小学奥数之几何五大模型

1 1 一 等积变换模型一 等积变换模型 等底等高的两个三角形面积相等 其它常见的面积相等的情况 两个三角形高相等 面积比等于它们的底之比 两个三角形底相等 面积比等于它们的高之比 如上图 12 SSa b 夹在一组平行线之间的等积变形 如下图 ACDBCD SS 反之 如果 则可知直线平行于 ACDBCD SS ABCD 正方形的面积等于对角线长度平方的一半 三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半 五大模型五大模型 1 S 2 S 2 2 二 鸟头定理 共角定理 模型二 鸟头定理 共角定理 模型 两个三角形中有一个角相等或互补 这两个三角形叫做共角三角形 共角三角形的面积比等于对应角 相等角或互补角 两夹边的乘积之比 如图 在中 分别是上的点 如图 1 或在的延长线上 在上 如ABC D E AB ACDBAEAC 图 2 则 ABCADE SSABACADAE 图 1 图 2 三 蝴蝶定理模型三 蝴蝶定理模型 任意四边形中的比例关系 蝴蝶定理 或者 1243 SSSS 1324 SSSS 1243 AO OCSSSS 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径 通过构造模型 一方面可以使 不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系 另一方面 也可以得到与面积对应的对角线的 比例关系 梯形中比例关系 梯形蝴蝶定理 22 13 SSab 22 1324 SSSSabab ab 梯形的对应份数为 S 2 ab 3 3 四 相似模型四 相似模型 相似三角形性质 金字塔模型 沙漏模型 ADAEDEAF ABACBCAG 22 ADEABC SSAFAG 所谓的相似三角形 就是形状相同 大小不同的三角形 只要其形状不改变 不论大小怎样改变 它们都相似 与相似三角形相关的常用的性质及定理如下 相似三角形的一切对应线段的长度成比例 并且这个比例等于它们的相似比 相似三角形的面积比等于它们相似比的平方 五 燕尾定理模型五 燕尾定理模型 S ABGS AGCS BGES EGCBE EC S BGAS BGCS AGFS FGCAF FC S AGCS BCGS ADGS DGBAD DB 典型例题精讲典型例题精讲 例 1 一个长方形分成 4 个不同的三角形 绿色三角形面积是长方形面积的 0 15 倍 黄色三角形的面积 是 21 平方厘米 问 长方形的面积是 平方厘米 例 1 图 4 4 例 2 如图 三角形田地中有两条小路 AE 和 CF 交叉处为 D 张大伯常走这两条小路 他知道 DF DC 且 AD 2DE 则两块地 ACF 和 CFB 的面积比是 例 2 图 举一反三 两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形 如图所示 三个三角形的面积分别是 3 7 7 则阴影四边形的面积是多少 举一反三图 拓展 如图 已知长方形 ADEF 的面积 16 三角形 ADB 的面积是 3 三角形 ACF 的面积是 4 那么三 角形 ABC 的面积是多少 拓展图 5 5 例 3 如图 将三角形 ABC 的 AB 边延长 1 倍到 D BC 边延长 2 倍到 E CA 边延长 3 倍到 F 如果三 角形 ABC 的面积等于 1 那么三角形 DEF 的面积是 例 3 图 例 4 如图 在 ABC 中 已知 M N 分别在边 AC BC 上 BM 与 AN 相交于 O 若 AOM ABO 和 BON 的面积分别是 3 2 1 则 MNC 的面积是 例 4 图 6 6 例 5 如图 四边形 EFGH 的面积是 66 平方米 EA AB CB BF DC CG HD DA 求四边形 ABCD 的面积 例 5 图 例 6 如右图长方形 ABCD 中 EF 16 F 9 求 AG 的长 例 6 图 铺垫 图中四边形 ABCD 是边长为 12cm 的正方形 从 G 到正方形顶点 C D 连成一个三角形 已知 这个三角形在 AB 上截得的 EF 长度为 4cm 那么三角形 GDC 的面积是多少 铺垫图 7 7 例 7 如图 长方形 ABCD 中 E 为 AD 中点 AF 与 BE BD 分别交于 G H 已知 AH 5cm HF 3cm 求 AG 例 7 图 例 8 如右图 三角形 ABC 中 BD DC 4 9 CE EA 4 3 求 AF FB 例 8 图 例 9 如右图 ABC 中 G 是 AC 的中点 D E F 是 BC 边上的四等分点 AD 与 BG 交于 M AF 与 BG 交于 N 已知 ABM 的面积比四边形 FCGN 的面积大 7 2 平方厘米 则 ABC 的面积是多 少平方厘米 例 9 图 例 10 如图 在正方形 ABCD 中 E F 分别在 BC 与 CD 上 且 CE 2BE CF 2DF