立体几何中三角形的四心问题

立体几何中三角形的四心问题 一 外心问题 若 PA PB PC 则 O 为三角形 ABC 的 外心 例 1 设 P 是 ABC 所在平面 外一点 若 PA PB PC 与平面 所成的 角都相等 那么 P 在平面 内的射影是 ABC 的 A 内心 B 外心 C 垂心 D 重心 如图所示 作 PO 平面 于 O 连 OA OB OC 那么 PAO PBO PCO 分别是 PA PB PC 与平面 所成的角 且已知它 们都相等 Rt PAO Rt PBO Rt PCO OA OB OC 应选 B 例 2 Rt ABC 中 C BC 若平面 ABC 外一点 P 与平面 A B C 三点等距离 且 P 到平面 ABC 的距离为 M 为 AC 的中 点 求证 PM AC 求 P 到直线 AC 的距离 求 PM 与平 面 ABC 所成角的正切值 解析 解析 点 P 到 ABC 的三个顶点等距离 则 P 在平面 ABC 内的射影为 ABC 的外心 而 ABC 为直角三角形 其外心为斜边的中点 证明证明 PA PC M 是 AC 中点 PM AC 解解 BC MH 又 PH PM 即 P 到直线 AC 的距离为821880 2222 MHPH PM PB PC P 在平面 ABC 内的射线为 ABC 的外心 C 90 P 在平面 ABC 内的射线为 AB 的中点 H PH 平面 ABC HM 为 PM 在平面 ABC 上的射影 则 PMH 为 PM 与平面 ABC 所成的角 tan PMH 9 40 18 80 MH PH 例 3 斜三棱柱 ABC A1B1C1的底面 ABC 中 AB AC 10 BC 12 A1到 A B C 三点的距离都相等 且 AA1 13 求斜三棱柱的侧面积 解析 解析 A1A A1B A1C 点 A1在平面 ABC 上的射影为 ABC 的外心 在 BAC 平分线 AD 上 AB AC AD BC AD 为 A1A 在平面 ABC 上的射影 BC AA1 BC BB1 BB1C1C 为矩形 S BB1 BC 156 取 AB 中点 E 连 A1E A1A A1B A1E AB 12 2 AB AAEA 22 11 1 111 120 AAC CAA B B SS S侧 396 二 内心问题 若 P 点到三边 AB BC CA 的距离相等 则 O 是三角形 ABC 的 内心 例 4 如果三棱锥 S ABC 的底面是不等边三角形 侧面与底面所成的角都 相等 且顶点 S 在底面的射影 O 在 ABC 内 那么 O 是 ABC 的 A 垂心 B 重心 C 外心 D 内心 解解 1 利用三垂线定理和三角形全等可证明 O 到 ABC 的三边的距离相等 因而 O 是 ABC 的内心 因此选 D 说明说明三角形的内心 外心 垂心 旁心 重心 它 们的定义和性质必须掌握 三 重心问题 若 PA 垂直 PB PB 垂直 PC PC 垂直 PA 则 O 是三角形 ABC 的 重心 例 6 如图 2 24 B 为ACD 所在平面外一点 M N G 分别为 ABC ABD BCD 的重心 1 求证 平面 MNG 平面 ACD 2 求 ADCMNG SS 解析 解析 1 要证明平面 MNG 平面 ACD 由于 M N G 分别 为 ABC ABD BCD 的重心 因此可想到利用重心的性 质找出与平面平行的直线 证明证明 连结 BM BN BG 并延长交 AC AD CD 分别于 P F H M N G 分别为 ABC ABD BCD 的重心 则有 2 GH BG NF BN MP BM 连结 PF FH PH 有 MN PF 又 PF平面 ACD MN 平面 ACD 同理 MG 平面 ACD MG MN M 平面 MNG 平面 ACD 2 分析 因为 MNG 所在的平面与 ACD 所在的平面相互平行 因 A B D C PH F M G N 图 2 24 此 求两三角形的面积之比 实则求这两个三角形的对应边之比 解 由 1 可知 3 2 BH BG PH MG MG PH 又 PH AD MG AD 3 2 2 1 3 1 同理 NG AC MN CD 3 1 3 1 MNG ACD 其相似比为 1 3 1 9 ADCMNG S S 点评点评 立体几何问题 一般都是化成平面几何问题 所以要重视平面几何 比如重心定理 三角形的三边中线交点叫做三角形有重心 到顶点的距离 等于它到对边中点距离的 2 倍 例 7 如图 9 26 P 为 ABC 所在平面外一点 点 M N 分别是 PAB 和 PBC 的重心 求证 MN 平面 ABC 三角形的三条中线交于一点 称为重心 重心到一个顶点的距离是该点到对边中点距离的 2 倍 解析 解析 如图 9 16 连结 PM 并延长交 AB 于 D 连结 PN 并延长交 BC 于 