构造等腰三角形解题的辅助线做法

构造等腰三角形解题的辅助线做法构造等腰三角形解题的辅助线做法 吕海艳吕海艳 等腰三角形是一种特殊的三角形 常与全等三角形的相关知识结合在一起 考查 在许多几何问题中 通常需要构造等腰三角形才能使问题获解 那么如 何构造等腰三角形呢 一般有以下四种方法 1 依据平行线构造等腰三角形 依据平行线构造等腰三角形 2 依据倍角关系构造等腰三角形 依据倍角关系构造等腰三角形 3 依据角平分线 依据角平分线 垂线构造等腰三角形 垂线构造等腰三角形 4 依据 依据 120 角或角或 60 角 常补形构造等边三角形 角 常补形构造等边三角形 1 依据平行线构造等腰三角形 依据平行线构造等腰三角形 例 1 如图 ABC 中 AB AB E 为 AB 上一点 F 为 AC 延长线上一 点 且 BE CF EF 交 BC 于 D 求证 DE DF 点拔 若证 DE DF 则联想到 D 是 EF 的中点 中点的两旁容易构造全 等三角形 方法是过 E 或 F 作平行线 构造 X 型的基本图形 只需证两个三角 形全等即可 证明 过 E 作 EG AC 交 BC 于 G 1 ACB 2 F AB AC B ACB 1 B BE GE BE CF GE CF 在 EDG 和 FDC 中 3 4 2 F GE CF EDG FDC DE DF 评注 此题过 E 作 AC 的平行线后 构造了等腰 BEG 从而达到转化 线段的目的 2 依据倍角关系构造等腰三角形 依据倍角关系构造等腰三角形 例 2 如图 ABC 中 ABC 2 C AD 是 BAC 的平分线 求证 AB BD AB 点拔 在已知条件中出现了一个角是另一个角的 2 倍 可延长 CB 构造 等腰三角形 问题即可解决 证明 延长 CB 至 E 使 BE BA 连接 AE BE BA BAE E ABC 2 C ABC E BAE 2 E C E AC AE AD 平分 BAC 1 2 EAD BAE 1 E 1 C 2 BDA EA ED ED EB BD EB AB AC AE AC AB BD 评注 当一个三角形中出现了一个角是另一个角的 2 倍时 我们就可以 通过转化倍角寻找等腰三角形 3 依据角平分线 依据角平分线 垂线 构造等腰三角形垂线 构造等腰三角形 例 3 如图 ABC 中 AB AC BAC 90 BF 平分 ABC CD BD 交 BF 的延长线于 D 求证 BF 2CD 点拔 遇到 BD 平分 ABC 且 BD CD 可延长 CD BA 交于 E 使角 平分线 BD 又成为底边上的中线和高 证明 分别延长 BA CD 交于点 E CD BD BDC BDE 90 1 E 90 BAC 90 3 E 90 1 3 在 BAF 和 CAE 中 1 3 AB AC BAC CAE 90 BAF CAE BF CE 在 BDE 和 BCD 中 1 2 BD BD BDE BDC BDE BDC CD ED CE 2CD BF CE BF 2CD 评注 当一个三角形中出现垂直于角平分线的线段时 通常延长此线段 与角的另一边相交 我们就可以寻找到等腰三角形 4 依据 依据 60 角或角或 120 角 常补形构造等边三角形角 常补形构造等边三角形 例 4 如图 BAD 120 BD DC AB AD AC 求证 AC 平分 BAD 点拨 由 AB AD AC 知 应延长 BA 将 AB AD 集中成为一条线段 使 AE AD 则 EAD 60 ADE 为等边三角形 余下的只要证 CAD 60 既 得证明 延长 BA 到 E 使 AE AD 连接 DE BAD 120 DAE 180 120 60 又 AE AD DAE 是等边三角形 DE AD E 60 BE AB AE AC AB AD AE AD BE AC 在 BDE 和 CDA 中 BD CD BE CA DE AD BDE CDA CAD E 60 BAD