 1 2 Aab 而故 2 1 8 a 2 2 8 b 12 1 8 8 642 16 Aa 例 3 将长度为 的铁丝分成三段 用此三段分别作成圆 正方形和等边三角形 问如l 何分法 才能使这三个图形的面积之和最小 解 设分别为圆之半径 正方形边长 等边三角形边长 于是总面积zyx 222 4 3 zyxs 满足约束 lzyx 342 0 0 0 zyx 令 222 3 243 4 L x y zxyzxyzl 022 xLx x 042 yLy 2 y 解得 03 2 3 zLz 32 z lzyx 342 3682 l 2 2 2 3682 334 334 32 2 l s 约束集为有界闭集 故在其上必有最小值 在边界上 即解下列三个条件极值问题 22 1 4 3 zys 22 2 4 3 zxs 22 3 yxs lzy 34lzx 32 lyx 42 稳定点分别是 广西工学院学士学位论文 构造函数法在数学证明中的应用 28 2 y x x 1 P 32 z 2 P 32 z 3 P 2 y 368 l 362 l 82 l 函数值分别是 2 2 11 368 334 l Ps 2 2 22 362 33 l Ps 2 2 33 82 4 l Ps 又 4 0 0 2 2 ll s 16 0 4 0 2 ll s 312 3 0 0 2 ll s 比较上述 7 个函数值得 最小值为 2 2 2 3682 334 334 32 2 l s 料最省 五 小结 构造函数法在数学证明中的应用非常广泛 比如方程根的存在性的证明 中值定 理的证明 不等式的证明等都可以用构造函数发来证明 随着知识的积累和增加 构 造函数法就越加突现重要 不等式的证明历来都是数学证明中的难点 不等式的证明 方法多种多样 因此用构造函数法证明不等式时 要根据所给不