E 连结 DE 在 PAB 中 M 是 PAB 的重心 同2 MD PM 理在 PBC 中有 在 PDE 中 2 NE NP NE PN MD PM MN DE MN平面 ABC DE平面 ABC MN 平面 ABC 例 9 如图 在三棱锥 S ABC 中 A1 B1 C1分别是 SBC SCA SAB 的重心 1 求证 平面 A1B1C1 平面 ABC 2 求三 棱锥 S A1B1C1与 S ABC 体积之比 解析 解析 本题显然应由三角形重心的性质 结合成比例线段的关系推导出 线线平行 再到 线面平行 到 面面平行 至于体积的比的计算只要 能求出相似三角形面积的比和对应高的比就可以了 证 证 1 A1 B1 C1是 SBC SCA SAB 的重心 连 SA1 SC1并 延长交 BC AB 于 N M 则 N M 必是 BC 和 AB 的中点 连 MN SM SC1 SN SA1 3 2 A1C1 MN MN平面 ABC A1C1 平面 ABC 同理可证 A1B1 平面 ABC 平面 A1B1C1 平面 ABC 2 由 1 MN AC MN CA 11 3 2 2 1 A1C1 AC 3 1 同理可证 A1B1 AB B1C1 BC 3 1 3 1 A1B1C1 ABC S S ABC 111 CBA 9 1 设三棱锥 S ABC 的高为 h S A1B1C1的高为 h1则有 h1 h h h1 SN SA1 3 2 3 2 ABCS CBAS V V 111 hS hS ABC ABC 9 1 3 1 3 2 3 1 27 2 评析 评析 要掌握线面平行的相互转化的思想方法外 还要有扎实的相似形和 线段成比例的基础 四垂心问题 若 PA PB PC AB AC 则 O 点在 BC 的中垂线上 例 10 已知四面体 S ABC 中 SA 底面 ABC ABC 是锐角三角形 H 是点 A 在面 SBC 上的射影 求证 H 不可能是 SBC 的垂心 分析 本题因不易直接证明 故采用反证法 证明 假设 H 是 SBC 的垂心 连结 BH 并延长交 SC 于 D 点 则 BH SC AH 平面 SBC BH 是 AB 在平面 SBC 内的射影 SC AB 三垂线定 理 A B C H D S 又 SA 底面 ABC AC 是 SC 在面内的射影 AB AC 三垂线定理的 逆定理 ABC 是 Rt 与已知 ABC 是锐角三角形相矛盾 于是假设不成立 故 H 不可能是 SBC 的垂心 例 11 如图 2 40 P 是 ABC 所在平面外的一点 PA PB PB PC PC PA PH 平面 ABC H 是垂足 求证 H 是 ABC 的垂心 证明 证明 PA PB PB PC PA 平面 PBC BC平面 PBC BC PA PH 平面 ABC BC平面 ABC BC PH BC 平面 PAH AH平面 PAH AH BC 同理 BH AC CH AB 因此 H 是 ABC 的垂心 例 14 如图 9 32 ABD 和 ACD 都是以 D 为直角顶点的直角三角形 且 AD BD CD BAC 60 求证 6 图 9 32 1 BD 平面 ADC 2 若 H 是 ABC 的垂心 则 H 为 D 在平面 ABC 内的射影 解析 解析 1 设 AD BD CD a 则 BAC 60 aACAB2 由勾股定理可知 BDC 90 即 BD DC 又 aBC2 BD AD AD DC D BD 平面 ADC 2 如图答 9 21 要证 H 是 D 在平面 ABC 上的射影 只需证 DH 平面 ABD 连结 HA HB HC H 是 ABC 的垂心 CH AB CD DA CD BD CD 平面 ABD A B D C H P CD AB CH CD C AB 平面 DCH DH平面 DCH AB DH 即 DH AB 同理 DH BC AB BC B DH 平面 ABC 五 四心综合比较考查 例 15 P 是 ABC 所在平面外一点 O 是点 P 在平面 上的射影 1 若 PA PB PC 则 O 是 ABC 的 心 2 若点 P 到 ABC 的三边的距离相等 则 O 是 ABC 心 3 若 PA PB PC 两两垂直 则 O 是 ABC 心 4 若 ABC 是直角三角形 且 PA PB PC 则 O 是 ABC 的 心 5 若 ABC 是等腰三角形 且 PA PB PC 则 O 是 ABC 的 心 6 若 PA PB PC 与平面 ABC 所成的角相等 则 O 是 ABC 的 心 解析 解析 1 外心 PA PB PC OA OB OC O 是 ABC 的 外心 2 内心 或旁心 作 OD AB 于 D OE BC 于 E OF AC 于 F 连结 PD PE PF PO 平面 ABC OD OE OF 分别为 PD PE PF 在平面